Abschnitt: Potenzen | Intro Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

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  Intro Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Potenzen
  
  Die folgenden Beispiele sollen Ihnen dabei helfen, sich die Rechengesetze der Potenzrechnung selbstständig zu erschließen.
  
  Aufgabe 13 aufgabe_13
  Man betrachte folgende Gleichung
  $2^{3} \cdot 2^{5} = \underset{3 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2}} \cdot \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}$
  $= \underset{(3 + 5) - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} = 2^{3 + 5} = 2^{8}$
  
  Was ergibt sich für $3^{2} \cdot 3^{7}$ ?
  3^9
  
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  Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich bei beiden Beispielen erkennen? Formulieren Sie ein allgemeingültiges Gesetz für obige Gleichungen, das für alle $a \in ℝ \ {0}$ und $m, n \in ℕ$ gilt:
  $a^{m} \cdot a^{n} =$
  a^(m+n)
  
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  Es ergibt sich: $3^{2} \cdot 3^{7} = \underset{2 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot 3}} \cdot \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}$
  $= \underset{9 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}} = 3^{9}$
  
  Für $n, m \in ℕ$ gilt die Formel $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
  
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  Aufgabe 14 aufgabe_14
  Es gilt
  $(2^{3})^{5} = \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2^{3} \cdot \dots \cdot 2^{3}}} = 2^{\overset{5 - mal}{\overset{⏞}{3 + \dots + 3}}} = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$
  wobei beim zweiten Gleichheitszeichen die gerade aufgestellte Regel $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ benutzt wurde.
  
  Berechnen Sie analog $(3^{2})^{7} =$
  3^(14)
  
  Kontrolle
  
  Stellen Sie auch hier eine allgemeine Formel für alle $a \in ℝ \ {0}$ und $m, n \in ℕ$ auf:
  $(a^{m})^{n} =$
  a^(m*n)
  
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  Wir erhalten: $(3^{2})^{7} = \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3^{2} \cdot \dots \cdot 3^{2}}} = 3^{14}$
  
  Für $m, n \in ℕ$ gilt die Formel $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ .
  
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  Aufgabe 15 aufgabe_15
  Ein weiteres Rechengesetz für Potenzen findet man durch folgende Betrachtung:
  $2^{5} \cdot 3^{5} = \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot \dots \cdot 2}} \cdot \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot \dots \cdot 3}}$
  $= \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{(2 \cdot 3) \cdot \dots \cdot (2 \cdot 3)}} = (2 \cdot 3)^{5} = 6^{5}$
  
  Wie lautet demzufolge das Ergebnis für $3^{7} \cdot 5^{7}$ ?
  15^7
  
  Kontrolle
  
  Wie kann man diese Berechnungen für alle $a, b \in ℝ \ {0}$ und $m, n \in ℕ$ verallgemeinern?
  $a^{n} \cdot b^{n} =$
  (a*b)^n
  
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  Das Ergebnis lautet: $15^{7}$ und man erhält es so:
  $3^{7} \cdot 5^{7} = \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot \dots \cdot 3}} \cdot \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{5 \cdot \dots \cdot 5}}$
  $= \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{(3 \cdot 5) \cdot \dots \cdot (3 \cdot 5)}} = 15^{7}$
  
  Für $n \in ℕ$ gilt die Formel $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$ .
  
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  Sie haben nun die Potenzgesetze für natürliche Exponenten entdeckt. Diese lassen sich leicht auf ganzzahlige Exponenten erweitern. Dafür hat es sich als zweckmäßig herausgestellt, einige Festlegungen zu treffen. Warum diese sinnvoll sind, erfahren Sie in der Langversion dieser Lerneinheit.
  
  Info 2 info_2
  Sei $n$ eine natürliche Zahl, $a$ eine reelle Zahl und $a \neq 0$ . Man definiert:
  $\begin{matrix} a^{0} & = & 1 \\ a^{1} & = & a \\ a^{- n} & = & {(\frac{1}{a})}^{n} \end{matrix}$
  Für den Fall $a = 0$ gilt folgende Definition:
  $0^{n} = 0$
  für alle positiven Exponenten $n$ . Für negative Exponenten ist der Ausdruck nicht definiert („Man kann nicht durch Null dividieren“).
  
  Info 3: Potenzgesetze info_3
  
  Für alle $a, b \in ℝ \ {0}$ und $m, n \in ℕ$ gilt:
  $\begin{matrix} a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} & (P1) \\ {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} & (P2) \\ a^{n} \cdot b^{n} & = & (a \cdot b)^{n} & (P3) \end{matrix}$
  
  Mit Hilfe von Wurzeln lassen sich diese Potenzgesetze auch für rationale Exponenten $m$ und $n$ formulieren und Beweisen und somit schließlich auch für alle reellen Exponenten. Das klappt jedoch im Allgemeinen nur noch mit einer positiven Basis $a$ bzw. $b$ . Mehr dazu finden Sie in der Langversion dieser Lerneinheit, aber auch schon im nachfolgenden Abschnitt zu Wurzeln.
  
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