Abschnitt: Inhalte kompakt | Bruchrechnung

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  Chapter 1 Studifinder - 1.2 Rechnen mit rationalen Zahlen - Bruchrechnung
  
  Inhalte kompakt
  
  Definition 1definition_1
  Eine Zahldarstellung der Form $q = \frac{m}{n}$ mit $m \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ nennt man einen Bruch. Dabei heißt die Zahl $m$ Zähler des Bruches und die Zahl $n$ heißt Nenner des Bruches.
  
  Info 1info_1
  Bruchdarstellungen sind nicht eindeutig, z.B. ist
  $\frac{m}{n} = \frac{k \cdot m}{k \cdot n} für alle k \in ℤ \ {0} .$
  Ferner ist auch
  $- \frac{m}{n} = \frac{- m}{n} = \frac{m}{- n} .$
  
  Bemerkung: In der Schule sagt man auch, die beiden Brüche $\frac{m}{n}$ und $\frac{k \cdot m}{k \cdot n}$ „haben denselben Wert“ oder stellen dieselbe Bruchzahl dar.
  
  Info 2info_2
  Eine rationale Zahl $r \in ℚ$ kann als Bruch dargestellt werden. Die Menge der rationalen Zahlen kann geschrieben werden als $ℚ = {\frac{m}{n} ∣ m \in ℤ, n \in ℤ \ {0}}$ .
  
  Regel 1: Erweitern von Brüchen regel_1
  
  Beim Erweitern von Brüchen werden der Zähler und der Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl größer als $1$ multipliziert. Erweitern ändert den Wert einer Bruchzahl nicht. Seien $m \in ℤ, n \in ℤ \ {0}$ und $a \in ℕ \ {1}$ . Dann gilt:
  
  $\frac{m}{n} = \frac{m \cdot a}{n \cdot a}$
  
  Beide Brüche stellen dieselbe rationale Zahl dar.
  
  Regel 2: Kürzen von Brüchen regel_2
  
  Kürzen ist die umgekehrte Operation zum Erweitern. Dabei werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche natürliche Zahl größer $1$ dividiert. Auch Kürzen ändert den Wert einer Bruchzahl nicht.
  Seien $m \in ℤ, n \in ℤ \ {0}$ und $a \in ℕ \ {1}$ so, dass $a$ sowohl ein Teiler von $m$ als auch ein Teiler von $n$ ist. Dann gilt:
  $\frac{m}{n} = \frac{m : a}{n : a}$
  
  Info 3: Hauptnennerinfo_3
  Der Hauptnenner zweier Brüche ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner, auf welchen beide Brüche erweitert werden können.
  
  Regel 3 regel_3
  Gleichnamige Brüche addiert beziehungsweise subtrahiert man, indem man die Zähler addiert beziehungsweise subtrahiert.
  Es gilt also für alle Zahlen $m_{1}, m_{2} \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ :
  
  $\frac{m_{1}}{n} + \frac{m_{2}}{n} = \frac{m_{1} + m_{2}}{n}$
  
  $\frac{m_{1}}{n} - \frac{m_{2}}{n} = \frac{m_{1} - m_{2}}{n}$
  
  Regel 4: Addition und Subtraktion von beliebigen Brüchen regel_4
  Es gilt für alle Zahlen $m, p \in ℤ$ und $n, q \in ℤ \ {0}$ :
  
  $\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} + \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = \frac{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q}$
  
  $\frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} - \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = \frac{m \cdot q - p \cdot n}{n \cdot q}$
  
  Regel 5: Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl regel_5
  Für die Multiplikation eines Bruches $\frac{p}{q}$ , $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ , mit einer ganzen Zahl $n \in ℤ$ gilt:
  
  $\frac{p}{q} \cdot n = n \cdot \frac{p}{q} = \frac{n \cdot p}{q}$
  
  Regel 6: Division eines Bruches durch eine ganze Zahl regel_6
  Für die Division eines Bruches $\frac{p}{q}$ mit $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ durch die ganze Zahl $n \in ℤ \ {0}$ gilt:
  
  $\frac{p}{q} : n = \frac{p}{q \cdot n}$
  
  Regel 7: Multiplikation zweier Brüche regel_7
  Seien $m, p \in ℤ$ und $n, q \in ℤ \ {0}$ . So gilt für die Multiplikation der beiden Brüche $\frac{m}{n}$ und $\frac{p}{q}$ :
  
  $\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q}$
  
  Es werden also Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert.
  
  Definition 2definition_2
  Zu einem Bruch $\frac{m}{n}$ mit $m, n \in ℤ \ {0}$ ist $\frac{n}{m}$ der Umkehrbruch.
  Anders gesagt: Zur rationalen Zahl $\frac{m}{n}$ ist die rationale Zahl $\frac{n}{m}$ der Kehrwert.
  
  Definition 3definition_3
  Den Umkehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhält man also, wenn Zähler und Nenner vertauscht werden. Ist der Zähler eines Bruches $0$ , gibt es keinen Umkehrbruch.
  
  Regel 8: Division eines Bruches durch einen Bruch regel_8
  Für alle Brüche $\frac{m}{n}$ und $\frac{p}{q}$ mit $m \in ℤ$ und $n, p, q \in ℤ \ {0}$ gilt:
  
  $\frac{m}{n} : \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{m \cdot q}{n \cdot p}$
  
  Die Division einer ganzen Zahl $m \in ℤ$ durch einen Bruch ist ein Spezialfall hiervon, da eine ganze Zahl stets als Bruch $m = \frac{m}{1}$ geschrieben werden kann.
  
  Info 4: Bedeutung von Dezimalzahlen als Brücheinfo_4
  
  $\begin{matrix} 2,3518 & = & 2 + \frac{3}{10} + \frac{5}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{8}{10000} \\ = & 2 + \frac{3518}{10000} \\ = & \frac{23518}{10000} \end{matrix}$
  An dem Beispiel wird deutlich, dass sich Dezimalzahlen auch als Brüche schreiben lassen, die aus einer Summe von Brüchen mit 10er- Potenzen im Nenner entstehen.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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