Topic: Ergänzungen | Rechenregeln und -gesetze

- Select activity Ergänzungen
  
  Chapter 1 Studifinder - 1.1 Rechnenregeln und -gesetze - Rechenregeln und -gesetze
  
  Ergänzungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_rechenregeln_gesetze_
  
  Rechenregeln und -gesetze
  
  1
  
  1
  
  bereich_9
  Die in dieser Lerneinheit behandelten Rechenregeln können zur näheren Beschreibung einer abstrakten mathematischen Struktur namens Körper benutzt werden, die weiter vorne bereits kurz erwähnt wurde. Diese Ergänzung geht über die Schulmathematik hinaus und dient als Ausblick in die Hochschulmathematik. Sehen Sie diesen Abschnitt des Kapitels als Herausforderung an und gehen Sie getrost darüber hinweg, wenn Sie gerade hauptsächlich Ihr Schulwissen wieder auffrischen.
  Eine Menge $K$ von Zahlen oder allgemeiner gesagt von Objekten, für die zwei Operationen $+$ und $\cdot$ definiert sind und für die die folgende Definition gilt, nennen wir Körper.
  Definition: Körper
  Eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt Körper, falls Folgendes gilt:
  
  1. Die Menge $K$ ist bezüglich der Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ abgeschlossen, d.h. für $a, b \in K$ gilt: $a + b \in K$ und $a \cdot b \in K$ .
  
  2. Für die erste Verknüpfung $+$ gilt:
  a) Das Assoziativgesetz: $a + (b + c) = (a + b) + c$ für alle $a, b, c \in K$ .
  b) Das Kommutativgesetz: $a + b = b + a$ für alle $a, b \in K$ .
  c) Es existiert ein neutrales Element $n \in K$ , d.h. $a + n = a$ für alle $a \in K$ .
  d) Zu jedem Element $a \in K$ existiert ein inverses Element $b \in K$ , d.h. $a + b = n$ .
  
  3. Für die zweite Verknüpfung $\cdot$ gilt:
  a) Das Assoziativgesetz: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ für alle $a, b, c \in K$ .
  b) Das Kommutativgesetz: $a \cdot b = b \cdot a$ für alle $a, b \in K$ .
  c) Es existiert ein - zu dem aus 2.c) verschiedenes - neutrales Element $n * \in K$ , d.h. $a \cdot n * = a$ für alle $a \in K$ und $n * \neq n$ .
  d) Zu jedem Element $a \in K$ mit $a \neq n$ existiert ein inverses Element $b \in K$ , d.h. $a \cdot b = n *$ .
  
  4. Zwischen den beiden Verknüpfungen gelten die Distributivgesetze:
  
  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c und (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
  Die durch diese Definition geforderten Bedingungen an $K$ nennt man Körperaxiome.
  
  Beispiel 15beispiel_15
  Die Mengen $ℚ$ und $ℝ$ sind Körper. Prüfen Sie die oben genannten Bedingungen doch einmal nach. Die Mengen $ℕ$ und $ℤ$ sind jedoch keine Körper; es gibt nämlich zum Beispiel keine Zahl aus diesen Zahlbereichen, die mit $2$ multipliziert wieder $1$ ergibt. Die Zahl $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation (s. obige Definition 3.c)) in den für uns bekannten Zahlbereichen $ℕ, ℤ, ℚ$ und $ℝ$ . Die Gleichheit $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ bedeutet, dass $\frac{1}{2}$ der Kandidat für das multiplikativ Inverse Element wäre (s. 3.d)). Aber $\frac{1}{2}$ ist weder eine natürliche, noch eine ganze Zahl.
  
  Beispiel 16beispiel_16
  (Restklassenkörper)
  Wir betrachten die Menge $ℤ_{5}$ der Reste beim Teilen der ganzen Zahlen $ℤ$ durch 5:
  
  $ℤ_{5} = {0,1, 2,3, 4} .$
  Die Operationen $+$ und $\cdot$ sind wie folgt definiert: Zunächst wird wie in $ℤ$ addiert bzw. multipliziert und anschließend wird der Rest beim Teilen durch 5 bestimmt.
  Zum Beispiel gilt beim Rechnen in $ℤ_{5}$ :
  $2 + 4 = 1,$
  da $2 + 4 = 6$ beim Teilen mit Rest durch $5$ den Rest $1$ hat. Analog gilt beim Multiplizieren:
  $2 \cdot 4 = 3,$
  da $2 \cdot 4 = 8$ , und $8$ den Rest $3$ beim Teilen durch $5$ übrig lässt.
  Wir rechnen nach, dass die Körperaxiome gelten:
  
  1. Für die Addition gilt:
  a), b) Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten bereits in $ℤ$ . Das anschließende Teilen mit Rest ändert nichts daran.
  c) Das neutrale Element ist wie in $ℤ$ ebenfalls die 0.
  d) Zu den inversen Elementen:
  Das Inverse zu $0$ ist $0$ , denn $0 + 0 = 0 = 0 \cdot 5 + 0$ liefert den Rest $0$ .
  Das Inverse zu $1$ ist $4$ , denn $1 + 4 = 5 = 1 \cdot 5 + 0$ liefert den Rest $0$ .
  Das Inverse zu $2$ ist $3$ , denn $2 + 3 = 5 = 1 \cdot 5 + 0$ liefert den Rest $0$ .
  Das Inverse zu $3$ ist $2$ , denn $3 + 2 = 5 = 1 \cdot 5 + 0$ liefert den Rest $0$ .
  Das Inverse zu $4$ ist $1$ , denn $4 + 1 = 5 = 1 \cdot 5 + 0$ liefert den Rest $0$ .
  
  2. Für die Multiplikation gilt:
  a), b) Wie bei der Addition gelten das Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation bereits in $ℤ$ .
  c) Das neutrale Element ist wie in $ℤ$ ebenfalls die $1$ und $1 \neq 0$ .
  d) Zu den inversen Elementen:
  Die $0$ besitzt kein inverses Element, dies ist allerdings auch nicht erforderlich, da $0$ das neutrale Element der Addition ist.
  Das Inverse zu $1$ ist $1$ , denn $1 \cdot 1 = 1 = 0 \cdot 5 + 1$ liefert den Rest $1$ .
  Das Inverse zu $2$ ist $3$ , denn $2 \cdot 3 = 6 = 1 \cdot 5 + 1$ liefert den Rest $1$ .
  Das Inverse zu $3$ ist $2$ , denn $3 \cdot 2 = 6 = 1 \cdot 5 + 1$ liefert den Rest $1$ .
  Das Inverse zu $4$ ist $4$ , denn $4 \cdot 4 = 16 = 3 \cdot 5 + 1$ liefert den Rest $1$ .
  
  3. Die Distributivgesetze gelten ebenfalls in $ℤ$ und somit auch für $ℤ_{5}$ .
  
  Damit erfüllt die Menge $ℤ_{5}$ mit den wie oben festgelegten Verknüpfungen alle Eigenschaften eines Körpers.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
  Die studiVEMINT-Materialien (einschließlich Videos) sind unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz (CC BY-SA 4.0) lizenziert. Ausgenommen von der Lizenz sind die verwendeten Logos sowie alle anders gekennzeichneten Elemente.
  
  $1+1$

Section outline

Ergänzungen