Abschnitt: Inhalte mit Erklärungen | Logarithmen

Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Logarithmen

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Inhalte mit Erklärungen

Datum Sep 28, 2026

orca_pwl_logarithmen_

Logarithmen

Satz 1
Seien die reellen Zahlen

a > 0

a \neq 1

, und

b > 0

gegeben. Die Gleichung

a^{c} = b

besitzt genau eine reelle Zahl

c

als Lösung.

Definition 1
Seien die reellen Zahlen

a > 0

a \neq 1

, und

b > 0

gegeben. Die reelle Zahl

c

, die die Gleichung

a^{c} = b

erfüllt, bezeichnet man als Logarithmus von

b

zur Basis

a

und schreibt

c = \log_{a} (b)

. Kurz:

\log_{a} (b) = c \Leftrightarrow a^{c} = b .

Der Logarithmus

\log_{a} (b)

ist also diejenige reelle Zahl, mit der man

a

potenzieren muss, um

b

zu erhalten.

Video 2

In diesem Video wird Ihnen die obige Definition des Logarithmus ausführlich erläutert.

Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Logarithmen aus dem unten folgenden Video mithilfe der Definition des Logarithmus.

Video 3

Das Intervallhalbierungsverfahren zur Bestimmung von Logarithmen
Wir möchten die Zahl

x

bestimmen, für die die Gleichung

5^{x} = 10

erfüllt ist. Nach der Definition des Logarithmus ist also die Zahl

x = \log_{5} (10)

gesucht. Wir verwenden wieder das Intervallhalbierungsverfahren, um

x

annähernd zu bestimmen, und fangen mit dem Intervall

[1; 2]

an, da

10

zwischen den beiden Zahlen

5^{1} = 5

und

5^{2} = 25

liegt. Aufgrund der Tatsache, dass

5^{1,5} = 11,180339889 \dots > 10

gilt, befindet sich die Zahl

x

zwischen

1

und

1,5

. Nach weiteren Schritten erhält man folgende Tabelle

Abschätzung für $10$	Abschätzung für $x = \log_{5} (10)$	Intervall für $x = \log_{5} (10)$
$5^{1} < 10 < 5^{2}$	$1 < \log_{5} (10) < 2$	[1;2]
$5^{1} < 10 < 5^{1,5}$	$1 < \log_{5} (10) < 1,5$	[1; 1,5]
$5^{1,25} < 10 < 5^{1,5}$	$1,25 < \log_{5} (10) < 1,5$	[1,25; 1,5]
$5^{1,375} < 10 < 5^{1,5}$	$1,375 < \log_{5} (10) < 1,5$	[1,375; 1,5]
$5^{1,375} < 10 < 5^{1,4375}$	$1,375 < \log_{5} (10) < 1,4375$	[1,375; 1,4375]
$5^{1,40625} < 10 < 5^{1,4375}$	$1,40625 < \log_{5} (10) < 1,4375$	[1,40625; 1,4375]
$5^{1,421875} < 10 < 5^{1,4375}$	$1,421875 < \log_{5} (10) < 1,4375$	[1,421875; 1,4375]
$5^{1,429688} < 10 < 5^{1,4375}$	$1,429688 < \log_{5} (10) < 1,4375$	[1,429688; 1,4375]

Der Logarithmus

\log_{5} (10)

liegt also zwischen

1,429688

und

1,4375

. Fährt man weiter fort, bekommt man beliebig kleine Intervalle und kann so auch die Zahl

\log_{5} (10) \approx 1,430676558

beliebig genau annähern.

Ähnliche Verfahren, wie das an dieser Stelle betrachtete Intervallhalbierungverfahren, finden im Taschenrechner Verwendung, um Zahlen anzunähern.

Regel 1: (Logarithmengesetze)
Für alle

a \in ℝ

mit

a > 0, a \neq 1

, alle

x, y, \in ℝ

mit

x, y > 0

und alle

β \in ℝ

und gilt:

\begin{matrix} \log_{a} (x \cdot y) & = & \log_{a} (x) + \log_{a} (y), (L1) \\ \log_{a} (\frac{x}{y}) & = & \log_{a} (x) - \log_{a} (y), (L2) \\ \log_{a} (x^{β}) & = & β \log_{a} (x) . (L3) \end{matrix}

Wir beweisen nun die Logarithmengesetze mithilfe der bereits eingeführten Potenzgesetze.

(L1) Gehen wir von dem Ausdruck $a^{\log_{a} (x) + \log_{a} (y)}$ aus und wenden nun das erste Potenzgesetz an, so erhalten wir
$a^{\log_{a} (x) + \log_{a} (y)} = a^{\log_{a} (x)} \cdot a^{\log_{a} (y)} = x \cdot y .$
Der Logarithmus $\log_{a} (x \cdot y)$ ist der Exponent von $a$ , mit dem sich $x \cdot y$ ergibt. Die Gleichung zeigt, dass dies durch $\log_{a} (x) + \log_{a} (y)$ erfüllt wird. Also folgt
$\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = \log_{a} (x \cdot y) .$
(L2) Betrachten wir nun
$a^{\log_{a} (x) - \log_{a} (y)} = a^{\log_{a} (x)} a^{- \log_{a} (y)} = \frac{a^{\log_{a} (x)}}{a^{\log_{a} (y)}} = \frac{x}{y} .$
Der Logarithmus $\log_{a} (\frac{x}{y})$ ist der Exponent von $a$ , mit dem sich $\frac{x}{y}$ ergibt. Aus der obigen Gleichung folgt durch den Vergleich der Exponenten das zweite Logarithmusgesetz.
(L3) Wendet man das dritte Potenzgesetz auf den Ausdruck $a^{β \log_{a} (x)}$ an, so bekommt man
$a^{β \log_{a} (x)} = {(a^{\log_{a} (x)})}^{β} = x^{β} .$
Der Logarithmus $\log_{a} (x^{β})$ ist der Exponent von $a$ , für den man $x^{β}$ erhält. Also ergibt sich $β \cdot \log_{a} (x) = \log_{a} (x^{β}) .$

Video 4

In diesem Video begründen wir, warum das Logarithmengesetz (L1) gilt.

Aufgabe 2
Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Logarithmengesetzes (L1).

Video 5

Video 6

In diesem Video begründen wir, warum das Logarithmengesetz (L2) gilt.

Aufgabe 3
Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Logarithmengesetzes (L2).

Video 7

Video 8

In diesem Video begründen wir, warum das Logarithmengesetz (L3) gilt.

Aufgabe 4
Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Logarithmengesetzes (L3).

Video 9

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