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  Chapter 1 Studifinder - 1.2  Rechnen mit rationalen Zahlen - Runden und Rechnen mit Größen
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_rationalezahlen_rundengroessen_
  
  Runden und Rechnen mit Größen
  
  2
  
  3
  
  bereich_3
  Wenn wir Größenvergleiche anstellen, dann können wir dies in der Mathematik mithilfe des Kleiner-Zeichens bzw. Größer-Zeichens ausdrücken.
  
  Info 1: Zahlengeradeinfo_1
  Die Zahlengerade ist ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung der (reellen) Zahlen auf einer Linie, die mit einer Richtung versehen ist. Auf der Zahlengerade können verschiedene Zahlen eingetragen werden. Dabei sind die Abstände der Zahlen gleichmäßig, d.h. 1 und 3 sind genauso weit voneinander entfernt wie 15 und 17. Wir gehen hier davon aus, dass die Richtung einer Zahlengeraden immer nach rechts zeigend eingetragen wird.
  
  Bild 1 So könnte bspw. eine Zahlengerade aussehen. Rechts wird jeweils die Richtung durch den Pfeil angezeigt und die Abstände der Zahlen sind einheitlich.
  
  Betrachten Sie nun einmal das nachfolgende Applet, welches die Beziehung zweier Zahlen a und b zueinander darstellt:
  
  var parameters = { "width":589, "height":196, "showToolBar":false, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showResetIcon":true, "enableLabelDrags":false, "enableShiftDragZoom":true, "enableRightClick":false, "showToolBarHelp":false, "errorDialogsActive":true, "useBrowserForJS":false, "ggbBase64":"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" } var _2_rationaleZahlen_relationZweierZahlen = new GGBApplet('5.', parameters, ggb_views); _2_rationaleZahlen_relationZweierZahlen.setHTML5Codebase("https://www.geogebra.org/apps/5.0.543.0/web3d"); _2_rationaleZahlen_relationZweierZahlen.inject("_2_rationaleZahlen_relationZweierZahlen_container", 'html5');
  
  Applet herunterladen
  
  Anhand der Zahlengeraden können wir also feststellen, welche von beiden Zahlen die größere ist oder ob beide gleich groß sind.
  
  Definition 1definition_1
  Sind a, b reelle Zahlen, dann legen wir fest:
  
  $a > b$ , sprich „ $a$ ist größer als $b$ “, wenn $a$ rechts von $b$ auf der Zahlengeraden liegt,
  
  $a < b$ , sprich „ $a$ ist kleiner als $b$ “, wenn $a$ links von $b$ auf der Zahlengeraden liegt,
  
  $a = b$ , sprich „ $a$ ist gleich $b$ “, wenn $a$ genau auf $b$ auf der Zahlengeraden liegt.
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Es gilt:
  
  $10 > 5$ bzw. $5 < 10$ da die 5 weiter links auf der Zahlengeraden liegt als die 10.
  
  $- 17 < 0$ , da die 0 weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt als die 17.
  
  $- 0,5 < 8$
  
  $- 8 < 0,5$
  
  Satz 1satz_1
  Für zwei reelle Zahlen a, b trifft genau eine der folgenden drei Möglichkeiten zu:
  $\begin{matrix} a < b, a = b oder a > b \end{matrix}$
  
  Begründung: Diese Aussage entnehmen wir der Anschauung. Eine tiefergehende Begründung ist möglich, wenn wir die reellen Zahlen präziser definieren.
  
  Bemerkung: Nach einem intuitiven Alltagsverständnis wird manchmal unter „kleiner“ auch „näher an der Null gelegen“ verstanden. Diese Interpretation gilt aber nur für den Größenvergleich zweier positiver Zahlen.
  Die Beziehung zweier reeller Zahlen zueinander kann auch mithilfe des Kleinergleich-Zeichens bzw. Größergleich-Zeichens angegeben werden, wenn wir den Fall der Gleichheit nicht ausschließen wollen.
  
  Definition 2definition_2
  Sind a, b reelle Zahlen. Wir schreiben $a \leq b$ , wenn gilt $a < b$ oder $a = b$ und sagen $a$ ist kleiner oder gleich $b$ , bzw. schreiben $a \geq b$ , wenn gilt $a > b$ oder $a = b$ und sagen $a$ ist größer oder gleich $b$ .
  
  Aus der Beziehung $a < b$ folgt stets auch $a \leq b$ . Die Umkehrung wiederum ist falsch, da aus $a \leq b$ nicht notwendig $a < b$ folgen muss.
  Darüber hinaus ist zu beachten, dass beispielsweise die Aussage $0 \leq 1$ als richtig anzusehen ist, denn $0 \leq 1$ ist genau dann richtig, wenn $0 < 1$ oder $0 = 1$ gilt. Dies ist aber der Fall, da $0 < 1$ .
  
  Info 2info_2
  Für drei reelle Zahlen $a, b, c \in ℝ$ mit $a < b$ gilt:
  
      $a + c < b + c$
  
      $a \cdot c < b \cdot c$     falls $c > 0$
  
      $a \cdot c > b \cdot c$     falls $c < 0$
  
  Diese Regeln gelten analog auch für $\leq$ und $\geq$ .
  
  Video 2video_2
  
  In diesem Video werden Relationen reeller Zahlen erläutert.
  
  Beispiel 2beispiel_2
  Wir betrachten die Zahlen 3, 7 und 11. Die folgenden Behauptungen sind korrekt:
  
  $3 < 11$
  
  $3 + 7 < 11 + 7$
  
  $3 \cdot 7 < 11 \cdot 7$
  
  $3 \cdot (- 7) > 11 \cdot (- 7)$
  
  Größen und Einheiten
  Größen werden durch Zahlen mit Maßeinheiten angegeben.
  
  Definition 3definition_3
  Unter dem Begriff der Einheit oder auch Maßeinheit werden Bezeichnungen wie beispielsweise der Meter ( $1 m$ ) als Maß für eine Länge, das Kilogramm ( $1 kg$ ) als Maß für eine Masse (Gewicht), die Stunde ( $1 h$ ) als Maß für die Zeit oder auch der Euro ( $1 €$ ) als Maß für Währung verstanden.
  
  Info 3info_3
  Um zwei mit Maßeinheiten versehene Größen (Zahlen) vergleichen zu können, müssen sie in dieselbe Maßeinheit umgerechnet werden. Wenn dies nicht möglich ist, können wir auch die Größen nicht miteinander vergleichen.
  
  Beispiel 3beispiel_3
  Welche Angabe ist größer: $4 \min$ oder $15 kg$ ?
  Die erste Größe, Minuten, ist ein Maß für die Zeit, während die andere Größe, Kilogramm, ein Maß für die Masse ist. Diese können deshalb nicht in dieselbe Maßeinheit umgerechnet werden. Es wäre also Unsinn zu behaupten: $4 \min < 15 kg$ !
  
  Regel 1 regel_1
  Längenumrechnung:
  
  $1 km = 1000 m$ $1 m = \frac{1}{1000} km$
  
  $1 m = 10 dm$ $1 dm = \frac{1}{10} m$
  
  $1 dm = 10 cm$ $1 cm = \frac{1}{10} dm$
  
  $1 cm = 10 mm$ $1 mm = \frac{1}{10} cm$
  
  Massenumrechnung:
  
  $1 t = 1000 kg$ $1 kg = \frac{1}{1000} t$
  
  $1 kg = 1000 g$ $1 g = \frac{1}{1000} kg$
  
  $1 g = 1000 mg$ $1 mg = \frac{1}{1000} g$
  
  Beispiel 4beispiel_4
  Nach der Umrechnungsregel können die gegebenen Größen wie folgt umgerechnet werden:
  
  Wandeln Sie $99 dm$ in $m$ und $cm$ um:
  $99 dm = 99 \cdot 10 cm = 990 cm$
  $99 dm = 99 \cdot \frac{1}{10} m = 9,9 m$
  
  Wandeln Sie $125 m$ in $km$ und $dm$ um:
  $125 m = 125 \cdot 10 dm = 1250 dm$
  $125 m = 125 \cdot \frac{1}{1000} km = 0,125 km$
  
  Wandeln Sie $33 g$ in $t$ und $mg$ um:
  $33 g = 33 \cdot \frac{1}{1000} kg = 0,033 \cdot \frac{1}{1000} t = 0,000033 t$
  $33 g = 33 \cdot 1000 mg = 33000 mg$
  
  Wandeln Sie $1024 kg$ in $t$ und $mg$ um:
  $1024 kg = 1024 \cdot \frac{1}{1000} t = 1,024 t$
  $1024 kg = 1024 \cdot 1000 g = 1024000 \cdot 1000 mg = 1 024 000 000 mg$
  
  Wandeln Sie $0,001 m$ in $km$ und $mm$ um:
  $0,001 m = 0,001 \cdot \frac{1}{1000} km = 0,000001 km$
  $0,001 m = 0,001 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 mm = 1 mm$
  
  Wandeln Sie $2048 cm$ in $m$ und $mm$ um:
  $2048 cm = 2048 \cdot \frac{1}{100} m = 20,48 m$
  $2048 cm = 2048 \cdot 10 mm = 20480 mm$
  
  Runden und Überschlagsrechnung
  
  Wenn es bei einer Rechnung nicht auf eine absolute Genauigkeit ankommt, kann gerundet werden, bspw. um eine Rechnung zu prüfen oder wenn die Rechnung auf Messwerten beruht.
  
  Info 4info_4
  Die Rundungsstelle bezeichnet jene Stelle, auf welche gerundet wird.
  
  Ist die nachfolgende Ziffer kleiner als $5$ , wird abgerundet. Dabei bleibt die Rundungsstelle gleich und alle Stellen dahinter werden durch Nullen ersetzt.
  
  Ist die nachfolgende Ziffer größer oder gleich $5$ , wird aufgerundet. Dabei wird die Rundungsstelle um eins erhöht und alle Stellen dahinter werden durch Nullen ersetzt.
  
  Beispiel 5beispiel_5
  Ein Schüler rechnet eine Reihe von Übungsaufgaben zur Addition von Dezimalzahlen. Eine Rechnung notiert er wie folgt: $3,23 + 8,32 + 7,75 = 11,3$ . Seine Lehrerin rundet auf Einer genau und rechnet $3 + 8 + 8 = 19$ . Sie kann den Schüler damit, ohne die genaue Rechnung durchzuführen, darauf hinweisen, dass seine Rechnung vermutlich nicht korrekt ist.
  
  $3,23$ wird zu 3 abgerundet, da auf ganze Zahlen gerundet werden soll und die erste Nachkommastelle 2 kleiner ist als 5.
  
  $8,32$ wird zu 8 abgerundet, da auf ganze Zahlen gerundet werden soll und die erste Nachkommastelle 3 kleiner ist als 5.
  
  $7,75$ wird zu 8 aufgerundet, da auf ganze Zahlen gerundet werden soll und die erste Nachkommastelle 7 größer ist als 5.
  
  Beispiel 6beispiel_6
  Im Geometrieunterricht soll die Hypotenuse $c$ eines im Mathebuch abgedruckten rechtwinkligen Dreiecks bestimmt werden. Eine Schülerin misst mit dem Geodreieck die beiden Katheten, diese sind $3 cm$ und $5 cm$ lang. Laut dem Satz des Pythagoras kann sie die Länge der Hypotenuse berechnen, indem Sie $c$ wie folgt berechnet: $c^{2} = 3^{2} + 5^{2} \Leftrightarrow c = \sqrt{3^{2} + 5^{2}}$ (Einheit Zentimeter). Mit dem Taschenrechner erhält sie $c = 5,8309 \dots cm$ . Sie rundet auf die erste Nachkommastelle (also auf Millimeter genau) $c \approx 5,8 cm$ , denn mit dem Geodreieck konnten auch die Katheten zuvor nur auf etwa $1 mm$ genau gemessen werden.
  Beim Runden auf die erste Nachkommastelle genau wird $5,8309$ zu $5,8$ abgerundet, da an der Nachfolgenden Stelle (zweite Nachkommastelle) eine 3 steht.
  
  Es ist mathematisch falsch zu schreiben $5000,1 + 4000,0314 = 5000 + 4000$ , obwohl beide Ergebnisse relativ nah beieinander liegen. Dies kann in einer Formel so ausgedrückt werden: $5000,1 + 4000,0314 \approx 5000 + 4000$ .
  
  Info 5info_5
  Mit dem Ungefähr-Zeichen $\approx$ wird angegeben, dass eine Zahl nur angenähert dargestellt wird.
  
  Beispiel 7beispiel_7
  Wenn Sie für 8,99 € eingekauft haben, haben Sie ungefähr $9$ € ausgegeben. Mathematisch kann dies so dargestellt werden: $8,99 € \approx 9 €$ .
  
  Die Rundungsstelle beeinflusst die Genauigkeit der Rechnung, kann aber auch die Rechnung vereinfachen. Ihre Wahl wird meistens anhand der benötigten Genauigkeit getroffen.
  
  Beispiel 8beispiel_8
  Runden erhöht den Abstand zum genauen Ergebnis. Dabei ist auch die Rundungstelle von Bedeutung. Runden wir zuerst die Zahl $3456,56$ auf Zehntel und dann auf Hunderter
  $3456,56 \approx 3456,6$
  $3456,56 \approx 3500$
  Somit wissen wir, dass die erste Rundungszahl mit $3456,6$ näher an der ursprünglichen Zahl liegt als die zweite Rundungszahl mit $3500$ .
  
  Um eine Überschlagsrechnung mit Additionen und Subtraktionen durchzuführen, werden alle Zahlen in einer Rechnung an der gleichen Stelle gerundet. Mit diesen gerundeten Zahlen werden dann die vorgesehenen Rechnungen ausgeführt.
  
  Bei Überschlagsrechnungen mit Multiplikationen oder Divisionen können die einzelnen Zahlen auch an unterschiedlichen Stellen gerundet werden. Dies zeigt das nachfolgende Beispiel.
  
  Beispiel 9beispiel_9
  Alle Werte werden nach den Rundungsregeln an den gleichen Stellen gerundet:
  $\begin{matrix} 7,49 + 9,56 & \approx & 7,5 + 9,6 & = & 17,1 \\ oder & 7,49 + 9,56 & \approx & 7 + 10 & = & 18 \\ 349 + 344 & \approx & 350 + 340 & = & 690 \\ oder & 349 + 344 & \approx & 300 + 300 & = & 600 \end{matrix}$
  Alle Werte werden nach den Rundungsregeln an unterschiedlichen Stellen gerundet:
  
  $\begin{matrix} 2,3 \cdot 0,435 \approx 2 \cdot 0,44 = 0,88 \\ oder & 2,3 \cdot 0,435 \approx 2 \cdot 0,4 = 0,8 \\ 6,1 \cdot 0,548 \approx 6 \cdot 0,55 = 3,3 \\ oder & 6,1 \cdot 0,548 \approx 6 \cdot 0,5 = 3 \end{matrix}$
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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  $1+1$

$1 km = 1000 m$	$1 m = \frac{1}{1000} km$
$1 m = 10 dm$	$1 dm = \frac{1}{10} m$
$1 dm = 10 cm$	$1 cm = \frac{1}{10} dm$
$1 cm = 10 mm$	$1 mm = \frac{1}{10} cm$

$1 t = 1000 kg$	$1 kg = \frac{1}{1000} t$
$1 kg = 1000 g$	$1 g = \frac{1}{1000} kg$
$1 g = 1000 mg$	$1 mg = \frac{1}{1000} g$

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