Abschnitt: Brüche | Intro Rechnen mit rationalen Zahlen

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  Intro Rechnen mit rationalen Zahlen
  
  $1+1$
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  Brüche
  
  Einführung
  
  Seien $m \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ . Die Punkte der Zahlengerade, die durch $\frac{m}{n}$ dargestellt werden können, heißen rationale Zahlen. Eine rationale Zahl kann durch unendlich viele verschiedene Brüche dargestellt werden, z. B.:
  $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{12}{16} = \frac{- 3}{- 4} = \frac{- 12}{- 16} = \dots$
  
  Hinweis: $ℤ$ bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen, $ℤ \ {0}$ die Menge der ganzen Zahlen, die nicht Null sind. Außerdem werden wir im Folgenden $ℚ$ zur Bezeichnung der Menge der rationalen Zahlen verwenden.
  
  Info 1 info_1
  Man nennt die Darstellung der rationalen Zahl $q = \frac{m}{n}$ mit $m \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ einen Bruch.
  Dabei wird die ganze Zahl $m$ als Zähler und die ganze Zahl $n$ , die nicht den Wert Null annehmen darf, als Nenner des Bruches bezeichnet.
  
  Definition 1
  Zu einem Bruch $\frac{m}{n}$ mit $m, n \in ℤ \ {0}$ ist $\frac{n}{m}$ der Umkehrbruch.
  Anders gesagt: Zur rationalen Zahl $\frac{m}{n}$ ist die rationale Zahl $\frac{n}{m}$ der Kehrwert.
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Erweitern und Kürzen
  
  Info 2: Erweitern von Brüchen info_2
  
  Beim Erweitern von Brüchen werden der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Erweitern ändert den Wert einer Bruchzahl nicht. Seien $m, n \in ℤ, n \neq 0$ und $a \in ℕ \ {1}$ . Dann gilt:
  
  $\frac{m}{n} = \frac{m \cdot a}{n \cdot a}$
  
  Beide Brüche stellen dieselbe Zahl dar.
  
  Aufgabe 5 aufgabe_5
  
  Erweitern Sie den Bruch $\frac{2}{5}$ mit 3.
  $\frac{2}{5} =$
  6/15
  
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  $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$
  
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  Info 3: Kürzen von Brüchen info_3
  
  Kürzen ist die umgekehrte Operation zum Erweitern. Dabei werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche natürliche Zahl größer $1$ dividiert. Auch Kürzen ändert den Wert einer Bruchzahl nicht. Seien $m, n \in ℤ, n \neq 0$ und $a \in ℕ \ {1}$ so, dass $a$ sowohl ein Teiler von $m$ als auch ein Teiler von $n$ ist. Dann gilt:
  
  $\frac{m}{n} = \frac{m : a}{n : a}$
  
  Aufgabe 6 aufgabe_6
  
  Kürzen Sie den Bruch $\frac{25}{50}$ soweit wie möglich.
  $\frac{25}{50} =$
  1/2
  
  Kontrolle
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  $\frac{25}{50} = \frac{25 : 25}{50 : 25} = \frac{1}{2}$
  
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  Elementare Rechenoperationen
  
  Addition und Subtraktion von Brüchen
  Die Addition zweier Brüche kann anschaulich mit Strecken verdeutlicht werden.
  
  Beispiel 1
  Seien $r = \frac{3}{8}$ und $s = \frac{2}{8}$ . Dann kann die Addition $r + s = \frac{3}{8} + \frac{2}{8}$ folgendermaßen graphisch veranschaulicht werden:
  
  Man kann ablesen, dass gilt: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$
  
  Aufgabe 7 aufgabe_7
  
  Stellen Sie mithilfe des obigen Beispiels eine allgemeine Regel auf, wie Brüche mit gleichem Nenner (sogenannte gleichnamige Brüche) addiert werden.
  Für alle Zahlen $m_{1}, m_{2} \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ gilt:
  $\frac{m_{1}}{n} + \frac{m_{2}}{n} =$
  (m_1+m_2)/n
  
  Kontrolle
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  Wie man an der oben gezeigten Graphik erkennen kann, werden bei der Addition gleichnamiger Brüche die Zähler addiert und der Nenner beibehalten.
  Man legt allgemein fest:
  $\frac{m_{1}}{n} + \frac{m_{2}}{n} = \frac{m_{1} + m_{2}}{n}$
  für alle Zahlen $m_{1}, m_{2} \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$
  
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  Auf diese Weise entspricht die rechnerische Addition der geometrischen Addition der zugehörigen Strecken.
  Gleiches gilt für die Subtraktion. Man kann daher folgende Regel formulieren:
  
  Info 4 info_4
  Gleichnamige Brüche addiert beziehungsweise subtrahiert man, indem man die Zähler addiert beziehungsweise subtrahiert.
  Es gilt also für alle Zahlen $m_{1}, m_{2} \in ℤ$ und $n \in ℤ \ {0}$ :
  
  $\frac{m_{1}}{n} + \frac{m_{2}}{n} = \frac{m_{1} + m_{2}}{n}$
  
  $\frac{m_{1}}{n} - \frac{m_{2}}{n} = \frac{m_{1} - m_{2}}{n}$
  
  Doch wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?
  Betrachten wir wieder eine graphische Veranschaulichung durch Strecken:
  
  Beispiel 2
  Seien $r = \frac{1}{2}$ und $s = \frac{1}{3}$ . Man kann das Ergebnis der Addition $r + s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ nun geometrisch darstellen, aber auch rechnerisch durchführen, indem beide Brüche auf den gleichen Nenner erweitert werden.
  
  Man rechnet also:
  
  $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$
  
  $1+1$
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  Brüche mit unterschiedlichem Nenner addiert beziehungsweise subtrahiert man rechnerisch also, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und dann wie bei gleichnamigen Brüchen weiter rechnet.
  Auf den gleichen Nenner bringt man Brüche, indem man sie kürzt oder erweitert. Am zuverlässigsten funktioniert dies, indem man jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des anderen Bruches erweitert. So wurde in obigem Beispiel der Bruch $\frac{1}{2}$ mit der Zahl $3$ erweitert, also mit dem Nenner des Bruches $\frac{1}{3}$ , und der Bruch $\frac{1}{3}$ wurde mit der Zahl $2$ erweitert, also mit dem Nenner des Bruches $\frac{1}{2}$ , sodass beide Brüche den gemeinsamen Nenner $2 \cdot 3 = 6$ erhielten.
  
  Info 5 info_5
  Um zwei Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren beziehungsweise zu subtrahieren, bringt man sie durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Nenner. Danach addiert beziehungsweise subtrahiert man die Zähler.
  Es gilt für alle Zahlen $m, p \in ℤ$ und $n, q \in ℤ \ {0}$ :
  
  $\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} + \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = \frac{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q}$
  
  $\frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} - \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = \frac{m \cdot q - p \cdot n}{n \cdot q}$
  
  Häufig ist es auch möglich, einen gemeinsamen Nenner (meist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) zu finden, der kleiner ist als das Produkt der beiden ursprünglichen Nenner. Dies reduziert den Rechenaufwand.
  
  Aufgabe 8 aufgabe_8
  
  Addieren Sie $\frac{2}{8}$ und $\frac{3}{12}$ und kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
  $\frac{2}{8} + \frac{3}{12} =$
  1/2
  
  Kontrolle
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  In diesem Fall kann man beide Brüche zunächst kürzen und erhält dadurch schon einen gemeinsamen Nenner:
  $\frac{2}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{1}{4}$
  
  $\frac{3}{12} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{1}{4}$
  
  und somit gilt:
  $\frac{2}{8} + \frac{3}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
  
  Subtrahieren Sie $\frac{1}{5}$ von $\frac{6}{10}$ und kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
  $\frac{6}{10} - \frac{1}{5} =$
  2/5
  
  Kontrolle
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  In diesem Fall ist es am geschicktesten, den Bruch $\frac{1}{5}$ auf den Nenner $10$ zu erweitern, um die beiden Brüche subtrahieren zu können:
  $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$
  
  und somit gilt:
  $\frac{6}{10} - \frac{1}{5} = \frac{6}{10} - \frac{2}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5}$
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Multiplikation von Brüchen
  Auch die Multiplikation von ganzen Zahlen mit Brüchen kann durch Strecken graphisch veranschaulicht werden. Dies wird in der Langversion dieses Kurses gezeigt. Hier werden im Folgenden nur die Rechenregeln angegeben ohne sie zu begründen.
  $1$ . Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl
  
  Info 6 info_6
  Für die Multiplikation einer ganzen Zahl $n \in ℤ$ mit einem Bruch $\frac{p}{q}$ , $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ , gilt:
  
  $\frac{p}{q} \cdot n = n \cdot \frac{p}{q} = \frac{n \cdot p}{q}$
  
  $1+1$
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  $2$ . Multiplikation zweier Brüche
  
  Info 7 info_7
  Seien $m, p \in ℤ$ und $n, q \in ℤ \ {0}$ . So gilt für die Multiplikation der beiden Brüche $\frac{m}{n}$ und $\frac{p}{q}$ :
  
  $\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q}$
  
  Es werden also Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert.
  
  Wichtig ist hierbei, zu wissen, dass die Multiplikation zweier Brüche im Sprachgebrauch durch Aussagen wie „ein Drittel von einer Hälfte“ ausgedrückt wird (was dem mathematischen Ausdruck $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ entspricht).
  
  Aufgabe 9 aufgabe_9
  
  Multiplizieren Sie die Brüche $\frac{3}{7}$ und $\frac{2}{9}$ und kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
  $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{9} =$
  2/21
  
  Kontrolle
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  $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 9} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21}$
  
  Aufgabe 10 aufgabe_10
  
  Zeigen Sie, dass die beiden obigen Regeln zum selben Ergebnis führen, wenn wir einen Bruch $\frac{p}{q}$ mit $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ wählen und diesen mit $n \in ℤ$ bzw. $\frac{n}{1}$ multiplizieren. Lösung anzeigen
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  Wir veranschaulichen uns den Sachverhalt, indem wir als Bruch $\frac{5}{3}$ wählen und als natürliche Zahl $n$ wählen wir exemplarisch $4$ .
  Demnach ergibt die Multiplikation nach der obigen Regel zur Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl:
  $\frac{5}{3} \cdot 4 = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} .$
  Nun betrachten wir $\frac{4}{1}$ anstelle von $4$ . Wir wenden also die Regel zur Multiplikation zweier Brüche an:
  $\frac{5}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 1} = \frac{20}{3} .$
  In diesem konkreten Beispiel führen beide Rechenregeln zu demselben Endergebnis. Wir betrachten nun den allgemeinen Fall mit Buchstabenvariablen.
  
  Sei $\frac{p}{q}$ ein Bruch mit $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ und sei $n \in ℤ$ . Nach der Regel zur Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl ergibt sich:
  $\frac{p}{q} \cdot n = \frac{p \cdot n}{q} .$
  Betrachten wir nun $\frac{n}{1}$ , dann erhalten wir nach der Regel zur Multiplikation zweier Brüche:
  $\frac{p}{q} \cdot \frac{n}{1} = \frac{p \cdot n}{q \cdot 1} = \frac{p \cdot n}{q} .$
  Damit haben wir gezeigt, dass wir mit beiden Rechenregeln zu demselben Ergebnis gelangen.
  
  $1+1$
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  $3$ . Division eines Bruches durch eine ganze Zahl
  
  Info 8 info_8
  Für die Division eines Bruches $\frac{p}{q}$ , $p \in ℤ$ und $q \in ℤ \ {0}$ , durch die ganze Zahl $n \in ℤ \ {0}$ gilt:
  
  $\frac{p}{q} : n = \frac{p}{q} \cdot \frac{1}{n} = \frac{p}{q \cdot n}$
  
  Es wird also der Nenner mit der Zahl multipliziert, durch die dividiert werden soll.
  
  Aufgabe 11 aufgabe_11
  
  Berechnen Sie und kürzen Sie, wenn möglich.
  $\frac{5}{9} : 3 =$
  5/27
  
  Kontrolle
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  $\frac{5}{9} : 3 = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 3} = \frac{5}{27}$
  
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  $4$ . Division durch einen Bruch
  
  Info 9 info_9
  Die Division durch einen Bruch führt man durch, indem man mit dem Umkehrbruch multipliziert.
  Für alle rationalen Zahlen $\frac{m}{n}$ und $\frac{p}{q}$ mit $m \in ℤ$ und $n, p, q \in ℤ \ {0}$ gilt:
  
  $\frac{m}{n} : \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{m \cdot q}{n \cdot p}$
  
  Die Division einer ganzen Zahl $m \in ℤ$ durch einen Bruch ist ein Spezialfall hiervon, da die ganzen Zahlen stets als Bruch $m = \frac{m}{1}$ geschrieben werden können.
  
  Aufgabe 12 aufgabe_12
  
  Dividieren Sie $4$ durch $\frac{2}{3}$ , indem Sie mit dem Umkehrbruch multiplizieren. Kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
  $4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot$
  3/2
  
  $=$
  6
  
  Kontrolle
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  $4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = \frac{6}{1} = 6$
  
  Dividieren Sie $\frac{5}{9}$ durch $\frac{5}{3}$ und kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
  $\frac{5}{9} : \frac{5}{3} =$
  1/3
  
  Kontrolle
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  $\frac{5}{9} : \frac{5}{3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$
  
  Einstiegsaufgabe
  
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Brüche

Einführung

Erweitern und Kürzen

Elementare Rechenoperationen