Topic: Anwendung | Rechenregeln und -gesetze

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  Chapter 1 Studifinder - 1.1 Rechnenregeln und -gesetze - Rechenregeln und -gesetze
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_rechenregeln_gesetze_
  
  Rechenregeln und -gesetze
  
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  bereich_5
  Die geltenden Rechengesetze für die reellen Zahlen sind oft hilfreich, wenn es darum geht, Rechnungen geschickt durchzuführen. In den folgenden Aufgaben ist es hilfreich, die in dieser Lerneinheit vorgestellten Rechengesetze auszunutzen.
  
  Aufgabe 14aufgabe_14
  
  Berechnen Sie mit Geschick und im Kopf:
  $(345 + 312 - 45) \cdot (12 + 12 - 5) \cdot 0 \cdot (45 - 30 + 15) =$
  0
  
  Kontrolle
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  Da eine Multiplikation mit $0$ immer $0$ ergibt und nach dem Kommutativgesetz zuerst mit der $0$ multipliziert werden kann, braucht hier nicht umständlich gerechnet werden. Das Ergebnis muss $0$ sein.
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  Aufgabe 15aufgabe_15
  
  Berechnen Sie mit Geschick und im Kopf:
  $77 + 18 + 30 + 77 + 18 + 30 + 77 + 18 + 30$ =
  375
  
  Kontrolle
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  Hier werden dreimal nacheinander dieselben Zahlen addiert. Also kann der Term zu $3 \cdot (77 + 18 + 30)$ umgestellt werden. Das ergibt $3 \cdot 125 = 375$ .
  Dahinter steckt die folgende Rechnung unter Ausnutzung der Rechengesetze:
  $\begin{matrix} 77 + 77 + 77 + 18 + 18 + 18 + 30 + 30 + 30 \\ = & 3 \cdot 77 + 3 \cdot 18 + 3 \cdot 30 \\ = & 3 \cdot (77 + 18 + 30) \\ = & 3 \cdot 125 = 375 \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 16aufgabe_16
  
  Berechnen Sie mit Geschick und im Kopf:
  $2 \cdot 20 + 2 \cdot 30 + 2 \cdot 50$ =
  200
  
  Kontrolle
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  Da jeder Summand hier mit dem Faktor $2$ multipliziert wird, können wir diesen wegen des Distributivgesetzes ausklammern. Dies ergibt $2 \cdot 20 + 2 \cdot 30 + 2 \cdot 50 = 2 \cdot (20 + 30 + 50)$ . Weiter gilt $20 + 30 + 50 = 100$ , und damit ist das Ergebnis der Rechnung $2 \cdot 20 + 2 \cdot 30 + 2 \cdot 50 = 200$ .
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  Aufgabe 17aufgabe_17
  
  Berechnen Sie mit Geschick und im Kopf:
  $5,4 + 3,9 + 2,2 + 2,1 + 4,8 - 5,4$ =
  13
  
  Kontrolle
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  Nach Kommutativgesetz kann erst $5,4 - 5,4$ berechnet werden, was $0$ ergibt. Die übrigen Zahlen können ebenfalls nach dem Kommutativgesetz bzw. Assoziativgesetz wie folgt geordnet werden:
  $(3,9 + 2,1) + (2,2 + 4,8) = 6 + 7 = 13 .$
  
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  Darüber hinaus können die Rechengesetze dabei helfen, neue Rechenstrategien zu entdecken und auch zu begründen, weshalb diese erfolgreich sind. Ein Beispiel dafür ist die Multiplikation. Wir betrachten das Produkt $12 \cdot 15$ und betrachten im folgenden Beispiel eine Rechenstrategie zu dessen Lösung.
  
  Beispiel 14beispiel_14
  $12 \cdot 15 =$ ?
  
  Leicht auszurechnen ist: $10 \cdot 15 = 150$ und $2 \cdot 15 = 30$ . Also ist $12 \cdot 15 = 150 + 30 = 180$ .
  
  Dahinter steckt die Überlegung, dass $12$ als $10 + 2$ geschrieben werden kann. Sobald wir diese Summe einsetzen, können wir das Distributivgesetz anwenden:
  $12 \cdot 15 = (10 + 2) \cdot 15 = 10 \cdot 15 + 2 \cdot 15$
  Die geschickte Zerlegung der Aufgabe erleichtert das Rechnen im Kopf, und da das Distributivgesetz der Zerlegung zu Grunde liegt ist sichergestellt, dass diese Strategie immer funktioniert.
  
  Aufgabe 18aufgabe_18
  
  $15 \cdot 19 =$ ?
  Zerlegen Sie den Term wie im obigen Beispiel in zwei Summanden, indem Sie die $15$ aufteilen:
  $15 \cdot 19 =$
  
  10*19
  
  190
  $+$
  5*19
  
  95
  
  Zerlegen Sie den Term wie im obigen Beispiel in zwei Summanden, indem Sie die $19$ aufteilen:
  $15 \cdot 19 =$
  
  10*15
  
  150
  $+$
  9*15
  
  135
  
  Berechnen Sie das Produkt im Kopf anhand einer der obigen Vorüberlegungen:
  $15 \cdot 19 =$
  285
  
  Auf welche der Vorüberlegungen haben Sie sich bezogen?
  
  Kontrolle
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  $15 \cdot 19$ kann in zwei Summanden $10 \cdot 19 = 190$ und $5 \cdot 19 = 95$ geschrieben werden. Somit ist das Produkt: $15 \cdot 19 = 285$ .
  Die Anwendung des Distributivgesetzes ergibt:
  $\begin{matrix} 15 \cdot 19 & = & (10 + 5) \cdot 19 \\ = & 10 \cdot 19 + 5 \cdot 19 \\ = & 190 + 95 = 285 \end{matrix}$
  
  Zweiter Rechenweg:
  $15 \cdot 19$ kann in zwei Summanden $15 \cdot 10 = 150$ und $15 \cdot 9 = 135$ geschrieben werden. Somit ist das Produkt: $15 \cdot 19 = 285$ .
  Die Anwendung des Distributivgesetzes ergibt:
  $\begin{matrix} 15 \cdot 19 & = & 15 \cdot (10 + 9) \\ = & 15 \cdot 10 + 15 \cdot 9 \\ = & 150 + 135 = 285 \end{matrix}$
  
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  Nutzen Sie vielleicht schon selbst spezielle Rechenstrategien bei bestimmten Rechnungen? Können Sie mit den Rechengesetzen begründen, warum diese immer zu einem korrekten Ergebnis führen?
  
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