Prozentrechnung
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Chapter 1 Studifinder - 1.2 Rechnen mit rationalen Zahlen - Prozentrechnung Inhalte mit Erklärungen
Datum Sep 28, 2026orca_rationalezahlen_prozente_Prozentrechnung22Prozentschreibweise
Einführung Da wir im Zehnersystem rechnen, hat sich über die Jahrhunderte herausgestellt, dass dem Bruch eine relativ hohe Bedeutung zukommt. Es hat sich daher ein eigener Name für ihn eingebürgert, nämlich das Wort „Prozent“. Es stammt aus dem Lateinischen und bedeutet „von Hundert“. Ihm zugeordnet ist das Prozentzeichen %, das man statt des Bruches verwenden kann. Analog hat sich auch für den Bruch ein eigener Name entwickelt: Der Begriff „Promille“ stammt ebenfalls aus dem Lateinischen und bedeutet „von Tausend“. Für den Bruch kann man auch das Zeichen ‰ verwenden. Allerdings ist dies weniger stark verbreitet als das Prozentzeichen.
Definition 1
Das Prozentzeichen % ist eine andere Schreibweise für den Bruch . Der Ausdruck bedeutet also .
Aufgabe 1
Schreiben Sie folgende Prozentangaben in Brüche um und kürzen Sie so weit wie möglich!
Lösung anzeigen Regel 1
Um einen Bruch als Prozentangabe auszudrücken, erweitert man ihn auf den Nenner . Beispiel: Brüche, bei denen die Erweiterung auf den Nenner nicht möglich ist, werden zunächst in eine Dezimalzahl umgewandelt und anschließend mit multipliziert, um auf die Prozentangabe zu kommen.Besitzt eine Dezimalzahl maximal zwei Nachkommastellen, so kann man die dazugehörige Prozentangabe direkt ablesen.
Aufgabe 2
Beispiel 2Um eine Dezimalzahl mit mehr Nachkommastellen in eine Prozentangabe umzuwandeln, „erweitert“ man sie mit dem Bruch . Dann kann man den Zähler mit der Dezimalzahl multiplizieren und das verbleibende in das Prozentzeichen umwandeln.
Beispiel 3
Auf einen Einkauf von wird ein Nachlass von gewährt. Wie viel entspricht das, also der Anteil ? Ein Taschenrechner zeigt als Ergebnis . Das ist ein gerundetes Ergebnis. Auf zwei Stellen genau hinter dem Komma gilt:
Beispiel 4Hier kann man eine Regelmäßigkeit entdecken (die Umwandlung entspricht einer Multiplikation mit ):
Regel 2
Bei der Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Prozentangabe verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.Beispiel 5
Der Weg über die Dezimalschreibweise ist auch hilfreich, wenn man Brüche, deren Nenner sich nicht auf erweitern lässt, in Prozentangaben umwandeln möchte: In diesem Fall wandelt man zunächst den Bruch in die zugehörige Dezimalzahl um und schließlich die Dezimalzahl in eine Prozentangabe.
Aufgabe 3
Beispiel 6Wir betrachten den Bruch , dessen Nenner nicht auf erweitert werden kann. Als Dezimalzahl schreiben wir also . Nach der obigen Regel können wir somit direkt ablesen: .
Beispiel 7Um eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl zu verwandeln, multipliziert man den Faktor , der dem Prozentzeichen entspricht, mit der Dezimalzahl.
Umwandlung einer Prozentangabe in einen Bruch:Beispiel 8Auch hier kann man eine Regelmäßigkeit entdecken (die Umwandlung entspricht der Division durch ):
Regel 3:
Bei der Umwandlung einer Prozentangabe in eine Dezimalzahl verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.Beispiel 9
Rechnen mit Prozentangaben Da Prozentangaben nur eine andere Schreibweise für Brüche und Dezimalzahlen sind, wandelt man sie zunächst in einen Bruch oder eine Dezimalzahl um und kann dann die bekannten Rechenregeln anwenden.
Aufgabe 4
Info 1
Wichtig: Die Ausdrucksweise „p Prozent von...“ bedeutet hier, dass mit dem nachfolgenden Term multipliziert wird. Zum Beispiel entspricht „ von “ dem Ausdruck .Beispiel 10Der Ausgangswert in obigem Beispiel war die Zahl ; diesen nennen wir im Allgemeinen Grundwert. Die Prozentangabe nennen wir auch Prozentsatz. Das Ergebnis (), wenn wir den prozentualen Anteil des Prozentsatzes vom Grundwert angeben, heißt auch Prozentwert.
Eine Bank bietet ihren Kunden jährliche Zinsen an. Wieviel Zinsen erhält ein Anleger nach einem Jahr, wenn er anlegt? Diese Aufgabe kann man entweder lösen, indem man die Prozentangabe in einen Bruch umrechnet und dann mit dem Bruch weiterrechnet:
oder Schneller geht es aber, wenn man die Prozentangabe direkt in eine Dezimalzahl umwandelt: und mit dieser Dezimalzahl weiterrechnet: Auf allen Rechenwegen erhält man das Ergebnis, dass der Kunde Zinsen erhält.Wir betrachten die neu eingeführten Begriffe nun noch einmal im Zusammenhang mit einem Beispiel.Definition 2
Wenn eine reelle Zahl mit einer positiven reellen Zahl als Prozentangabe multipliziert wird und ein reelles Ergbenis dabei herauskommt, legen wir folgende Benennungen fest:- heißt Grundwert
- heißt Prozentsatz
- heißt Prozentwert.
Beispiel 11
Wie verändert sich der Preis eines Produkts, wenn dieser zuerst um % erhöht wird und von dem neuen Preis ausgehend im Anschluss um % reduziert wird? Wir untersuchen diese Frage anhand des Beispiels einer Tasche, die € kostet. Der Grundwert ist also . Die Erhöhung um % entspricht dem Prozentsatz. Es gilt . Damit kann der Prozentwert berechnet werden: . Nach einer Erhöhung des Preises von € um % kostet die Tasche also .
Um den erhöhten Preis auszurechnen, kann man auch schreiben
Bei Erhöhung um errechnet sich der neue Preis durch Multiplikation mit .
Um den Preis nach einer anschließenden Reduzierung um % (Prozentsatz) zu berechnen, muss nun von dem neuen Preis € als Grundwert ausgegangen werden. Wir berechnen den neuen Prozentwert: . Wird der Preisnachlass von dem Grundwert abgezogen, erhalten wir . Damit ist die Tasche also am Ende günstiger als zu Beginn. Es ist also wichtig sich darüber im Klaren zu sein, was Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert jeweils für einen Aufgabenkontext bedeuten. Wären wir in beiden Fällen von dem Grundwert € ausgegangen (anstatt die im ersten Schritt vorgenommene Erhöhung des Grundwertes auf zu berücksichtigen), so wären wir am Ende (fälschlicherweise!) wieder auf das Ergebnis gekommen. Wie verändert sich der Preis eines Produkts, wenn wir es umgekehrt machen und zuerst % Rabatt vom Preis abziehen, um den Preis anschließend um % zu erhöhen? Überlegen Sie!Regel 4
- Wird ein Grundwert um erhöht, so ergibt sich als neuer Wert .
- Wird ein Grundwert um verringert, so ergibt sich als neuer Wert .
Beispiel 12
Wir gehen von dem Grundwert aus. Bei einer Erhöhung um ergibt sich als neuer Wert . Eine Verringerung des Grundwertes um ergäbe .Beispiel 13
Wir gehen von dem Grundwert aus. Bei einer Erhöhung um ergibt sich als neuer Wert . Eine Verringerung des Grundwertes um ergäbe .
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