Bruchrechnung

Inhalte mit Erklärungen

bereich_3 Wir gehen von einem Zahlenstrahl aus Wir können z.B. alle Abschnitte (der Länge $1$) zwischen zwei ganzen Zahlen in $4$ gleichgroße Teile einteilen. Die Punkte rechts von $0$ bezeichnet man mit $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4},\dots$ ($\frac{1}{4}$ kann man auch als Ergebnis der Division $1:4$ sehen).
Die unendliche Menge dieser Punkte lässt sich darstellen als $M_4 ≔ \{\frac{m}{4}\mid m\in \mathbb{N}{}_0\}=\{\frac{0}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \dots \}$. Dies kann man nicht nur für die Zahl $4$, sondern für jede mögliche natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ machen. Zum Beispiel $M_3=\{\frac{m}{3}\mid m\in \mathbb{N}{}_0\}=\{\frac{0}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \dots \}$. Die beiden Mengen haben viele gemeinsame Punkte, z.B. $\frac{0}{4}=\frac{0}{3}=0$ oder $\frac{12}{3}=4=\frac{16}{4}$. Jeweils stellen beide Brüche dieselbe ganze Zahl dar. Wenn die Mengen aller Punkte, die durch Halbieren, Dritteln, Vierteln usw. entstehen, miteinander vereinigt werden, entsteht die Menge aller nicht negativen rationalen Zahlen - das mathematische Symbol dafür ist ${\mathbb{Q}}_0^{+}$. Dabei ist zu beachten, dass z.B. $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots$
Diese Brüche stellen alle dieselbe rationale Zahl dar (und damit denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl). In der Menge ${\mathbb{Q}}_0^{+}$ kommt dieselbe rationale Zahl nur einmal vor (obwohl es unendlich viele verschiedene Schreibweisen für jede dieser Zahlen gibt). ${\mathbb{Q}}_0^{+}$ enthält auch die natürlichen Zahlen $1=\frac{1}{1}, 2=\frac{2}{1}, 3=\frac{3}{1}, \dots$ und die Null: $0=\frac{0}{1}$. Man erhält die Menge aller rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, wenn zu jeder positiven Zahl $\frac{m}{n}\in {\mathbb{Q}}_0^{+}$ noch die Gegenzahl $-\frac{m}{n}$ hinzugenommen wird. Manchmal wird auch die folgende Mengendarstellung für ${\mathbb{Q}}_0^{+}$ angegeben: ${\mathbb{Q}}_0^{+}=\{\frac{m}{n}\mid n\in \mathbb{N}, m\in \mathbb{N}{}_0\}$. Dabei sollte beachtet werden, dass Mengen jedes Element nur genau einmal enthalten, also kein Element mehrfach in einer Menge enthalten ist. Wenn nacheinander mögliche Zahlen $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{N}{}_0$ „durchlaufen“  würden, würden zunächst z.B. die Zahlen $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ „erzeugt“, welche aber nur als die eine rationale Zahl $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\dots$ in ${\mathbb{Q}}_0^{+}$ vorkommt. Um auch die negativen Bruchzahlen zu berücksichtigen, wird manchmal die Mengendarstellung $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}\mid m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}\}$ verwendet. Das ist dann richtig, wenn wieder $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\dots$ als ein einziges Element zählt und auch beachtet wird, dass z.B. $-\frac{3}{4}=\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}$ für dieselbe rationale Zahl steht.
Erweitern und Kürzen Wir haben schon zuvor festgestellt, dass es mehrere Brüche gibt, welche dieselbe Position auf der Zahlengeraden einnehmen. Anhand des folgenden Applets können Sie sich dies für den Bruch $\frac{1}{2}$ verdeutlichen. Steuern Sie dazu den Schieberegler, um den Bruch mit einer Zahl zwischen $2$ und $20$ zu erweitern und daneben die geometrische Interpretation zu sehen.  

Wir betrachten z.B. die folgende Kürzung $\frac{30}{40}=\frac{30:10}{40:10}=\frac{3}{4}$. Kürzen kann durch Erweitern rückgängig gemacht werden. $\frac{3}{4}=\frac{3·10}{4·10}=\frac{30}{40}$. Dass Kürzen den Wert einer Bruchzahl nicht ändert, folgt daraus, dass Erweitern den Wert einer Bruchzahl nicht ändert.


Addition und Subtraktion von Brüchen Die Addition zweier Brüche kann anschaulich mit Strecken verdeutlicht werden.
Gleiches gilt für die Subtraktion. Man kann daher folgende Regel formulieren: Tiefergehende Begründung der Regel Doch wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern? Betrachten wir wieder eine graphische Veranschaulichung durch Strecken:
Brüche mit unterschiedlichem Nenner addiert beziehungsweise subtrahiert man also, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und dann wie bei gleichnamigen Brüchen weiterrechnet. Auf den gleichen Nenner bringt man Brüche, indem man sie kürzt oder erweitert. Am zuverlässigsten funktioniert dies, indem man jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des anderen Bruches erweitert. So wurde in obigem Beispiel der Bruch $\frac{1}{2}$ mit der Zahl $3$ erweitert, also mit dem Nenner des Bruches $\frac{1}{3}$, und der Bruch $\frac{1}{3}$ wurde mit der Zahl $2$ erweitert, also mit dem Nenner des Bruches $\frac{1}{2}$, sodass beide Brüche den gemeinsamen Nenner $2·3=6$ erhielten. Um zwei Brüche mit verschiedenen Nennern rechnerisch zu addieren beziehungsweise zu subtrahieren, bringt man sie durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Nenner. Danach addiert beziehungsweise subtrahiert man die Zähler. Bemerkung Häufig ist es auch möglich, einen gemeinsamen Nenner (meist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) zu finden, der kleiner ist als das Produkt der beiden ursprünglichen Nenner. Dies reduziert den Rechenaufwand.


Multiplikation von Brüchen Tiefergehende Begründung der Regel
Betrachten wir das Beispiel $\frac{3}{4}:5$. Geometrisch erhalten wir das Ergebnis der Division, indem wir $\frac{1}{4}$ in $5$ gleiche Teile einteilen - das ergibt $\frac{1}{4·5}=\frac{1}{20}$ - und dann 3 davon nehmen, d.h. $3·\frac{1}{5·4}=\frac{3}{5·4}$. Die Rechenregel liefert unabhängig von der gewählten Bruchdarstellung einer Zahl, sogar für negative Nenner und Zähler, immer dasselbe Ergebnis. Dies kann auch formal gezeigt werden.
Unter der Multiplikation eines Bruches $\frac{p}{q}$, $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$, mit einem Bruch $\frac{m}{n}$, $m\in \mathbb{Z}$ und $n\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$, will man die kombinierte Operation $(\frac{p}{q}·m):n$ bzw. $(\frac{p}{q}:n)·m$ verstehen. Nach den bisherigen Regel ist das Ergebnis bei beiden Operationsfolgen dann
${\displaystyle \frac{p}{q}·\frac{m}{n}=\frac{p·m}{q·n}\text{ ,}}$
denn $(\frac{p}{q}·m):n=\frac{p·m}{q}:n=\frac{p·m}{q·n}$
und $(\frac{p}{q}:n)·m=\frac{p}{q·n}·m=\frac{p·m}{q·n}$. Interpretation: Die Erklärung von der Multiplikation mit einem Bruch, z.B. $·\frac{3}{4}$, als Zusammensetzung der Operationen Dividieren, $(:4)$, und Multiplizieren, $(·3)$, entspricht auch der anschaulichen Vorstellung von $(·\frac{3}{4})$ als „$\frac{3}{4}$ von“  einer Zahl oder Größe. Die Multiplikation mit Brüchen ist also eine Kombination der Multiplikation und Division von ganzen Zahlen, d.h. zum Beispiel, dass die Multiplikation auch zu einer Verkleinerung einer Zahl führen kann: $3·\frac{1}{8}=\frac{3}{8}<3$, während die Multiplikation mit natürlichen Zahlen stets ein größeres Ergebnis liefert (Ausnahme ist die Zahl $1$). Tiefergehende Bemerkung Wichtig ist hierbei, zu wissen, dass die Multiplikation zweier Brüche im Sprachgebrauch durch Aussagen wie „ein Drittel von einer Hälfte“  ausgedrückt wird (was dem mathematischen Ausdruck $\frac{1}{3}·\frac{1}{2}$ entspricht).

Wenn wir einen Bruch $\frac{p}{q}$ mit einer natürlichen Zahl n multiplizieren, haben wir zwei Regeln aufgestellt, die wir benutzen können. Denn natürliche Zahlen können immer als Bruch dargestellt werden: $n=\frac{n}{1}$. Wie kann man die Division durch einen Bruch festlegen? Die Division in den ganzen Zahlen macht die Multiplikation rückgängig und umgekehrt: $$x \overset{\cdot a}{\rightarrow} x \cdot a \overset{:a}{\rightarrow} x$$ Wie kann nun die Multiplikation mit einem Bruch wie $\frac{3}{4}$ rückgängig gemacht werden? $(x·\frac{3}{4})$ entspricht $(x·3):4$. Rückgängig gemacht wird dies durch die Operationen $(·4)$ und anschließend $(:3)$, was der Multiplikation mit dem Bruch $\frac{4}{3}$ entspricht. Wenn die Division durch einen Bruch auch die Multiplikation rückgängig machen soll, muss die Division als Multiplikation mit dem Umkehrbruch festgesetzt werden.





Brüche und Dezimalschreibweise Zahlen setzen sich aus Ziffern zusammen. Die Zahl $562$ etwa besteht aus den Ziffern $2$, $5$ und $6$. Für die Zahlen von Null bis Neun gilt, dass die Schreibweise für die Zahl auch der Ziffer entspricht, z.B. steht $7$ für die Ziffer und auch die Zahl zur selben Zeit. Die Zahl $562$ können wir auch als Summe schreiben: $500+60+2$. Dann wird deutlicher, dass die Ziffern an den verschiedenen Stellen eine andere Bedeutung haben. Für die Zahl $562$ gibt die Ziffer $5$ die Anzahl der Hunderter an, die Ziffer $6$ die Anzahl der Zehner und die Ziffer $2$ die Anzahl der Einer an. Ist eine Stelle nicht besetzt, schreiben wir eine Null, also etwa $102$. Nur vor der größten besetzten Stelle schreiben wir nichts. Unüblich wäre es also $00102$ zu schreiben und damit $102$ zu meinen. Stellenwerttafel:

Zehntausender	Eintausender	Hunderter	Zehner	Einer
		5	6	2	üblich
0	0	5	6	2	unüblich

Um Brüche im Dezimalsystem darzustellen, erweitern wir die Stellenwerttafel nun noch zusätzlich nach rechts um Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, Zehntausendstel und entsprechend fortgeführt. Diese zusätzlichen Stellen werden beim Schreiben mit dem Dezimalkomma abgetrennt - z.B. $\mathrm{4,235}$ oder $\mathrm{0,15}$. Das Dezimalkomma steht immer rechts von der Einer-Stelle. Wenn es keine Stelle rechts von der Einer-Stelle gibt, die besetzt ist, kann das Dezimalkomma zusammen mit allen Nullen entfallen: $\mathrm{95,000}=95$.

Zehner	Einer	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel	Zehntausendstel
	4	2	3	5	0
	0	1	5	0	0
9	5	0	0	0	0

Je nach Rechensituation kann es sinnvoll sein, Nullen auf der rechten Seite des Kommas zu ergänzen.

Auf der Zahlengeraden interpretieren wir Dezimalzahlen folgendermaßen: Die Strecke zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen wird in $10$ gleich große Stücke geteilt. Ein Zehntel entspricht dann der Länge eines dieser Stücke und drei Zehntel der Länge von dreien dieser Stücke hintereinander. Für ein Hundertstel wird dieselbe Strecke gedanklich in Hundert Teile geteilt, für Tausendstel in Tausend und entsprechend fortgeführt. Zum Eintragen auf der Zahlengeraden nehmen wir die Länge alle dieser Teilstrecken zusammen.

Wie kann ein beliebiger Bruch $\frac{p}{q}$, $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$, als Dezimalzahl dargestellt werden?

Eine Umwandlung von einem Bruch in eine Dezimalzahl kann man auch mithilfe des erweiterten Divisionsalgorithmus′ durchführen: Es gilt also $\frac{9}{8}=\mathrm{1,125}$. Welche Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden? Zehnerpotenzen enthalten immer die Primfaktoren 2 und 5, denn ${10}^n=2^n·5^n$. Ein vollständig gekürzter Bruch $\frac{p}{q}$ kann nur dann umgewandelt werden, wenn $q$ als Primfaktoren ausschließlich die $2$ und die $5$ enthält. Was passiert nun, wenn an den Divisionsalgorithmus auf einen Bruch anwendet, von dem man schon weiß, dass er nicht als Dezimalzahl darstellbar ist, z.B. $\frac{1}{3}$? Der Divisionsprozess endet nicht, man sieht aber, dass immer wieder der Rest $1$ bleibt, sodass zum Ergebnis immer eine Ziffer $3$ hinzugefügt wird. Diese Ziffer bezeichnet man als Periode und schreibt kurz $\frac{1}{3}=\mathrm{0,3333}\dots =0,\bar{3}$.
Es kann gezeigt werden, dass für jeden Bruch eine solche Darstellung als unendliche periodische Dezimalzahl gefunden werden kann.