Intro Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

bereich_3

Wurzeln

Eine reelle Zahl $x$ können wir quadrieren. Dabei entsteht eine reelle Zahl $y=x^2\ge 0$. Wir stellen jetzt die umgekehrte Frage: Vorgegeben ist eine Zahl $y\ge 0$. Welche Zahl $x\ge 0$ hat die Eigenschaft $y=x^2$? Wenn es eine solche Zahl $x$ gibt, nennen wir sie Quadratwurzel von $y$. Diese Quadratwurzel $x$ ist einfach zu finden, wenn $y$ eine Quadratzahl ist. Hierbei wurde die Wurzel als eine positive Zahl definiert.

bereich_3 Komplizierter wird es, wenn $y$ keine Quadratzahl ist. Welchen Wert hat $x$ beispielsweise, wenn $x^2=2$ ist? Schon die alten Griechen stellten fest, dass es keinen Bruch $\frac{p}{q}$ mit $p,q\in \mathbb{N}$ gibt, der die Forderung ${\left(\frac{p}{q}\right)}^2=2$ erfüllt. Die Quadratwurzel aus $2$ ist daher keine rationale Zahl. Man kann die Quadratwurzel aus $2$ aber als Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen schreiben, das heißt, es gibt eine reelle Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^2=2$. Dies ist nicht nur für $x^2=2$ der Fall, sondern man kann beweisen, dass es für jede beliebige reelle Zahl $x\ge 0$ eine reelle Quadratwurzel gibt. Gibt man $\sqrt{2}$ in den Taschenrechner ein, so erhält man (je nachdem, wie viele Nachkommastellen der Taschenrechner anzeigt) zum Beispiel: $x=\mathrm{1,41421356237309}$. Dies ist allerdings nicht die exakte Zahl, da die exakte Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen. Der Taschenrechner kann daher nur eine Näherung anzeigen. Man kann sich dem Wert der Quadratwurzel von $2$ auch mithilfe einer Graphik nähern: Folgender Graph stellt die Funktion $f:D\to ℝ,\mathrm{ }x\mapsto f(x)$ mit Funktionsvorschrift $f(x)=x^2$ dar. Man kann nun versuchen, aus diesem Graphen den zu $f(x)=2$ zugehörigen $x$-Wert möglichst genau abzulesen. Um die Genauigkeit zu erhöhen, kann man noch weiter hineinzoomen: Hier wird der relevante Teil der Funktion noch einmal vergrößert in einem Inset dargestellt. Wenn man immer weiter heranzoomt, kann man den Wert von $\sqrt{2}$ immer genauer bestimmen. Man kann Quadratwurzeln wie die $\sqrt{2}$ auch mit aufwändigen Verfahren rechnerisch auf beliebig viele Stellen genau angeben, das ist aber nicht das Ziel dieses Kurses. Um den Wert derartiger Quadratwurzeln näherungsweise zu bestimmen, dürfen Sie daher im Folgenden den Taschenrechner benutzen. An der Graphik fällt Ihnen möglicherweise noch ein weiterer Punkt auf:
Zu jedem Wert von $y=x^2$ gibt es zwei verschiedene $x$-Werte. Es wurde festgelegt, dass die Schreibweise $\sqrt{x}$ immer den positiven Wert bezeichnet. Meint man den negativen Wert, schreibt man $-\sqrt{x}$.

bereich_3

Rechenregeln für Wurzeln:

Folgende Rechenregeln gelten für Wurzeln. Sie werden in der Langversion dieses Kurses vertieft. Achtung! Es gilt nicht:
${\displaystyle \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

bereich_3 Von der Quadratwurzel aus kann man auf n-te Wurzeln verallgemeinern. Auch hier gilt, dass es in der Menge der reellen Zahlen $ℝ$ zu jeder Zahl $x\in ℝ$ mit $x\ge 0$ genau eine $n$-te Wurzel gibt, die ebenfalls zu $ℝ$ gehört.

bereich_3 Mit Hilfe von Wurzeln kann man Potenzen mit rationalen Exponenten definieren. Auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten gelten die Regeln (P1) - (P3). In der Mathematik kann man analog auch für irrationale Exponenten eine Potenz $a^r$ definieren. Auch dafür gelten die oben angegebenen Rechengesetze (P1) - (P3), sodass die für $r\in ℝ$ gültig sind.