Abschnitt: Hinführung | Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
  Hinführung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
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  So wie die Multiplikation eine verkürzte Schreibweise für eine wiederholte Addition ist, sind Potenzen eine verkürzte Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation - insofern der Exponent eine natürliche Zahl ist. Statt $6 + 6 + 6 + 6$ können Sie demnach auch $4 \cdot 6$ schreiben und analog dazu können Sie $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$ als $6^{4}$ schreiben.
  
  Aufgabe 1aufgabe_1
  
  Man betrachte folgende Gleichung
  $2^{3} \cdot 2^{5} = \underset{3 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2}} \cdot \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} = 2^{8}$
  
  Berechnen Sie analog zum Beispiel:
  $3^{2} \cdot 3^{7} =$
  3^9
  
  Kontrolle
  
  Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich bei beiden Beispielen erkennen? Formulieren Sie ein allgemeingültiges Gesetz für obige Gleichungen.
  
  Es gilt
  ${(2^{3})}^{5} = \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2^{3} \cdot \dots \cdot 2^{3}}} = 2^{15}$
  
  Berechnen Sie analog:
  $(3^{2})^{7} =$
  3^14
  
  Kontrolle
  
  Stellen Sie auch hier eine allgemeine Formel auf.
  
  Ein weiteres Rechenbeispiel für Potenzen ist
  $2^{5} \cdot 3^{5} = \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{2 \cdot \dots \cdot 2}} \cdot \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot \dots \cdot 3}} = \underset{5 - mal}{\underset{⏟}{(2 \cdot 3) \cdot \dots \cdot (2 \cdot 3)}} = (2 \cdot 3)^{5} = 6^{5}$
  
  Wie lautet demzufolge das Ergebnis für $3^{7} \cdot 5^{7}$ ?
  
  $3^{7} \cdot 5^{7}$ =
  15^7
  
  Kontrolle
  
  Wie kann man diese Berechnungen verallgemeinern?
  
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  $3^{2} \cdot 3^{7} = \underset{2 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot 3}} \cdot \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}} = 3^{9}$
  
  Es gilt für $n, m \in ℕ$ und $a \in ℝ$ die Formel $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ .
  
  ${(3^{2})}^{7} = \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3^{2} \cdot \dots \cdot 3^{2}}} = 3^{14}$
  
  Es gilt für $n, m \in ℕ$ und $a \in ℝ$ die Formel $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$ .
  
  $3^{7} \cdot 5^{7} = \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{3 \cdot \dots \cdot 3}} \cdot \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{5 \cdot \dots \cdot 5}}$
  $= \underset{7 - mal}{\underset{⏟}{(3 \cdot 5) \cdot \dots \cdot (3 \cdot 5)}} = 15^{7}$
  
  Es gilt für $n \in ℕ$ und $a, b \in ℝ$ die Formel $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$ .
  
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  Sie haben nun die Potenzgesetze für natürliche Exponenten entdeckt. Diese müssen allerdings noch bewiesen werden. Die Potenzgesetze lassen sich dann auch auf ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten erweitern.
  
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