Rechenregeln und -gesetze

Inhalte mit Erklärungen

bereich_3 Aus der Schule kennen Sie bereits einige Zahlbereiche: die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ (z.B. $\mathrm{4,5},\mathrm{6,12},85235$), die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ (z.B.: $-3,-2,-\mathrm{1,0},1,\dots$), die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ (z.B.: $\frac{1}{2},\frac{4}{3}$) und die reelle Zahlen $ℝ$ (z.B.: $\sqrt{2},\pi ,e$). Auf die rationalen Zahlen werden wir im Kapitel Bruchrechnung in der Lerneinheit Rechnen mit rationalen Zahlen genauer eingehen und die reellen Zahlen stellen wir im Kapitel zu Wurzeln in der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen noch genauer vor. Wir konzentrieren uns in dieser Lerneinheit zunächst auf elementare Rechenregeln für alle Zahlen.
 
Für die Zahlbereiche ist es gebräuchlich die folgenden Symbole zu schreiben:

• $\mathbb{N}$: die natürlichen Zahlen
• $\mathbb{Z}$: die ganzen Zahlen
• $\mathbb{Q}$: die rationalen Zahlen
• $ℝ$: die reellen Zahlen

Weiter ist aus der Schule bekannt, dass es einen Zusammenhang zwischen den Zahlbereichen gibt. Der Zahlbereich der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge des Zahlbereichs der ganzen Zahlen, mathematisch aufgeschrieben sieht das so aus: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. Für alle vier bekannten Zahlbereiche gilt: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ$.
Wenn (Buchstaben-) Variablen als Vertreter für eine beliebige Zahl genutzt werden, muss noch festgelegt werden, welche Zahlen eingesetzt werden können. Dafür schreibt man z.B. $x\in \mathbb{Q}$, lies „$x$ ist eine rationale Zahl“. Wir werden im Folgenden oft zu Beginn von Regeln so etwas angeben wie $a,b\in ℝ$. Damit ist gemeint, dass es sich bei den Variablen $a$ und $b$ um Platzhalter für eine beliebige reelle Zahl handelt und die nachfolgende Beschreibung für alle reelle Zahlen gültig ist. Die folgenden Rechenregeln gelten für alle reellen Zahlen und damit für alle oben genannten Zahlbereiche, obwohl die nachfolgend angegebenen Beispiele sich hauptsächlich auf die ganzen Zahlen und einige rationale Zahlen beschränken werden.


Zunächst geben wir nun nacheinander die Rechengesetze für den Umgang mit reellen Zahlen gefolgt von einigen Beispielen an.
Bemerkung: Das Assoziativgesetz (für die Addition) gilt auch entsprechend für mehr als drei Summanden, deshalb können die Klammern auch weggelassen werden. Bemerkung: Das Assoziativgesetz (für die Multiplikation) gilt auch entsprechend für mehr als drei Faktoren, deshalb können die Klammern auch weggelassen werden.



Umformungen mithilfe des Distributivgesetzes sind eine häufige Fehlerquelle, wenn auch negative Zahlen vorkommen. Können Sie die folgende Aufgabe korrekt lösen? Weitere Übungsaufgaben zu den Rechengesetzen finden Sie in den Bereichen „Aufgaben“ und „Anwendungen“ dieses Kapitels. Die dargebotenen Beispiele sollen auch zeigen, dass die obigen Rechengesetze nicht nur bei Termumformungen nützlich sein können, sondern auch oft beim Kopfrechnen hilfreich sind, wenn sie geschickt eingesetzt werden. Die Rechenregeln werden als stets gültig angenommen und können nicht bewiesen werden. In der Mathematik ist es oft üblich, den Multiplikationspunkt nicht explizit dazuzuschreiben. So steht $3(4+5)$ für $3·(4+5)$. Allerdings ist Vorsicht geboten, nicht zwischen zwei Zahlen auf diese Weise zu verfahren. Wir betrachten dazu ein paar Beispiele.

Das nachfolgende Applet veranschaulicht das Prinzip von Zahl und Gegenzahl. Wir haben die Rechenregeln für die Multiplikation und Addition formuliert. Dabei können die Variablen $a,b$ und $c$ auch negativ oder gleich $0$ sein. Es gibt spezielle Regeln für den Umgang mit dem Minuszeichen. Das Minuszeichen kann drei verschiedene Bedeutungen haben:

1. Operationszeichen für die Subtraktion
   $4-3=1$
2. Vorzeichen
   $-3$ bezeichnet eine negative Zahl \(<0\), die den Abstand <%30%49%> 3 vom Nullpunkt hat.
3. Gegenzahl
   Zu einer Zahl $a$ ist $-a$ die Gegenzahl für die gilt $a+(-a)=0$, also
   $a=3$ hat die Gegenzahl $-3$ und
   $a=-3$ hat die Gegenzahl $-(-3)=3$.

Die Bedeutungen hängen eng zusammen, sodass man in der Mathematik jeweils dasselbe Zeichen verwendet.

1.     Die Subtraktion kann als Addition mit der Gegenzahl verstanden werden: $a-b=a+(-b)$.
2.     $-3$ gibt die Gegenzahl zu $+3$ an.

Wir fassen nun die allgemeinen Rechenregeln für den Umgang mit dem Minuszeichen zusammen: Laut der zweiten Regel zum Umgang mit dem Minuszeichen gilt etwa $12-5=12+(-5)$. Wir können also die vorgestellten Rechengesetze auch für die Subtraktion nutzen, indem wir mit dieser Regel die Subtraktion in eine Addition umformen.
Häufiger Fehler: Das Gegenzahl-Minuszeichen wird beim Umgang mit Variablen als Vorzeichen fehlgedeutet; wenn $a$ eine reelle Zahl ist, kann $-a$ eine positive Zahl sein, z.B. wenn $a=-3$ gilt. Andererseits kann $a$ eine negative Zahl sein, wenn z.B. $a=-7$ gilt. Bemerkung: Die Gegenzahl $-a$ nennt man in der Mathematik auch das „additiv Inverse von a“. Laut (Z$2$) gilt etwa $12-5=12+(-5)$. Wir können also die vorgestellten Rechengesetze auch für die Subtraktion nutzen, indem wir mit der Regel (Z$2$) die Subtraktion in eine Addition umformen.
Bemerkung: Zwischen der Division und dem multiplikativ Inversen besteht folgende Beziehung
${\displaystyle a:b=a·\frac{1}{b}=a·b^{-1}}$
In dem systematischen Aufbau von Zahlbereichen führt man in der Hochschulmathematik so die Division auf die Multiplikation zurück.
Wir nutzen nun aus, dass die Division - wie im obigen Beispiel vorgeführt wurde - auch als Multiplikation dargestellt werden kann. So können wir die Rechengesetze für die Multiplikation auch für die Division benutzen.
Achtung: Bei der Überführung einer Division zu einer Multiplikation kann jeweils nur der Divisor als Bruch umgeschrieben werden. Es gelten noch zwei weitere Regeln für die Addition: Für die Multiplikation gelten zusätzlich noch die Regeln: Bemerkung: Aus dem Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz - also (A$1$), (A$2$), (M$1$), (M$2$) und (D) sowie den Regeln (A$3$), (A$4$), (M$3$) und (M$4$), können wir alle gebräuchlichen Regeln für die $4$ Grundrechenarten in den reellen Zahlen herleiten. Solche Grundregeln oder Grundsätze einer Theorie, aus denen alles Weitere hergeleitet werden kann, heißen auch Axiome. Eine Menge $K$ von Zahlen (oder allgemeiner Objekten), auf der zwei Operationen $+$ und $·$ definiert sind und für die die Rechengesetze (A$1$)-(A$4$), (M$1$)-(M$4$) und (D) gelten, nennt man Körper. Die Regel (A$3$) muss dabei umformuliert werden bzgl. $+$:
(A$3$*): Es existiert ein neutrales Element $n\in K$ mit $a+n=a$ für alle $a\in K$. Im Fall von $ℝ$ ist die Existenz eines neutralen Elementes durch die Zahl $0$ gesichert. Auch in anderen Körpern wird ein solches neutrales Element wie in (A$3$*) oft mit $0$ bezeichnet. Auch (M$3$) muss umformuliert werden zu: (M$3$*): Es existiert ein neutrales Element $n*\in K$ mit $n*\ne n$ (wobei $n$ das neutrale Element aus (A$3$*) ist) und $a·n*=a$ für alle $a\in K$. Im Fall von $ℝ$ ist die Existenz dieses neutralen Elementes durch die Zahl $1$ gesichert. Auch in anderen Körpern wird ein solches neutrales Element wie in (M$3$*) oft mit $1$ bezeichnet.