Topic: Aufgaben | Logarithmen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Logarithmen
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_pwl_logarithmen_
  
  Logarithmen
  
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  Video 10video_10
  
  In diesem Video wird erklärt, wie Sie komplexe Terme mithilfe der Logarithmengesetze zusammenfassen können.
  
  Video 11video_11
  
  In diesem Video wird erklärt, wie Sie komplexe Terme mithilfe der Logarithmengesetze und der Potenzschreibweise für Wurzeln zusammenfassen können.
  
  Aufgabe 5aufgabe_5
  Rechenaufgaben
  
  Es ist $\log_{3} (2) \approx 0,6$ . Berechnen Sie ohne Taschenrechner!
  (Beispiel: $\log_{3} (\frac{2}{3}) = \log_{3} (2) - \log_{3} (3) \approx 0,6 - 1 = - 0,4)$
  
  $\log_{3} (18)$
  
  $\log_{3} (\frac{1}{6})$
  
  $\log_{3} (4 \cdot \sqrt{27})$
  
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  $\log_{3} (18) = \log_{3} (2 \cdot 9) = \log_{3} (2) + \log_{3} (9)$
  $\approx 0,6 + 2 \approx 2,6$
  
  $\log_{3} (\frac{1}{6}) = \log_{3} (1) - \log_{3} (6)$
  $= 0 - \log_{3} (2 \cdot 3) = - (\log_{3} (2) + \log_{3} (3))$
  $\approx - (0,6 + 1) \approx - 1,6$
  
  $\log_{3} (4 \cdot \sqrt{27}) = \log_{3} (2^{2} \cdot 27^{\frac{1}{2}})$
  $= \log_{3} (2^{2}) + \log_{3} (27^{\frac{1}{2}})$
  $= 2 \log_{3} (2) + \frac{1}{2} \log_{3} (27)$
  $\approx 2 \cdot 0,6 + \frac{1}{2} \cdot 3 \approx 2,7$
  
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  Vereinfachen Sie
  
  $\log_{10} (2^{5} \cdot 5^{5})$
  
  $\log_{v} ((v^{2})^{3} \cdot v^{6} : (v^{3})^{4})$
  
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  $\log_{10} (2^{5} \cdot 5^{5}) = \log_{10} ((2 \cdot 5)^{5})$
  $= \log_{10} (10^{5}) = 5$
  
  $\log_{v} ((v^{2})^{3} \cdot v^{6} : (v^{3})^{4})$
  $= \log_{v} (v^{2 \cdot 3} \cdot v^{6} : v^{3 \cdot 4})$
  $= \log_{v} (v^{6} \cdot v^{6} : v^{12})$
  $= \log_{v} (v^{12} : v^{12}) = \log_{v} (1) = 0$
  
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  Schreiben Sie folgenden Ausdruck als einen Logarithmusterm:
  
  $\log_{r} (2 a^{2}) + \log_{r} (7 b) - (\log_{r} (14 c) + \log_{r} (b))$
  
  $\log_{z} (x^{5}) + \log_{z} (x^{7})$
  
  $\log_{4} ((l + k)^{4}) - \log_{4} (l^{2} + 2 l k + k^{2})$
  
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  $\log_{r} (2 a^{2}) + \log_{r} (7 b) - (\log_{r} (14 c) + \log_{r} (b))$
  $= \log_{r} (2 a^{2} \cdot 7 b) - \log_{r} (14 c \cdot b)$
  $= \log_{r} (14 a^{2} b) - \log_{r} (14 c b)$
  $= \log_{r} (\frac{14 a^{2} b}{14 c b}) = \log_{r} (\frac{a^{2}}{c})$
  
  $\log_{z} (x^{5}) + \log_{z} (x^{7}) = \log_{z} (x^{5} \cdot x^{7})$
  $= \log_{z} (x^{(5 + 7)})$
  $= \log_{z} (x^{12}) = 12 \log_{z} (x)$
  
  $\log_{4} ((l + k)^{4}) - \log_{4} (l^{2} + 2 l k + k^{2})$
  $= \log_{4} ((l + k)^{4}) - \log_{4} ((l + k)^{2})$
  $= \log_{4} (\frac{(l + k)^{4}}{(l + k)^{2}}) = \log_{4} ((l + k)^{2})$
  $= 2 \log_{4} (l + k)$
  
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  Schreiben Sie als Summe bzw. Differenz mit einfachen Logarithmen.
  
  $\log_{z} (\sqrt[3]{\frac{a}{g^{3} \cdot h^{6}}})$
  
  $\log_{a} (\frac{1}{(c u)^{2}})$
  
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  $\log_{z} (\sqrt[3]{\frac{a}{g^{3} \cdot h^{6}}}) = \log_{z} ({(\frac{a}{g^{3} \cdot h^{6}})}^{\frac{1}{3}})$
  $= \frac{1}{3} \log_{z} ((\frac{a}{g^{3} \cdot h^{6}}))$
  $= \frac{1}{3} (\log_{z} (a) - \log_{z} (g^{3} \cdot h^{6}))$
  $= \frac{1}{3} (\log_{z} (a) - (\log_{z} (g^{3}) + \log_{z} (h^{6})))$
  $= \frac{1}{3} (\log_{z} (a) - 3 \log_{z} (g) - 6 \log_{z} (h))$
  $= \frac{1}{3} \log_{z} (a) - \log_{z} (g) - 2 \log_{z} (h)$
  
  $\log_{a} (\frac{1}{(c u)^{2}}) = \log_{a} (1) - \log_{a} ((c u)^{2})$
  $= 0 - 2 \log_{a} (c u) = - 2 \log_{a} (c) - 2 \log_{a} (u)$
  
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  Aufgabe 6aufgabe_6
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $\log_{25} (5) = 2$
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  Bei dieser Umformung wird vermutlich eine Fehlvorstellung des Logarithmierens deutlich. Es gilt $\log_{a} (b) = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ . Somit suchen wir diejenige Zahl $x$ , für die gilt $25^{x} = 5$ . Laut Definition ist dies $x = \frac{1}{2}$ , da $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$ (laut Definition sind nur postitive Zahlen zugelassen).
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  Aufgabe 7aufgabe_7
  Begründungsaufgabe
  
  Ein Studentin soll beweisen, dass $\log_{10} (7)$ keine rationale Zahl ist und gibt folgende Beweisschritte ohne Erläuterungen ab:
  $\begin{matrix} \log_{10} (7) = \frac{p}{q} \Rightarrow 7 = 10^{\frac{p}{q}} \\ \Rightarrow 7^{q} = 10^{p} Widerspruch! \end{matrix}$
  Erläutern und vervollständigen Sie die Beweisführung!
  
  Überprüfen und beweisen Sie analog, ob die folgenden Logarithmen aus $ℚ$ sind oder nicht:
  
  $\log_{5} (30)$
  
  $\log_{2} (4)$
  
  $\log_{27} (1 / 3)$
  
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  Mit der Implikationskette
  $\log_{10} (7) = \frac{p}{q} \Rightarrow 7 = 10^{\frac{p}{q}}$
  
  $\Rightarrow 7^{q} = (10^{\frac{p}{q}})^{q} = 10^{\frac{p}{q} \cdot q} = 10^{p}$
  sieht man, dass wenn die Zahl $\log_{10} (7)$ rational ist, zwei ganze Zahlen $p$ und $q$ existieren müssen, die die Eigenschaft
  $7^{q} = 10^{p}$
  erfüllen. Jede natürliche Zahl besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren, die eindeutig ist. Die Primfaktorzerlegung von $10$ ist $2 \cdot 5$ und damit ist die Primfaktorzerlegung von $10^{p}$ durch $2^{p} \cdot 5^{p}$ gegeben, während die Primfaktorzerlegung der linken Zahl der Gleichung bereits durch $7^{q}$ gegeben ist. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt aus $7^{q} = 2^{p} \cdot 5^{p}$ die Tatsache, dass $p = q = 0$ ist. Also gibt es keine rationale Zahl $\frac{p}{q}$ mit $\log_{10} (7) = \frac{p}{q}$ .
  
  $\log_{5} (30)$ ist irrational. Beweis analog zu 1.
  
  $\log_{2} (4) = 2$ und somit ist $\log_{2} (4)$ rational.
  
  $\log_{27} (1 / 3) = \log_{27} (1) - \log_{27} (3)$ $= - \log_{27} (3) = - \log_{3^{3}} (3) = - \frac{1}{3}$
  und somit ist $\log_{27} (1 / 3)$ ebenfalls rational.
  
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  Aufgabe 8aufgabe_8
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $\log_{a} (x + 5 y) = \log_{a} (x) \log_{a} (5 y)$
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  In diesem Fall wollte die oder der Lernende vermutlich das erste Logarithmengesetz anwenden, obwohl dies hier gar nicht möglich ist. Ursache: Durch Vertauschung der Operationen + und $\cdot$ wurde der Einsatz des nun falschen Gesetzes möglich. Der Ausgangsterm kann so nicht vereinfacht werden.
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  Aufgabe 9aufgabe_9
  Entwickeln Sie selbst:
  
  Leiten Sie ein Logarithmengesetz für Doppelbrüche $(also für \log_{a} (\frac{b}{\frac{c}{d}}))$ her und beweisen sie es!
  
  Machen Sie das gleiche für folgenden Term: $\log_{a} (\sqrt[b]{c^{d}})$ !
  
  Vergleichen Sie $\log_{10} (5)$ und $\log_{10} (\frac{1}{5})$ sowie $\log_{10} (7)$ und $\log_{10} (\frac{1}{7})$ . Was stellen Sie fest? Formulieren Sie ein Gesetz und begründen Sie dieses!
  
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  $\log_{a} (\frac{b}{\frac{c}{d}}) = \log_{a} (b) - \log_{a} (\frac{c}{d})$
  $= \log_{a} (b) - (\log_{a} (c) - \log_{a} (d))$
  $= \log_{a} (b) - \log_{a} (c) + \log_{a} (d)$
  
  $\log_{a} (\sqrt[b]{c^{d}}) = \log_{a} ((c^{d})^{\frac{1}{b}}) = \log_{a} (c^{d \cdot \frac{1}{b}})$
  $= \log_{a} (c^{\frac{d}{b}}) = \frac{d}{b} \log_{a} (c)$
  
  $\log_{10} (1 / 5) = \log_{10} (1) - \log_{10} (5)$
  $= 0 - \log_{10} (5) = - \log_{10} (5)$
  $\log_{10} (1 / 7) = \log_{10} (1) - \log_{10} (7)$
  $= 0 - \log_{10} (7) = - \log_{10} (7)$
  
  Allgemein ergibt sich:
  
  $\log_{a} (1 / b) = \log_{a} (1) - \log_{a} (b) = 0 - \log_{a} (b)$
  $= - \log_{a} (b)$
  
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  Aufgabe 10aufgabe_10
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $\log_{a} (w) + \log_{b} (w) = \log_{a + b} (w)$
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  Logarithmen können nur zusammengefasst werden, wenn die Basis gleich ist. Eine Addition der Basen wie in diesem Fall ist nicht zulässig und eine Umformung des linken Terms auch hier nicht möglich!
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  Aufgabe 11aufgabe_11
  Berechnung von Stellen
  
  Es gelte $\log_{10} (x) = 4,7$ . Wie viele Stellen vor dem Komma hat die Zahl $x$ ?
  
  Ermitteln Sie begründet die Anzahl der Stellen von $6^{13}$ und $3^{721}$ !
  Hinweis: Mit der $\log$ - Taste ihres Taschenrechners berechnen Sie dekadische Logarithmen!
  
  Versuchen Sie, eine begründete Vorstellung von der Länge der Primzahl $2^{132049} - 1$ zu vermitteln!
  
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  Wir stellen drei Methoden vor, wie man die Anzahl der Vorkommastellen einer beliebigen Potenz ermitteln kann.
  
  Nehmen wir an, wir suchen die Zahl $x$ , für die $\log_{10} (x) = 5,9$ gilt. Es folgt nach der Definition des Logarithmus $x = 10^{5,9}$ und damit
  $10^{5} \leq x < 10^{6} .$
  Da alle Zahlen im Intervall $[10^{5}; 10^{6})$ genau $6$ Stellen besitzen, gilt dies auch für die Zahl $x$ . Betrachten wir die Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x = a^{b}$ mit allgemeiner Basis $a$ und allgemeinen Exponenten $b$ , so transformieren wir zunächst die Zahl $x$ in eine Potenz mit Basis $10$ .
  $\begin{matrix} x = a^{b} = 10^{y} \\ \Rightarrow y = \log_{10} (a^{b}) = b \cdot \log_{10} (a) . \end{matrix}$
  Also folgt mit obiger Überlegung aus $10^{n - 1} \leq 10^{y} < 10^{n}$ mit $n \in ℕ$ , dass die Zahl $x$ genau $n$ Stellen besitzt.
  
  Betrachten wir exemplarisch die Zahl $2005$ . Diese Zahl hat offensichtlich vier Stellen, was sich durch folgende Umformung entdecken lässt:
  $2005 = 2,005 \cdot 10^{3}$
  Da die Zahl $10^{3}$ vierstellig und $1 \leq 2,005 < 10$ ist, besitzt auch die Zahl $2005$ vier Stellen. Allgemein gilt, dass $a \cdot 10^{m}$ genau $m + 1$ Vorkommastellen besitzt, falls $1 \leq a < 10$ ist. Um von einer beliebigen Zahl $x$ die Anzahl der Vorkommastellen zu bestimmen, muss man also nur $x$ als $a \cdot 10^{m}$ darstellen $(m \in ℕ, a \in ℝ$ , $1 \leq a < 10)$ . Wir schreiben zunächst $x$ als $10^{b}$ $(b \in ℝ)$ . Dann teilen wir $b$ in eine nichtnegative ganze Zahl $m$ und eine reelle Zahl $y$ auf, die kleiner ist als $1$ , also $b = m + y$ . Für die Zahl $x = 10^{b}$ gilt dann mit $a : = 10^{y}$
  $x = 10^{b} = 10^{m + y} = 10^{m} \cdot 10^{y} = 10^{y} \cdot 10^{m}$
  $= a \cdot 10^{m} . (1 \leq a < 10)$
  Wegen $x = 10^{b}$ ist nach der Definition des Logarithmus $b = \log_{10} (x) = m + y$ , also beträgt die Anzahl der Vorkommastellen $n$ der Zahl $x$
  $n = m + 1 = \log_{10} (x) - y + 1 .$
  
  Die mathematisch eleganteste Aussage ist die Folgende: Für die Anzahl der Vorkommastellen $n$ einer reellen Zahl $x > 0$ gilt mit der Gaußklammer $[]$ $([x]$ ist die größte, ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist)
  $n = [\log_{10} (x)] + 1 .$
  Der Beweis dieser Aussage folgt mit
  $\begin{matrix} x & = & 10^{\log_{10} (x)} \\ x & = & 10^{y + [\log_{10} (x)]} \\ mit geeignetem y (0 \leq y < 1) \\ x & = & 10^{y} \cdot 10^{[\log_{10} (x)]} \\ (1 = 10^{0} \leq 10^{y} < 10^{1} = 10) . \end{matrix}$
  Wegen $1 \leq 10^{y} < 10$ ist $n$ gegeben durch $[\log_{10} (x)] + 1$ .
  
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  Zweiter Lösungsweg:
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  Mit obiger Formel erhalten wir
  $n = [\log_{10} (x)] + 1 = [\log_{10} (10^{4,7})] + 1$
  $= [4,7] + 1 = 4 + 1 = 5$ .
  Das Ergebnis stimmt, denn aus $\log_{10} (x) = 4,7$ folgt nach der Definition des Logarithmus $x = 10^{4,7} \approx 50118,72$ und somit hat $x$ genau $5$ Vorkommastellen.
  
  Es ergibt sich für $6^{13}$
  $\begin{matrix} n & = & [\log_{10} (6^{13})] + 1 = [13 \log_{10} (6)] + 1 \\ = & [13 \cdot 0,77815125 \dots] + 1 \\ = & [10,11596626 \dots] + 1 = 10 + 1 = 11 \end{matrix}$
  und für $3^{721}$
  $\begin{matrix} n & = & [\log_{10} (3^{721})] + 1 = [721 \log_{10} (3)] + 1 \\ = & [721 \cdot 0,477121255 \dots] + 1 \\ = & [344,0044247 \dots] + 1 = 344 + 1 = 345 \end{matrix}$
  
  Zunächst einmal lässt sich feststellen, dass die letzte Stelle von $2^{n}$ mit $n \in ℕ$ nie mit einer $0$ endet, da $2^{n}$ nicht durch $5$ und folglich auch nicht durch $10$ teilbar ist. Also besitzt die Zahl $2^{n} - 1$ genau so viele Stellen wie die Zahl $2^{n}$ . Somit betrachten wir statt $2^{132049} - 1$ die Zahl $2^{132049}$ , die nach unseren Vorüberlegungen dieselbe Stellenanzahl besitzt.
  $\begin{matrix} n & = & [\log_{10} (2^{132049})] + 1 \\ = & [132049 \log_{10} (2)] + 1 \\ = & [132049 \cdot 0,301029996 \dots] + 1 \\ = & [39750,7099 \dots] + 1 = 39750 + 1 \\ = & 39751 \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 12aufgabe_12
  Fehlersuche
  Suchen Sie bei den folgenden Umformungen nach den Fehlern und korrigieren Sie sie gegebenenfalls!
  
  $\log_{g} (\frac{4 a}{- d}) = \log_{g} (4 a) - \log_{g} (d)$
  
  $\log_{z} (b \cdot (4 b - b \cdot \frac{28}{7})) = \log_{z} (b) + \log_{z} (4 b - b \cdot \frac{28}{7})$
  
  $((2 h)^{4})^{5} = 5 (2 h)^{4}$
  
  $\log_{65} (\sqrt[5]{k^{9}}) = \frac{5}{9} \cdot \log_{65} (k)$
  
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  Eine richtige Anwendung des zweiten Logarithmengesetzes (L2) bringt $\log_{g} (\frac{4 a}{- d}) = \log_{g} (4 a) - \log_{g} (- d)$
  
  Das Rechengesetz (L1) wurde an dieser Stelle richtig angewendet. Betrachten wir allerdings das Argument des linken Terms genauer, so ergibt sich $b \cdot (4 b - b \cdot \frac{28}{7}) = b \cdot (4 b - 4 b) = b \cdot 0 = 0$ . Der Logarithmus ist aber für die Stelle $0$ nicht definiert.
  
  Hier wurde das dritte Potenzgesetz mit dem dritten Logarithmusgesetz vertauscht. Die richtige Lösung folgt mit (P3) und lautet: $((2 h)^{4})^{5} = (2 h)^{4 \cdot 5} = (2 h)^{20}$
  
  An dieser Stelle liegt der Fehler bei der Termumformung von $\sqrt[5]{k^{9}}$ in $k^{\frac{5}{9}}$ . Richtig ist aber:
  $\log_{65} (\sqrt[5]{k^{9}}) = \log_{65} ((k^{9})^{\frac{1}{5}}) = \log_{65} (k^{\frac{9}{5}})$
  $= \frac{9}{5} \cdot \log_{65} (k)$
  
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  Aufgabe 13aufgabe_13
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $\log_{x} (- m) = - \log_{x} (m)$
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  Auch hier wurde eine Regel angewandt, die falsch ist, da Faktoren auf diese Weise nicht aus der Klammer gezogen werden dürfen. Zudem gilt zwar für $a, b, c > 0$ nach dem ersten Potenzgesetz $\log_{c} (ab) = \log_{c} (a) + \log_{c} (b)$ , allerdings ist der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert, sodass $\log_{x} (- m) = \log_{x} (- 1 \cdot m)$ auch auf diesem Weg nicht auseinandergezogen werden darf! Somit gibt es in diesem Fall erneut keine Vereinfachungsmöglichkeit.
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  Aufgabe 14aufgabe_14
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $a^{\log_{a} (- 1)} = - 1$
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  Zwar gilt für $a, c > 0 : a^{\log_{a} (c)} = c$ , allerdings ist der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert, sodass erneut eine Vereinfachung nicht möglich ist.
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  Aufgabe 15aufgabe_15
  Suchen Sie in der folgenden Umformung nach dem Fehler.
  
  $c = x^{2} \Leftrightarrow x = \log_{2} (c)$
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  Die Ursache für diesen Fehler liegt in der Verwechslung der Gegenoperationen und damit vermutlich in einer Fehlvorstellung bezüglich des Logarithmierens. Es wurde $c = 2^{x}$ statt $c = x^{2}$ gelesen, daher wurde fälschlicherweise der Logarithmus angewandt. Die Gegenoperation zum Quadrieren ist das Wurzelziehen, nicht das Logarithmieren. Einfach gesagt: Mit Hilfe des Wurzelziehens reduziert man eine Potenz auf die Basis, mithilfe des Logarithmierens errechnet man ihren Exponenten.
  
  $| x | = \sqrt{c}$
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