Intro Rechnen mit rationalen Zahlen

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Dezimalschreibweise

Man kann rationale Zahlen auch als Dezimalzahl schreiben, anstatt sie mithilfe eines Bruches darzustellen. Umrechnen eines Bruches in eine Dezimalzahl Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzurechnen, nutzt man die Tatsache aus, dass der Bruchstrich lediglich eine andere Schreibweise für eine Division ist, und führt diese Division aus.
Eine andere Form der Umrechnung gelingt, wenn man den Nenner des Bruches zu einer Zehnerpotenz erweitern kann:
Bei komplizierteren Brüchen kann man die Division nicht mehr im Kopf ausführen, sodass man entweder schriftlich dividieren oder einen Taschenrechner zu Hilfe nehmen muss. Auf die schriftliche Division geht die Langversion dieses Kurses ein. Bei manchen Brüchen liefert die Division eine nicht-abbrechende Dezimalzahl, beispielsweise bei $\frac{1}{3}=1:3=\mathrm{0,33333}\dots$. Dezimalzahlen, die man auch als Brüche schreiben kann, weisen allerdings immer eine Periode auf, d.h. die Ziffern wiederholen sich ab einem bestimmten Punkt immer wieder. Dies deutet man durch einen waagerechten Strich über den sich wiederholenden Ziffern an.
Achtung:
Taschenrechner zeigen diese Periodizität in der Regel nicht an! Sie zeigen stattdessen eine Dezimalzahl mit einer bestimmten, vom Taschenrechner abhängigen Anzahl an Nachkommastellen an. Diese Zahl ist stets nur eine Näherung des korrekten Ergebnisses. Diese Rundung passiert auch bei Bruchzahlen, die eine endliche Dezimaldarstellung besitzen, die mehr Stellen hat als ein Taschenrechner darstellt. Ein Taschenrechner mit nur $10$ Stellen kann beispielsweise die Bruchzahl $\frac{1}{16 000 000}=\frac{625}{10 000 000 000}=\mathrm{0,0000000625}$ nicht vollständig anzeigen. Bei der Erweiterung des Zahlenraumes von rationalen zu reellen Zahlen kommen weitere Zahlen hinzu, die sich nicht als Bruch ausdrücken lassen. Diese Zahlen, beispielsweise $\sqrt{2}=\mathrm{0,414213562373095}\dots$, lassen sich nicht als abbrechende oder periodische Dezimalzahlen darstellen. Sie haben unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen. Der Taschenrechner kann auch hier stets nur einen Näherungswert anzeigen.

bereich_3 Umrechnen einer Dezimalzahl in einen Bruch Zur Wiederholung machen wir uns noch einmal klar, was die Nachkommastellen einer Dezimalzahl bedeuten:

• Die erste Nachkommastelle einer Dezimalzahl beschreibt Zehntel. Es gilt also: $\mathrm{0,1}=\frac{1}{10}$.
• Die zweite Nachkommastelle einer Dezimalzahl beschreibt Hundertstel. Es gilt also: $\mathrm{0,01}=\frac{1}{100}$.
• Die dritte Nachkommastelle einer Dezimalzahl beschreibt Tausendstel. Es gilt also: $\mathrm{0,001}=\frac{1}{1000}$.
• Und so weiter.

Die Ziffern vor dem Komma kann man als Bruch mit dem Nenner $1$ interpretieren. Das Ausdrücken einer Dezimalzahl als Summe von Brüchen ist somit ohne Rechnung möglich. Um diese Brüche zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen, erweitert man mit Potenzen von $10$, bis alle Summanden den gleichen Nenner aufweisen. In einigen Fällen kann man den so erhaltenen Bruch noch kürzen.

bereich_3 Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Das Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen folgt den gleichen Regeln wie das Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen und Brüche, wobei mit den Nachkommastellen genauso verfahren wird wie mit den Ziffern vor dem Komma: Die Zehntel werden zu den Zehnteln addiert, die Hundertstel zu den Hundertsteln und so weiter. Übersteigt die Summe aus zwei Ziffern den Wert $10$, so wird der Übertrag der nächstgrößeren Stelle zugerechnet. Analog wird beim Subtrahieren eine „$10$“  von der nächstgrößeren Stelle heruntergeholt, wenn eine größere Ziffer von einer kleineren subtrahiert werden soll.

bereich_3 Multiplikation von Dezimalzahlen Auch die Multiplikation von Dezimalzahlen kann man auf die Multiplikation von ganzen Zahlen und die von Brüchen zurückführen. Eine Möglichkeit hierfür ist, dass man die Dezimalzahlen als Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner schreibt. Dann muss man lediglich die ganzzahligen Zähler und Nenner multiplizieren. Den resultierenden Bruch, dessen Nenner weiterhin eine Zehnerpotenz darstellt, kann man dann wiederum als Dezimalzahl ausdrücken.
Das Umwandeln in Brüche ist als Verfahren zu umständlich. Man kann sich folgende Regel (zunächst für positive Dezimalzahlen) merken:
Man multipliziert zwei Dezimalzahlen, indem man das Komma weglässt und die zwei ganzen Zahlen multipliziert. Die Anzahl der Stellen nach dem Komma ergibt sich aus der Summe der Anzahl der Stellen nach dem Komma bei den Einzelzahlen.
Die Regel wird in der Langversion genauer begründet. Achtung: Wie man am obigen Beispiel $40·\mathrm{0,005}$ erkennen kann, können diese Nachkommastellen des Ergebnisses auch Null sein, sodass sich weniger „echte“  Nachkommastellen des Ergebnisses ergeben.

bereich_3 Division von Dezimalzahlen Bei der Division von Dezimalzahlen ist es am geschicktesten, den Divisor (also die Zahl, durch die dividiert werden soll) in eine ganze Zahl und eine Zehnerpotenz zu zerlegen. Dies erreicht man auch, indem man die Zahl in einen Dezimalbruch umschreibt. Dann kann man die Division durch die ganze Zahl durchführen. Die Zehnerpotenz kann man an geeigneter Stelle einrechnen. Die Division durch eine ganze Zahl wird hier als bekannt vorausgesetzt. Sie wird in der Langversion dieser Lerneinheit ausführlich behandelt.
Für anspruchsvollere Zahlenbeispiele verwendet man in der Regel einen Taschenrechner, der liefert aber oft nur Näherungswerte, die allerdings für praktische Zwecke in der Regel ausreichend sind.