Abschnitt: Inhalte kompakt | Rechenregeln und -gesetze

Chapter 1 Studifinder - 1.1 Rechnenregeln und -gesetze - Rechenregeln und -gesetze

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Info 1: Rechenoperationen in $ℝ$
Für zwei reelle Zahlen a und b sind die folgenden Rechenoperationen erklärt:

Addition:

a + b

„1. Summand

+

2. Summand

=

Summe“

Subtraktion:

a - b

„Minuend

-

Subtrahend

=

Differenz“

Multiplikation:

a \cdot b

„1. Faktor

\cdot

2. Faktor

=

Produkt“

Division:

a : b

falls

b \neq 0

„Dividend

:

Divisor

=

Quotient“

Regel 1: Klammerregel
Wenn in einem Term mehrere Rechenoperationen durchgeführt werden, kann die Reihenfolge der Durchführung mithilfe von Klammern festgelegt werden. Rechenoperationen, welche zuerst ausgeführt werden sollen, werden von einer öffnenden Klammer und einer schließenden Klammer umgeben. Es gelten die folgenden Regeln:

Innere Klammern müssen zuerst aufgelöst werden.
Nicht ineinander verschachtelte Klammern können in beliebiger Reihenfolge aufgelöst werden, solange die obige Regel beachtet wird.

Regel 2: Punkt- vor Strichrechnung.
Wenn in einem Term mehrere Rechenoperationen stehen und durch die Klammerung der Ausdrücke nicht eindeutig vorgegeben ist, in welcher Reihenfolge sie berechnet werden sollen, gilt Punkt- vor Strichrechnung. Eine Division oder Multiplikation wird in solchen Fällen immer vor einer Subtraktion oder Addition durchgeführt.

Info 2: Das Assoziativ- und Kommutativgesetz (für die Addition)
Seien

a, b, c \in ℝ

, dann gelten:

Das Assoziativgesetz (für die Addition):

(A1) a + (b + c) = (a + b) + c

Das Kommutativgesetz (für die Addition):

(A2) a + b = b + a

Info 3: Das Assoziativ- und das Kommutativgesetz (für die Multiplikation)
Seien

a, b, c \in ℝ

, dann gelten:

Das Assoziativgesetz (für die Multiplikation):

(M1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

Das Kommutativgesetz (für die Multiplikation):

(M2) a \cdot b = b \cdot a

Info 4: Das Distributivgesetz
Seien

a, b, c \in ℝ

, dann gilt:

(D)

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

und

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c .

Info 5
Für den Fall, dass ein Rechenzeichen ausgelassen wurde, besteht die Vereinbarung das fehlende Zeichen als Multiplikation zu lesen.

Regel 3: Umgang mit dem Minuszeichen
Es gelten folgende Regeln für

a, b \in ℝ

(Z $1$ )	$- (- a)$	$=$	$a$
(Z $2$ )	$a - b$	$=$	$a + (- b)$
(Z $3$ )	$- (a + b)$	$=$	$- a - b$
(Z $4$ )	$- (a - b)$	$=$	$- a + b$
(Z $5$ )	$(- a) b = a (- b)$	$=$	$- a b$
(Z $6$ )	$(- a) (- b)$	$=$	$a b$
(Z $7$ )	$\frac{1}{- a}$	$=$	$- \frac{1}{a} = \frac{- 1}{a}, a \neq 0 .$

Info 6: Verwendung des Bruchstrichs in $ℝ$
Für

a \in ℝ, a \neq 0

bezeichnet

\frac{1}{a} = a^{- 1}

den Kehrwert von

a

. In der Mathematik wird der Kehrwert auch das multiplikativ Inverse von

a

genannt. Es gilt:

a \cdot \frac{1}{a} = a \cdot a^{- 1} = 1 (a \neq 0) .

Man beachte, dass a keine ganze Zahl sein muss:

für $a = \frac{1}{2}$ ist $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{1} = 2$
für $a = \sqrt{2}$ ist $\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
für $a = \frac{3}{4}$ ist $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Für

a, b \in ℝ (b \neq 0)

bezeichnet

\frac{a}{b}

das Resultat der Division

a : b

. Dabei können

a

und

b

selber Brüche oder irrationale Zahlen sein. Zum Beispiel:

für $a = \frac{3}{4}, b = \frac{1}{2}$ gilt:
$\frac{a}{b} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$
für $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}$ gilt:
$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Regel 4: „Bruchrechnen“ in $ℝ$

Seien

a, b, c, d \in ℝ

$\frac{a}{1} = a$
$c \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{b} für b \neq 0$
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} für b, d \neq 0$
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} für b, c, d \neq 0$
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} für b, d \neq 0$
$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} für b \neq 0$

Diese Regeln sind aus der Bruchrechnung bekannt (siehe Kapitel zum Thema Bruchrechnung in Lerneinheit Rechnen mit rationalen Zahlen; direkter Link), werden aber in der Schule i.d.R. nur für

a, b, c, d \in ℕ

hergeleitet. Sie gelten aber allgemein für reelle Zahlen

a, b, c, d

Info 7
Sei

a \in ℝ

, dann gilt:

3

)

a + 0 = 0 + a = a

4

) Zu

a

gibt es eine Zahl

- a \in ℝ

mit

a + (- a) = 0

Info 8
Sei

a \in ℝ

, dann gilt:

3

)

a \cdot 1 = 1 \cdot a = a

4

) Falls

a \neq 0

, gibt es ein

a^{- 1}

mit

a \cdot a^{- 1} = 1

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