Intro Rechnen mit rationalen Zahlen

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Willkommen

In diesem Intro werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:

• Brüchen
• Dezimalzahlen
• Prozentrechnung

Sie befinden sich im Schnelleinstieg des Wissensbereiches. Klicken Sie hier für eine Übersicht über mögliche, persönliche Lernpfade mit dem Schnelleinstieg. Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird. Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.

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Einstiegsaufgabe

bereich_1 Wie geht man vor, um aus absoluten Zahlen Prozentangaben zu erhalten?
Wir gehen in mehreren Schritten vor. Prozentangaben sind eine spezielle Schreibweise für Anteile. Anteile geben an, wie häufig ein Merkmal in Relation zu einer Grundgesamtheit auftaucht. Man erhält hierbei eine rationale Zahl. Dieser Zahlbereich umfasst alle Zahlen, die man durch die Division einer ganzen Zahl durch eine weitere ganze Zahl (die nicht Null sein darf) ausdrücken kann. Man kann sie am einfachsten als Brüche schreiben: Im obigen Beispiel fuhren $15000$ der $30000$ Fahrzeuge bis zu $10\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu schnell. Der Anteil an Fahrzeugen, die bis zu $10\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu schnell fuhren, beträgt also:
${\displaystyle \frac{15000}{30000}}$
Um Brüche zu vereinfachen, kann man kürzen, ohne dass sich ihr Wert ändert.
Um zu kürzen, dividiert man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl: Den Bruch $\frac{15000}{30000}$ kann man auch umschreiben als $\frac{15000}{30000}=\frac{15·1000}{30·1000}$, sodass man den Faktor $1000$ kürzen kann
(d.h. man dividiert Zähler und Nenner durch $1000$):
${\displaystyle \frac{15000}{30000}=\frac{15·1000}{30·1000}=\frac{15}{30}}$
Den Bruch $\frac{15}{30}$ kann man noch weiter kürzen, da sowohl der Zähler als auch der Nenner die Faktoren $3$ und $5$ enthält:
${\displaystyle \frac{15}{30}=\frac{3·5}{3·5·2}=\frac{3·5}{2·3·5}=\frac{3}{2·3}=\frac{1·3}{2·3}=\frac{1}{2}}$
Man erhält also insgesamt:
${\displaystyle \frac{15000}{30000}=\frac{1}{2}}$
Analog kann man Brüche auch erweitern, indem man Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert. Mehr zur Bruchrechnung:

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bereich_1 Die Bruchschreibweise ist also eine Darstellungsform für rationale Zahlen. Eine weitere Darstellungsform ist die Dezimalschreibweise. Um von der Bruchschreibweise zur Dezimalschreibweise zu gelangen, muss man sich daran erinnern, dass der Bruchstrich lediglich eine andere Schreibweise für das Divisionszeichen ist. Statt $\frac{15000}{30000}$ kann man also genauso gut $15000:30000$ schreiben. Eine Dezimalzahl erhält man nun, indem man diese Division ausführt. In einfachen Fällen geht dies im Kopf, in komplizierteren muss man schriftlich dividieren oder einen Taschenrechner benutzen.

bereich_1 Bei der Umrechnung eines Bruches in eine Dezimalzahl fällt auf, dass die Anzahl an Nachkommastellen variiert: Beispielsweise entspricht die Bruchzahl $\frac{1}{2}$ der Dezimalzahl $\mathrm{0,5}$, während der Taschenrechner für den Anteil $\frac{1}{30}$ die Dezimalzahl $\mathrm{0,0333333333333}$ angibt. Die Anzahl der angezeigten Nachkommastellen variiert dabei je nach Taschenrechner. Aus der Schule wissen Sie noch, dass $\frac{1}{30}=\mathrm{0,0333}\dots =\mathrm{0,0}\bar{3}$ durch einen unendlichen periodischen Dezimalbruch dargestellt werden kann. Taschenrechner liefern hier immer nur Näherungen endlich vieler Stellen.

bereich_1 Die rationale Zahl $\frac{1}{30}$ lässt sich nicht als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen ausdrücken. Jede Darstellung durch eine abbrechende Dezimalzahl enthält also einen kleinen Fehler. Wir machen uns noch einmal klar, was eine Dezimalzahl bedeutet:

• Die erste Nachkommastelle bezeichnet Zehntel. Die Zahl $\mathrm{0,4}$ bedeutet also das gleiche wie $4·\frac{1}{10}=\frac{4}{10}$.
• Die zweite Nachkommastelle bezeichnet Hundertstel. Beispiel: $\mathrm{0,07}=7·\frac{1}{100}=\frac{7}{100}$.
• Die dritte Nachkommastelle bezeichnet Tausendstel, usw.

Abbrechende Dezimalzahlen kann man also immer auch als Bruch schreiben. Beispiel:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\mathrm{0,529}}& =\hfill & 5·\frac{1}{10}+2·\frac{1}{100}+9·\frac{1}{1000}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{5}{10}+\frac{2}{100}+\frac{9}{1000}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{500}{1000}+\frac{20}{1000}+\frac{9}{1000}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{529}{1000}\hfill \end{array}}$
Um einen Bruch aber in eine abbrechende Dezimalzahl umzuwandeln, müsste man ihn auf einen Nenner wie $10$, $100$, $1000$ usw. erweitern. Dies ist bei manchen Brüchen (wie $\frac{1}{30}$) aber nicht möglich, sodass sie sich nicht als abbrechende Dezimalzahl darstellen lassen. Allerdings kann man rationale Zahlen stets als periodische Dezimalzahlen schreiben. Der Strich über den Nachkommastellen gibt dabei an, welche Ziffern sich wiederholen. Beispiele:
${\displaystyle \frac{1}{30}=\mathrm{0,0}\bar{3}}$

${\displaystyle \frac{1}{7}=\mathrm{0,0}\overline{142857}}$
Darüber hinaus existieren noch reelle Zahlen, die sich weder durch abbrechende noch durch periodische Dezimalzahlen exakt ausdrücken lassen, z.B. $\sqrt{2}$. Darauf geht der Kurs Potenzen, Wurzeln, Logarithmen genauer ein. Mehr zu Dezimalzahlen:

bereich_1 Um Dezimalzahlen in Prozentangaben umzuschreiben, ist es hilfreich zu wissen, was das Wort „Prozent“ bedeutet. Prozent kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „von Hundert“. Prozente sind also Hundertstel. Da die zweite Nachkommastelle bei Dezimalzahlen ebenfalls Hundertstel bezeichnet, kann man bei Dezimalzahlen mit zwei Nachkommastellen direkt die Prozentangabe ablesen:
${\displaystyle \mathrm{0,08}=\frac{8}{100}=8·\frac{1}{100}=8\%}$

${\displaystyle \mathrm{0,45}=\frac{45}{100}=45·\frac{1}{100}=45\%}$
Besitzt eine Dezimalzahl mehr Nachkommastellen, so kann man sie mit dem Term $100·\frac{1}{100}$ multiplizieren. Dies ändert ihren Wert nicht, da sich der Faktor $100$ und der Faktor $\frac{1}{100}$ gegenseitig aufheben. Man gewinnt dadurch aber die Möglichkeit, den Faktor $\frac{1}{100}$ in das Prozentzeichen umzuschreiben und den Faktor $100$ in die Dezimalzahl einzurechnen. So erhält man die korrekte Prozentangabe. Beispiele:
${\displaystyle \mathrm{3,701}=\mathrm{3,701}·100·\frac{1}{100}=\mathrm{370,1}·\frac{1}{100}=\mathrm{370,1}\%}$

${\displaystyle \mathrm{0,002}=\mathrm{0,002}·100·\frac{1}{100}=\mathrm{0,2}·\frac{1}{100}=\mathrm{0,2}\%}$
Man kann an obigen Beispielen auch erkennen, dass sich das Komma der Dezimalzahl um zwei Stellen nach rechts verschiebt, wenn man sie in eine Prozentangabe umwandelt.

bereich_1 Mehr zur Prozentschreibweise: Was Sie in der ausführlichen Lerneinheit dieses Wissensbereichs erwartet, können Sie im Ausblick nachlesen: