Intro Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

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Willkommen!

In der Kurzversion dieser Lerneinheit werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:

• Potenzgesetze
• Wurzeln
• Logarithmen zu verschiedenen Basen

Die mathematischen Inhalte in diesem Kurs sind in eine Einstiegsaufgabe eingebettet. Sie befinden sich im Schnelleinstieg des Wissensbereiches. Klicken Sie hier für eine Übersicht über mögliche, persönliche Lernpfade mit dem Schnelleinstieg. Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird. Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.

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Einstiegsaufgabe

Vor einigen Jahren wollte eine Bankkundin $2000\text{€}$ anlegen, um sich zu ihrem Renteneintritt $18$ Jahre später ein neues Auto kaufen zu können. Sie hatte damals zwei Angebote verschiedener Banken:

• Bank A bot ihr jährlich $\mathrm{4,9}\%$ Zinsen an. Die Zinsen sollte sie laut Angebot immer zum Jahresende erhalten und sie würden ab dem darauffolgenden Jahr mit verzinst werden.
• Bank B bot ihr monatlich $\mathrm{0,4}\%$ Zinsen an, auf die sie dann schon ab dem jeweils darauffolgenden Monat Zinseszinsen erhalten würde.

Welches Angebot ist besser? Sie führt zuerst eine Überschlagsrechnung durch:

• Bei Bank A erhält sie jährlich $\mathrm{4,9}\%$ Zinsen.
• Bei Bank B erhält sie jeden Monat $\mathrm{0,4}\%$ Zinsen, also im Verlauf eines Jahres ungefähr $12·\mathrm{0,4}\%=\mathrm{4,8}\%$. Allerdings erhält sie hier monatlich auf die schon ausgezahlten Zinsen noch Zinseszinsen, sodass insgesamt etwas mehr als $\mathrm{4,8}\%$ herauskommen muss. Ob es mehr als $\mathrm{4,9}\%$ sein werden, kann sie so leicht aber nicht abschätzen.

Die Überschlagsrechnung reicht ihr daher nicht und sie versucht, es genauer auszurechnen.

bereich_1 Um die beiden Angebote vergleichen zu können, möchte die Bankkundin ausrechnen, welchem jährlichen Zinssatz die $\mathrm{0,4}\%$ monatlichen Zinsen entsprechen, die Bank B anbietet.

bereich_1 Aufgabenstellung noch einmal ansehen Die Bankkundin hat also ermittelt, dass ihr Kapital bei Bank B nach $m$ Monaten gemäß der Formel
${\displaystyle K_m=1,{004}^m·K_0}$
angewachsen ist. Nach einem Jahr, also $m=12$ Monaten, beträgt es also:
${\displaystyle K_{12}=1,{004}^{12}·K_0\approx \mathrm{1,04907}·K_0}$
Man kann also sagen, dass Bank B $\mathrm{4,907}\%$ Zinsen im ersten Jahr angeboten hat. Da sie bei Bank A nur $\mathrm{4,9}\%$ jährliche Zinsen erhält, scheint das Angebot von Bank B etwas besser zu sein.

bereich_1 Aufgabenstellung noch einmal ansehen Ist das Angebot von Bank B generell besser oder gilt nur nach dem ersten Jahr, dass der Kapitalzuwachs bei Bank B größer ist? Das Angebot von Bank B ist unabhängig vom Anlagezeitraum besser. Denn (wie die Bankkundin korrekt berechnet hat) steigt das Kapital bei Anlage bei Bank B gemäß der Formel:
${\displaystyle K_m=1,{004}^m·K_0.}$
nach $m$ Monaten an. Man kann hieraus die Formel ablesen, nach der es innerhalb von $n$ Jahren ansteigt: Da jedes Jahr aus $12$ Monaten besteht, entwickelt sich das Kapital bei Anlage bei Bank B nach $n$ Jahren, also $m=12·n$ Monaten, gemäß folgender Formel:
${\displaystyle K_n=1,{004}^{12·n}·K_0.}$
Es wurden also zwei Formeln für das Kapital $K_n$ nach $n$ Jahren gefunden:

• Bank A: $K_n=1,{049}^n·K_0$
• Bank B: $K_n=1,{004}^{12·n}·K_0$

Man kann natürlich jetzt Zahlen einsetzen und ausrechnen, bei welcher dieser beiden Zinssätze die Bankkundin nach einer bestimmten Anzahl von Jahren mehr Kapital hat. Eleganter ist es jedoch, das allgemeinere Problem zu lösen: Bei welcher Bank wächst das angelegte Kapital schneller an? Um die Formeln vergleichen zu können, muss man die Regeln der Potenzrechnung kennen (siehe auch ). Eine davon lautet:
${\displaystyle a^{m·n}={\left(a^m\right)}^n}$
Wenn man den Term, der kein $n$ enthält, mithilfe eines Taschenrechners ausrechnet, kann man die beiden Zinssätze gut vergleichen. Bank B bietet also:
${\displaystyle K_n=1,{004}^{12·n}·K_0\hspace{0.5em}\approx \hspace{0.5em}1,{04907}^n·K_0}$
und daher einen geringfügig höheren jährlichen Zinssatz, nämlich $\mathrm{4,907}\%$, während Bank A mit:
${\displaystyle K_n=1,{049}^n·K_0}$
„nur“  $\mathrm{4,9}\%$ jährliche Zinsen anbietet. Bank B bietet also unabhängig von der Laufzeit die besseren Konditionen. Der Unterschied ist allerdings sehr gering und macht sich daher erst bei großen Anlagesummen und/oder langen Anlagezeiträumen deutlich bemerkbar. Weitere Infos:

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Ein weiteres Angebot

Betrachten wir nun den Fall, dass die Bankkundin damals ein weiteres Angebot von Bank C hatte: Wenn sie $2000\text{€}$ für $20$ Jahre statt der eigentlich geplanten $18$ Jahre fest anlegt (also während der Laufzeit das Geld nicht abheben kann), würde sie nach Ablauf der $20$ Jahre $4800\text{€}$ erhalten. Sie hatte also insgesamt drei verschiedene Angebote:

• Bank A bot ihr jährlich $\mathrm{4,9}\%$ Zinsen an.
• Bank B bot ihr monatlich $\mathrm{0,4}\%$ Zinsen an.
• Bank C bot ihr an, dass sie bei der gewünschten Anlagesumme von $2000\text{€}$ nach $20$ Jahren $4800\text{€}$ erhalten würde.

Um das neue Angebot mit den beiden anderen zu vergleichen, wollte die Bankkundin den jährlichen Zinssatz bei Bank C ausrechnen. Sie stellte dafür folgende Gleichung auf:
${\displaystyle (1+x{)}^{20}·2000\text{€}=4800\text{€}}$
Hierbei steht $x$ für den jährlichen Zinssatz (geschrieben als Dezimalzahl, wie z.B. $\mathrm{0,049}$ beim Angebot von Bank A).

bereich_1 Um den jährlichen Zinssatz $x$ des Angebotes von Bank C zu ermitteln, musste sie also folgende Gleichung lösen:
${\displaystyle (1+x{)}^{20}·2000\text{€}=4800\text{€}}$
Um die Gleichung aufzulösen, dividierte sie zunächst durch $2000\text{€}$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(1+x{)}^{20}·2000\text{€}}& =\hfill & 4800\text{€}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}|\hspace{0.5em}:2000\text{€}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(1+x{)}^{20}}& =\hfill & \frac{4800\text{€}}{2000\text{€}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(1+x{)}^{20}}& =\hfill & \mathrm{2,4}\hfill \end{array}}$
Weitere Infos:

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Ein anderer Anlagezeitraum

Da die Bankkundin plante, sich von ihrem angesparten Geld ein Auto im Wert von $8000\text{€}$ zu kaufen, reichte ihr der Betrag, den Bank B ihr bei einem Anlagezeitraum von $18$ Jahren anbot, jedoch nicht aus. Sie überlegte sich daher, dass sie das Geld über einen längeren Zeitraum anlegen würde, nämlich bis sie mindestens $8000\text{€}$ hätte. Wie viele Jahre lang muss sie ihr Kapital von $2000\text{€}$ bei Bank B zu einem jährlichen Zinssatz von $\mathrm{4,907}\%$ anlegen, um am Ende mindestens $8000\text{€}$ zu erhalten? Sie rechnet:
${\displaystyle 2000\text{€}·1,{04907}^x\ge 8000\text{€}}$
Das $x$ steht hierbei für die gesuchte Zeit (in Jahren), nach denen sie den Kleinwagen kaufen kann. Sie möchte also ermitteln, nach wie vielen Jahren sie genug Geld hätte. Wir haben hier nur ganzzahlige Werte betrachtet, weil die Bank nur jährlich (bzw. monatlich) Zinsen auszahlt und die Kundin ohnehin nur grob wissen will, wie lange sie warten muss, bis das angesparte Geld ausreicht. Auf den nächsten Seiten erfahren Sie, wie man dieses Problem graphisch und rechnerisch lösen kann.

bereich_1 Aufgabenstellung noch einmal ansehen Um zu ermitteln, nach wie vielen Jahren sie sich den Kleinwagen kaufen kann, muss die Bankkundin also die Lösung folgender Exponentialgleichung (bzw: Ungleichung, denn sie möchte ja mindestens $8000\text{€}$ ansparen) finden:
${\displaystyle 2000\text{€}·1,{04907}^x\ge 8000\text{€}}$
Man kann sich das Problem graphisch veranschaulichen, indem man eine Funktion $f$ definiert mit der Funktionsvorschrift
${\displaystyle f(x)=2000\text{€}·1,{04907}^x}$
Aus dem Graphen der Funktion kann man nun ablesen, ab welchem $x$-Wert sie Funktionswerte $f(x)\ge 8000\text{€}$ annimmt. Man kann das Problem auch rechnerisch lösen:

${\displaystyle 2000\text{€}·1,{04907}^x\ge 8000\text{€}}$
Um sich die Rechnung zu erleichtern, betrachtet man zunächst die Gleichung
${\displaystyle 2000\text{€}·1,{04907}^x=8000\text{€}}$
statt der Ungleichung. Da das angesparte Kapital im Laufe der Zeit immer größer wird (und nicht etwa wieder abnimmt), weiß man, dass die Lösung dieser Gleichung den Zeitpunkt angibt, an dem sie rechnerisch, wenn sie die Zinsen kontinuierlich erhalten würde, genau $8000\text{€}$ angespart hätte. Um die Gleichung aufzulösen, dividiert man zunächst beide Seiten durch den Term $2000\text{€}$ und erhält:
${\displaystyle 1,{04907}^x=4}$
Mit Potenz- oder Wurzelrechnung kommt man hier nicht weiter. Um $x$ zu bestimmen, benötigt man , die man mit dem Taschenrechner bestimmen kann.

bereich_1 Aufgabenstellung noch einmal ansehen Es ist also zunächst die Lösung folgender Gleichung gesucht:
${\displaystyle 1,{04907}^x=4}$
Diese Gleichung kann man mithilfe des Taschenrechners lösen. Dafür muss man folgendes Logarithmengesetz kennen (siehe auch ):
${\displaystyle {\log }_b\left(a^x\right)=x·{\log }_b(a)}$
Diese Regel kann man auf zwei verschiedene Arten zur Lösung der hier vorliegenden Gleichung verwenden: 1. Berechnung mithilfe des Zehnerlogarithmus: Auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner findet man eine ${\log }_{10}$-Taste (oft auch nur mit log oder sogar nur mit lg beschriftet). Mit dieser Taste kann man Logarithmen zur Basis $10$ berechnen. Angewendet auf obiges Logarithmengesetz bedeutet das, dass wir die Basis $b=10$ wählen. Der Term $a^x$ im Logarithmengesetz entspricht in unserer Gleichung dem Term $1,{04907}^x$, das heißt hier gilt $a=\mathrm{1,04907}$, und das $x$ im Logarithmengesetz entspricht dem $x$ in unserer Gleichung. Man rechnet daher:
${\displaystyle \begin{array}{cccc}\multicolumn{1}{c}{1,{04907}^x}& =\hfill & 4\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}{\log }_{10}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{{\log }_{10}(1,{04907}^x)}& =\hfill & {\log }_{10}\left(4\right)\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}\text{Logarithmengesetz}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x·{\log }_{10}(\mathrm{1,04907})}& =\hfill & {\log }_{10}(4)\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}:{\log }_{10}(\mathrm{1,04907})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x}& =\hfill & \frac{{\log }_{10}(4)}{{\log }_{10}(\mathrm{1,04907})}\hfill \end{array}}$
2. Berechnung mithilfe des Logarithmus zur Basis $\mathrm{1,04907}$: Bei den meisten Taschenrechnern ist es möglich, auch Logarithmen zu beliebigen Basen ausrechnen zu lassen. Hierfür gibt es oft eine ${\log }_b$-Taste oder die Möglichkeit, bei Verwendung der $\log$-Taste sowohl eine Basis als auch ein Argument einzugeben. Die Rechnung ist dann deutlich kürzer:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{1,{04907}^x}& =\hfill & 4\mathrm{ }\mathrm{ }|\hspace{0.5em}{\log }_{\mathrm{1,04907}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x}& =\hfill & {\log }_{\mathrm{1,04907}}(4)\hfill \end{array}}$

bereich_1 Rechnerisch ergibt sich also $x=\mathrm{28,9}$ Jahre. Da die Bank die Zinsen aber nicht kontinuierlich (also täglich, stündlich...) auszahlt, lautete die Frage, nach wie vielen vollen Jahren die Bankkundin genug Geld angespart hat. Was Sie in der ausführlichen Lerneinheit dieses Wissensbereichs erwartet, können Sie im Ausblick nachlesen: