Intro Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

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Logarithmen

Es können zwei verschiedene Typen von Gleichungen mit Potenzen auftreten:

• Gesucht ist das $x\in ℝ$, für das gilt: $x^3=125$. Die Lösung ist dann $x=\sqrt[3]{125}=5$.
  Das Wurzelzeichen macht also das Potenzieren rückgängig. Es gilt daher $\sqrt[3]{x^3}=x$ für alle $x\in ℝ\hspace{0.5em},x\ge 0$
• Gesucht ist das $c\in ℝ$, für das gilt: $5^c=125$. Die Lösung ist dann $c=3$. Das ist der für die Zahl $5$ benötigte Exponent, um das Ergebnis $125$ zu erhalten. Für diesen Zusammenhang führt man den Namen Logarithmus zur Basis 5 ein:
  $5^c=125$ hat die Lösung $c={\log }_5(125)=3$
  Das Logarithmieren macht das Potenzieren auf andere Weise als das Wurzelziehen rückgängig. Es gilt für alle $c\in ℝ$: ${\log }_5(5^c)=z$

Den konkreten Zahlenwert eines Logarithmus erhält man durch Benutzen eines Taschenrechners oder (in sehr einfachen Fällen) kann man ihn auch erraten bzw. durch Ausprobieren ermitteln: Damit $5^x=125$ sein soll, muss $x=3$ gelten, denn $5^3=125$. Man schreibt also: $x={\log }_5(125)=3$.

bereich_4 Das Ermitteln des Logarithmus ist allerdings nicht immer so einfach im Kopf möglich. Betrachten wir die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=5^x$ Wie man an dem gezeigten Ausschnitt aus dem Funktionsgraphen ablesen kann, findet man den Logarithmus zur Basis $5$ vom Wert $125$, indem man bei $y=125$ einen waagerechten Strich einzeichnet, der den Funktionsgraphen von $5^x$ schneidet. An diesem Schnittpunkt liest man den dazugehörigen $x$-Wert ab. Wie wir auch schon durch Kopfrechnen ermittelt haben, beträgt ${\log }_5(125)=3$. Es liegt anschaulich nahe, dass es zu jedem $y>0$ auch ein $x$ gibt mit $5^x=y$. Ferner ist anschaulich klar, dass verschiedene $y$ auch immer verschiedene Logarithmen besitzen. In den meisten dieser Fällen wird der Logarithmus allerdings nicht ganzzahlig sein und ist daher auch nicht so leicht durch Kopfrechnen und Ausprobieren zu ermitteln. Sucht man beispielsweise den ${\log }_5(100)$, so liegt der graphisch ermittelte $x$-Wert bei etwa $\mathrm{2,85}$. Man kann diesen Wert näherungsweise mithilfe eines Taschenrechners bestimmen. Am einfachsten ist dies, wenn der Taschenrechner es erlaubt, Logarithmen zu beliebigen Basen einzugeben. (Falls dies nicht möglich ist, kann man den Wert mithilfe des Zehnerlogarithmus berechnen, wie später gezeigt wird.) Im Allgemeinen sind Logarithmen irrationale Zahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen. Der Taschenrechner gibt dafür einen Näherungswert an. Beispiel: Der Taschenrechner liefert den Wert ${\log }_5(100)\approx \mathrm{2,8613531161467867}$, der eine Näherung der reellen Zahl $x$ mit der Eigenschaft $5^x=100$ darstellt. Gibt man als Probe $5^{\mathrm{2,8613531161467867}}$ in den Taschenrechner ein, erhält man nicht genau die Zahl $100$, sondern (je nachdem, wie genau ein Taschenrechner rechnet) beispielsweise $5^{\mathrm{2,8613531161467867}}\approx \mathrm{100,0000000000000963506}$.

bereich_4 Aber nicht nur ganzzahlige Werte können als Basis des Logarithmus verwendet werden. Betrachten Sie beispielsweise folgende Funktion: $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2,{34}^x$ Sucht man nun den Wert $x$, für den $2,{34}^x=10$ gilt, so findet man ihn in der Skizze wieder, indem man auf der Höhe des Wertes $y=10$ eine waagerechte Linie einzeichnet, der den Funktionsgraphen schneidet, und am Schnittpunkt den Wert von $x$ abliest. In Analogie zum vorhergehenden Beispiel nennt man diesen Wert $x={\log }_{\mathrm{2,34}}(10)$ (gesprochen: Logarithmus von $10$ zur Basis $\mathrm{2,34}$). Auch für diesen Logarithmus liefert der Taschenrechner einen Näherungswert.

bereich_4 Um mit Logarithmen rechnen zu können, muss man ein paar Regeln kennen, die im folgenden ohne Herleitung aufgelistet werden. Mit ihrer Hilfe ist es auch möglich, Logarithmen in andere Basen umzurechnen, um ihren Wert auch mit einem Taschenrechner bestimmen zu können, der die Eingabe beliebiger Basen nicht zulässt.

bereich_4 Es ist häufig hilfreich, Logarithmen auf andere Basen umzurechnen (beispielsweise, wenn ein Taschenrechner nur das Berechnen von Zehnerlogarithmen oder natürlichen Logarithmen, aber nicht die Berechnung von Logarithmen mit beliebigen Basen zulässt). Wir betrachten daher folgenden Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b\in ℝ{}^{+} \backslash \{1\}$, $y\in ℝ{}^{+}$:
${\displaystyle x={\log }_b(y)}$
Dies ist gleichbedeutend mit
${\displaystyle b^x=y}$
Auf diese Gleichung kann man auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus anwenden und erhält:
${\displaystyle {\log }_{10}(b^x)={\log }_{10}(y)}$
Dies ist aufgrund der oben erwähnten Eindeutigkeit des Logarithmus äquivalent zur vorherigen Gleichung $b^x=y$. Auf der linken Seite kann man jetzt das Logarithmengesetz (L3) anwenden:
${\displaystyle x·{\log }_{10}(b)={\log }_{10}(y)}$
Durch Dividieren gelangt man zum Ausdruck:
${\displaystyle x=\frac{{\log }_{10}(y)}{{\log }_{10}(b)}}$
Vergleicht man diesen Ausdruck mit der urspünglichen Gleichung $x={\log }_b(y)$, so erkennt man durch Vergleich, dass gilt: Anstatt für Zehnerlogarithmen kann man eine analoge Formel auch für Logarithmen zu beliebigen anderen Basen aufstellen. Dies hat jedoch in der Praxis wenig Relevanz.