Abschnitt: Aufgaben | Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3  Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_pwl_potenzen_
  
  Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
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  Video 13video_13
  
  In diesem Video wird erklärt, wie Sie komplexe Terme mithilfe der Potenzgesetze zusammenfassen können.
  
  Video 14video_14
  
  In diesem Video wird erklärt, wie Sie komplexe Terme mithilfe der Potenzgesetze zusammenfassen können.
  
  Aufgabe 9aufgabe_9
  Berechnen Sie die folgenden Potenzen:
  
  $2^{4} =$
  16
  
  $10^{6} =$
  1000000
  
  $3^{3} =$
  27
  
  $6^{2} =$
  36
  
  $7^{2} =$
  49
  
  $2^{7} =$
  128
  
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  $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
  
  $10^{6} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000000$
  
  $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
  
  $6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$
  
  $7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$
  
  $2^{7} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$
  
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  Aufgabe 10aufgabe_10
  Welches Relationszeichen ist hier richtig?
  
  $2^{3}$ $(2 \cdot 3)$
  
  $2^{3}$ $3^{2}$
  
  $2^{5}$ $5^{2}$
  
  $2^{3}$ $10$
  
  $3^{3}$ $10$
  
  ${(4^{2})}^{3}$ $4^{(2^{3})}$
  
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  $2^{3} > (2 \cdot 3)$
  
  $2^{3} < 3^{2}$
  
  $2^{5} > 5^{2}$
  
  $2^{3} < 10$
  
  $3^{3} > 10$
  
  ${(4^{2})}^{3} < 4^{(2^{3})}$
  
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  Aufgabe 11aufgabe_11
  Berechnen Sie die folgenden Potenzen:
  
  $4^{2} =$
  16
  
  $- 4^{2} =$
  -16
  
  $- (4^{2}) =$
  -16
  
  $(- 4)^{2} =$
  16
  
  $- (- 4^{2}) =$
  16
  
  $- (- 4)^{2} =$
  -16
  
  Kontrolle
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  $4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$
  
  $- 4^{2} = - (4 \cdot 4) = - 16$
  
  $- (4^{2}) = - (4 \cdot 4) = - 16$
  
  $(- 4)^{2} = (- 4) \cdot (- 4) = 16$
  
  $- (- 4^{2}) = - (- (4 \cdot 4)) = 16$
  
  $- (- 4)^{2} = - ((- 4) \cdot (- 4)) = - 16$
  
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  Aufgabe 12aufgabe_12
  Berechnen Sie die folgenden Potenzen:
  
  $5^{- 3} =$
  1/125
  
  $- 2^{- 3} =$
  -1/8
  
  $(- 3)^{- 3} =$
  -1/27
  
  $(4^{2})^{- 1} =$
  1/16
  
  $(10^{- 2})^{- 2} =$
  10000
  
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  $5^{- 3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}$
  
  $- 2^{- 3} = - \frac{1}{2^{3}} = - \frac{1}{8}$
  
  $(- 3)^{- 3} = \frac{1}{{(- 3)}^{3}} = - \frac{1}{27}$
  
  $(4^{2})^{- 1} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$
  
  $(10^{- 2})^{- 2} = 10^{4} = 10000$
  
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  Aufgabe 13aufgabe_13
  Schreiben Sie die folgenden Produkte in der Potenzschreibweise.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ$ .
  
  $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 =$
  10^6
  
  $4,2 \cdot 4,2 \cdot 4,2 \cdot 4,2 =$
  42^4
  
  $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b =$
  a^5*b^2
  
  $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a + b \cdot b \cdot b =$
  a^5+b^3
  
  $(a + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (a + 1,05) =$
  (a+1.05)^4
  
  $(a + 1,05) \cdot (b + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (b + 1,05) =$
  ((a+1.05)*(b+1.05))^2
  
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  $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{6}$
  
  $4,2 \cdot 4,2 \cdot 4,2 \cdot 4,2 = {(4,2)}^{4}$
  
  $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b = a^{5} b^{2}$
  
  $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a + b \cdot b \cdot b = a^{5} + b^{3}$
  
  $(a + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (a + 1,05) = (a + 1,05)^{4}$
  
  $(a + 1,05) \cdot (b + 1,05) \cdot (a + 1,05) \cdot (b + 1,05) = (a + 1,05)^{2} \cdot (b + 1,05)^{2} = {((a + 1,05) \cdot (b + 1,05))}^{2}$
  
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  Aufgabe 14aufgabe_14
  Kreuze die richtige Antwort an.
  Dabei gelte $a \in ℝ und a \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  $a^{1} =$
  
  $0$     $1$     $a$     $\frac{1}{a}$
  
  $a^{0} =$
  
  $0$     $1$     $a$     $\frac{1}{a}$
  
  $a^{- n} =$
  
  $a$     $- n$     $- an$     $\frac{1}{a^{n}}$
  
  $\frac{1}{a^{- n}} =$
  
  $a^{n}$     $1$     $a$     $a^{(- 1)}$
  
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  Nach Definition gilt: $a^{1} = a$
  
  Nach Definition gilt: $a^{0} = 1$
  
  Nach Definition gilt: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
  
  Nach Definition gilt: $\frac{1}{a^{- n}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{n}}} = a^{n}$
  
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  Aufgabe 15aufgabe_15
  Vervollständigen Sie die unten stehenden Gleichungen so, dass sich die Potenzgesetze (P′1) bis (P′5) ergeben.
  Seien $a, b \in ℝ$ und $a, b \neq 0$ sowie $m, n \in ℤ$ .
  
  (P′1): $a^{m} \cdot a^{n} =$
  a^(m+n)
  
  (P′2):
  (a^m)/(a^n)
  
  $= a^{m - n}$
  
  (P′3):
  (a^m)^n
  
  $= a^{m \cdot n}$
  
  (P′4): $a^{n} \cdot b^{n} =$
  (a*b)^n
  
  (P′5): $\frac{a^{n}}{b^{n}} =$
  (a/b)^n
  
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  Für alle $a, b \in ℝ, a, b \neq 0$ und $m, n \in ℤ$ gelten folgende Rechenregeln:
  $\begin{matrix} a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n}, (P′1) \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m - n}, (P′2) \\ {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n}, (P′3) \\ a^{n} \cdot b^{n} & = & (a \cdot b)^{n}, (P′4) \\ \frac{a^{n}}{b^{n}} & = & {(\frac{a}{b})}^{n} . (P′5) \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 16aufgabe_16
  Seien $a, b, c \in ℝ$ und $c \neq 0$ .
  
  a) Was bedeutet $a^{3}$ ?
  
  b) Was bedeutet $(2 ab)^{4}$ ?
  
  c) Was bedeutet $c^{- 2}$ ?
  
  Kontrolle
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  Nach Definition 1 gilt hier:
  a) $a^{3} = a \cdot a \cdot a$
  
  b) $(2 ab)^{4} = 2 ab \cdot 2 ab \cdot 2 ab \cdot 2 ab$
  
  c) $c^{- 2} = \frac{1}{c^{2}}$
  
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  Aufgabe 17aufgabe_17
  Fassen Sie die folgenden Terme zu einer Potenz der Form $x^{y}$ zusammen.
  
  $1^{9} \cdot 4^{9} =$
  4^(9)
  
  $3^{9} \cdot 6^{9} =$
  18^(9)
  
  $10^{9} \cdot 7^{9} =$
  70^(9)
  
  $3^{4} \cdot a^{4} =$
  (3*a)^(4)
  
  (a*3)^(4)
  
  $13^{9} \cdot 13^{4} =$
  13^(13)
  
  Kontrolle
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  Da in den Aufgaben a) - d) die Potenzen immer jeweils die gleichen Exponenten haben, lassen sie sich alle unter Anwendung der Potenzregel (P ′4) lösen. In Aufgabenteil e) haben die Potenzen die gleichen Basen und somit lässt sie sich mithilfe der Potenzregel (P′1) berechnen.
  
  $1^{9} \cdot 4^{9} = (1 \cdot 4)^{9} = 4^{9}$
  
  $3^{9} \cdot 6^{9} = (3 \cdot 6)^{9} = 18^{9}$
  
  $10^{9} \cdot 7^{9} = (10 \cdot 7)^{9} = 70^{9}$
  
  $3^{4} \cdot a^{4} = (3 a)^{4}$
  
  $13^{9} \cdot 13^{4} = 13^{(9 + 4)} = 13^{13}$
  
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  Aufgabe 18aufgabe_18
  Fassen Sie die folgenden Terme zu einer Potenz der Form $x^{y}$ zusammen.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ und a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  ${(a^{2})}^{3} =$
  a^(6)
  
  $\frac{a^{(5 n)}}{a^{(2 n)}} =$
  a^(3n)
  
  $\frac{b^{(n)}}{b^{(3 n)}} =$
  b^(-2n)
  
  $a^{1} \cdot b^{1} =$
  a*b
  
  (a*b)^1
  
  $a^{2 n} \cdot b^{2 n} =$
  (a*b)^(2*n)
  
  $(2 a)^{2} \cdot (5 b)^{2} =$
  100*(a*b)^(2)
  
  (10*a*b)^2
  
  (2*a*5*b)^2
  
  (a*b*10)^2
  
  Kontrolle
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  Nach (P ′3) gilt: ${(a^{2})}^{3} = a^{(2 \cdot 3)} = a^{6}$
  
  Nach (P ′2) gilt: $\frac{a^{(5 n)}}{a^{(2 n)}} = a^{(5 n - 3 n)} = a^{(3 n)}$
  
  Nach (P ′2) gilt: $\frac{b^{(n)}}{b^{(3 n)}} = b^{(n - 3 n)} = b^{(- 2 n)}$
  
  Nach (P ′4) gilt: $a^{1} \cdot b^{1} = (ab)^{1} = ab$
  
  Nach (P ′4) gilt: $a^{2 n} \cdot b^{2 n} = (ab)^{2 n}$
  
  Nach (P ′5) gilt: $(2 a)^{2} \cdot (5 b)^{2} = (2 a \cdot 5 b)^{2} = (10 ab)^{2}$
  
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  Aufgabe 19aufgabe_19
  Vereinfachen Sie den folgenden Term durch Anwendung der Potenzgesetze.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ und a, b \neq 0$ .
  
  $\frac{25 a^{4} b^{3}}{5 {ba}^{- 2}}$
  $=$
  5a^6b^2
  
  Kontrolle
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  $\frac{25 a^{4} b^{3}}{5 {ba}^{- 2}} = \frac{25}{5} \cdot \frac{a^{4}}{a^{- 2}} \cdot \frac{b^{3}}{b} = 5 \cdot \frac{a^{4}}{a^{- 2}} \cdot \frac{b^{3}}{b}$
  
  Nach (P ′4) gilt hier also: $5 \cdot \frac{a^{4}}{a^{- 2}} \cdot \frac{b^{3}}{b} = 5 \cdot a^{(4 - (- 2))} \cdot b^{(3 - 1)} = 5 a^{6} b^{2}$
  
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  Aufgabe 20aufgabe_20
  Bestimmen Sie $n$ jeweils so, dass die Gleichheit gilt.
  Dabei gelte $a, b, c, d \in ℝ und c, d \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  Für $a^{3} \cdot a^{n} = a^{15}$ gilt:
  $n =$
  12
  
  Für ${(b^{4})}^{n} = b^{20}$ gilt:
  $n =$
  5
  
  Für $c^{42} = \frac{c^{7}}{c^{n}}$ gilt:
  $n =$
  -35
  
  Für $d^{16} = {(d^{n})}^{2}$ gilt:
  $n =$
  8
  
  Kontrolle
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  Nach (P ′1) gilt $a^{3} \cdot a^{n} = a^{(3 + n)}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die mit $3$ addiert $15$ ergibt und somit gilt: $n = 12$
  Denn: $a^{3} \cdot a^{12} = a^{(3 + 12)} = a^{15}$
  
  Nach (P ′3) gilt $(b^{4})^{n} = b^{4 n}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die mit $4$ multipliziert $20$ ergibt und somit gilt: $n = 5$
  Denn: $(b^{4})^{5} = b^{(4 \cdot 5)} = b^{20}$
  
  Nach (P ′4) gilt $\frac{c^{7}}{c^{n}} = c^{(7 - n)}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die von $7$ subtrahiert werden muss, sodass sich daraus $42$ ergibt und somit gilt: $n = (- 35)$
  Denn: $\frac{c^{7}}{c^{- 35}} = c^{(7 - (- 35))} = c^{(7 + 35)} = c^{42}$
  
  Wie in b) wird hier die Zahl gesucht, die mit $2$ multipliziert $16$ ergibt und somit gilt: $n = 8$
  Denn: ${(d^{8})}^{2} = d^{8 \cdot 2} = d^{16}$
  
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  Aufgabe 21aufgabe_21
  Bestimmen Sie $n$ jeweils so, dass die Gleichheit gilt.
  Dabei gelte $a, k \in ℝ und a, k \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  Für $a^{36} = a^{2} \cdot a^{n}$ gilt:
  $n =$
  34
  
  Für $a^{36} = a^{4} \cdot a^{- n}$ gilt:
  $n =$
  -32
  
  Für $a^{36} = a^{- 3} \cdot a^{n}$ gilt:
  $n =$
  39
  
  Für $a^{36} = {(a^{2})}^{n}$ gilt:
  $n =$
  18
  
  Für $k^{36} = {(k^{- 6})}^{n}$ gilt:
  $n =$
  -6
  
  Kontrolle
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  Nach (P ′1) gilt $a^{2} \cdot a^{n} = a^{(2 + n)}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die mit $2$ addiert $36$ ergibt und somit gilt: $n = 34$
  Denn: $a^{2} \cdot a^{34} = a^{(2 + 34)} = a^{36}$
  
  Nach (P ′1) gilt $a^{4} \cdot a^{- n} = a^{(4 + (- n))} = a^{(4 - n)}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die von $4$ subtrahiert werden muss, sodass sich daraus $36$ ergibt und somit gilt: $n = (- 32)$
  Denn: $a^{4} \cdot a^{- (- 32)} = a^{4} \cdot a^{32} = a^{(4 + 32)} = a^{36}$
  
  Nach (P ′1) gilt $a^{- 3} \cdot a^{n} = a^{(- 3 + n)}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die mit $(- 3)$ addiert $36$ ergibt und somit gilt: $n = 39$
  Denn: $a^{- 3} \cdot a^{39} = a^{(- 3 + 39)} = a^{36}$
  
  Nach (P ′3) gilt ${(a^{2})}^{n} = a^{2 n}$ . Es wird also die Zahl gesucht, die mit $2$ multipliziert $36$ ergibt und somit gilt: $n = 18$
  Denn: ${(a^{2})}^{18} = a^{(2 \cdot 18)} = a^{36}$
  
  Wie in d) wird hier die Zahl gesucht, die mit $(- 6)$ multipliziert $36$ ergibt und somit gilt: $n = (- 6)$
  Denn: ${(k^{(- 6)})}^{(- 6)} = k^{((- 6) \cdot (- 6))} = k^{36}$
  
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  Aufgabe 22aufgabe_22
  Formen Sie so um, dass der Term der Form $a^{n}$ entspricht.
  Dabei gelte $a \in ℝ und a \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  $a^{2} \cdot a^{- 3} =$
  a^(-1)
  
  $\frac{a^{- 3}}{a^{6}} =$
  a^(-9)
  
  $a^{- 5} \cdot a^{- 3} =$
  a^(-8)
  
  $a^{(n - 1)} \cdot a =$
  a^n
  
  $a^{(n - 1)} \cdot a^{n} =$
  a^(2*n-1)
  
  $\frac{a^{(n + 3)}}{a^{(n - 2)}} =$
  a^(5)
  
  $a^{(n - 1)} \cdot a^{3 n} =$
  a^(4*n-1)
  
  Kontrolle
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  Nach (P ′1) gilt: $a^{2} \cdot a^{- 3} = a^{(2 + (- 3))} = a^{(2 - 3)} = a^{- 1}$
  
  Nach (P ′4) gilt: $\frac{a^{- 3}}{a^{6}} = a^{(- 3 - 6)} = a^{- 9}$
  
  Nach (P ′1) gilt: $a^{- 5} \cdot a^{- 3} = a^{(- 5 + (- 3))} = a^{(- 5 - 3)} = a^{- 8}$
  
  Nach (P ′1) gilt: $a^{n - 1} \cdot a = a^{((n - 1) + 1)} = a^{n}$
  
  Nach (P ′1) gilt: $a^{n - 1} \cdot a^{n} = a^{((n - 1) + n)} = a^{2 n - 1}$
  
  Nach (P ′4) gilt: $\frac{a^{(n + 3)}}{a^{(n - 2)}} = a^{((n + 3) - (n - 2))} = a^{(n + 3 - n + 2)} = a^{5}$
  
  Nach (P ′1) gilt: $a^{n - 1} \cdot a^{3 n} = a^{((n - 1) + 3 n)} = a^{4 n - 1}$
  
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  Aufgabe 23aufgabe_23
  Schreiben Sie die folgenden Terme als Term der Form ${(\frac{a}{b})}^{n}$ , wobei $n \in ℕ$ und $n > 1$ gelte.
  
  $\frac{4^{3}}{7^{3}} =$
  (4/7)^(3)
  
  $\frac{1^{2}}{4^{2}} =$
  (1/4)^(2)
  
  $\frac{4}{9} =$
  (2/3)^(2)
  
  $\frac{{(1^{\frac{1}{n}} \cdot a)}^{n}}{4^{n}} =$
  (a/4)^n
  
  Kontrolle
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  Da in den jeweiligen Aufgaben die Potenzen immer jeweils die gleichen Exponenten haben, lassen sie sich alle unter Anwendung der Potenzregel (P ′5) lösen.
  
  $\frac{4^{3}}{7^{3}} = {(\frac{4}{7})}^{3}$
  
  $\frac{1^{2}}{4^{2}} = {(\frac{1}{4})}^{2}$
  
  Da die Aufgabenstellung vorgibt, dass $n > 1$ gilt, muss hier zunächst erkannt werden, dass es sich bei Zähler und Nenner um Quadratzahlen handelt. Demnach lassen sich diese auch als $4 = 2^{2}$ und $9 = 3^{2}$ darstellen.
  
  Somit ergibt sich hier: $\frac{4}{9} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = {(\frac{2}{3})}^{2}$
  
  Hier lässt sich zunächst der Zähler mit Hilfe der Potenzregeln (P ′2) und (P ′3) wie folgt vereinfachen:
  ${(1^{\frac{1}{n}} \cdot a)}^{n} = {(1^{\frac{1}{n}})}^{n} \cdot a^{n} = 1^{\frac{n}{n}} \cdot a^{n} = 1^{1} \cdot a^{n}$
  
  Somit ergibt sich hier: $\frac{{(1^{\frac{1}{n}} \cdot a)}^{n}}{4^{n}} = \frac{a^{n}}{4^{n}} = {(\frac{a}{4})}^{n}$
  
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  Aufgabe 24aufgabe_24
  Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ und a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  $2^{2} \cdot 2^{1} \cdot 2^{0} =$
  8
  
  $(2^{2} \cdot 5)^{2} =$
  400
  
  $a^{n} \cdot a^{0} =$
  a^n
  
  $(ab) \cdot (ab)^{2} + 7 (ab)^{3} =$
  8*(a*b)^3
  
  (2*a*b)^(3)
  
  (a*b*2)^(3)
  
  $\frac{a^{n}}{a^{n}} \cdot {(\frac{b}{b})}^{n} =$
  1
  
  $\frac{a^{4}}{a^{2}} =$
  a^(2)
  
  Kontrolle
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  Nach (P ′1) gilt: $2^{2} \cdot 2^{1} \cdot 2^{0} = 2^{(2 + 1 + 0)} = 2^{3} = 8$
  
  Nach (P ′2) gilt: $(2^{2} \cdot 5)^{2} = (4 \cdot 5)^{2} = 20^{2} = 400$
  
  Nach Definition 1 gilt: $a^{n} \cdot a^{0} = a^{n} \cdot 1 = a^{n}$
  
  $(ab) \cdot (ab)^{2} + 7 (ab)^{3} = (ab)^{3} + 7 (ab)^{3} = 8 (ab)^{3}$
  
  $\frac{a^{n}}{a^{n}} \cdot {(\frac{b}{b})}^{n} = 1 \cdot (1)^{n} = 1$
  
  Nach (P ′4) gilt: $\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{(4 - 2)} = a^{2}$
  
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  Aufgabe 25aufgabe_25
  Entscheiden Sie, welche der folgenden Berechnungen stimmen.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ und a \neq 0$
  
  $3^{- 3} \cdot 3^{- 3} \cdot 3^{- 3} = \frac{1}{3^{- 9}}$
  
  $10^{- 4} \cdot 10^{8} \cdot 10^{- 2} = 10^{2}$
  
  $ab \cdot ab = {ab}^{2}$
  
  $a^{- 5} \cdot a^{5} \cdot b^{5} = 0$
  
  $2 (ab)^{2} \cdot (ab)^{3} = 2 (ab)^{5}$
  
  Kontrolle
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  Diese Berechnung stimmt nicht. Nach Potenzgesetz (P ′1) und Definition $1$ gilt:
  
  $3^{- 3} \cdot 3^{- 3} \cdot 3^{- 3} = 3^{- 9} = \frac{1}{3^{9}}$
  
  Diese Berechnung ist korrekt.
  
  Nach (P ′1) gilt: $10^{- 4} \cdot 10^{8} \cdot 10^{- 2} = 10^{(- 4 + 8 + (- 2))} = 10^{2}$
  
  Diese Berechnung stimmt nicht. Nach den Potenzgesetzen (P ′1) und (P ′2) gilt:
  
  $ab \cdot ab = (ab)^{1} \cdot (ab)^{1} = (ab)^{2} = a^{2} b^{2}$
  
  Diese Berechnung stimmt nicht. Da $a, b \neq 0$ gilt nach Potenzgesetzen (P ′1) :
  
  $a^{- 5} \cdot a^{5} \cdot b^{5} = a^{(- 5 + 5)} \cdot b^{5} = a^{0} \cdot b^{5} = b^{5}$
  
  Diese Berechnung ist korrekt.
  
  Nach (P ′1) gilt: $2 (ab)^{2} \cdot (ab)^{3} = 2 \cdot (ab)^{(2 + 3)} = 2 (ab)^{5}$
  
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  Aufgabe 26aufgabe_26
  Sei $a \in ℝ, a \neq 0$ . Vereinfachen Sie durch Ausklammern:     $5 a^{3} - 7 a^{5} =$
  a^3 (5 - 7a^2)
  
  Kontrolle
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  Wir erhalten durch Ausklammern     $5 a^{3} - 7 a^{5} = a^{3} (5 - 7 a^{2}) .$
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  Aufgabe 27aufgabe_27
  Schreiben Sie ohne Bruchstrich.
  Dabei gelte $a, b, n \in ℝ und a, b, n \neq 0$
  
  $\frac{1}{7^{4}} =$
  7^(-4)
  
  $\frac{3}{4^{3}} =$
  3*4^(-3)
  
  4^(-3)*3
  
  $\frac{9}{3^{2}} =$
  1
  
  $\frac{n}{n^{4}} =$
  n^(-3)
  
  $\frac{a}{(ab)^{1}} =$
  b^(-1)
  
  Kontrolle
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  Nach Definition 1 gilt: $\frac{1}{7^{4}} = 7^{- 4}$
  
  Nach Definition 1 gilt: $\frac{3}{4^{3}} = 3 \cdot \frac{1}{4^{3}} = 3 \cdot 4^{- 3}$
  
  $\frac{9}{3^{2}} = \frac{9}{9} = 1$
  
  Nach (P ′4) gilt: $\frac{n}{n^{4}} = n^{(1 - 4)} = n^{- 3}$
  
  Nach Definition 1 gilt: $\frac{a}{(ab)^{1}} = \frac{a}{ab} = \frac{a}{a} \cdot \frac{1}{b} = b^{(- 1)}$
  
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  Aufgabe 28aufgabe_28
  Formen Sie die folgenden Terme so um, dass in keinem Exponenten ein Minuszeichen steht.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ und a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  $a^{- 4} =$
  1/(a^(4))
  
  $a^{2 n} \cdot a^{- n} =$
  a^n
  
  a^(2*n)*1/(a^n)
  
  $\frac{2^{2}}{4^{- 1}} =$
  16
  
  2^4
  
  $\frac{a^{2}}{b^{- 1}} =$
  a^(2)*b
  
  b*a^(2)
  
  a*a*b
  
  a^(2)/(1/b)
  
  (a*a)/(1/b)
  
  Kontrolle
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  Nach Definition 1 gilt: $a^{- 4} = \frac{1}{a^{4}}$
  
  Nach (P ′1) gilt: $a^{2 n} \cdot a^{- n} = a^{(2 n + (- n))} = a^{(2 n - n)} = a^{n}$
  
  Nach (P ′3) und (P ′4) gilt: $\frac{2^{2}}{4^{- 1}} = \frac{2^{2}}{(2^{2})^{- 1}} = \frac{2^{2}}{2^{- 2}} = 2^{2 - (- 2)} = 2^{4} = 16$
  
  Nach Definition 1 gilt: $\frac{a^{2}}{b^{- 1}} = \frac{a^{2}}{\frac{1}{b}} = a^{2} b$
  
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  Aufgabe 29aufgabe_29
  Bei Berechnungen mit hohen Potenzen sind Taschenrechner oftmals überfordert. Versuchen Sie die folgende Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen.
  
  $\frac{6^{199}}{6^{197}} =$
  36
  
  6^2
  
  6^(199-197)
  
  Kontrolle
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  Nach Potenzgesetz (P ′4) gilt hier:
  
  $\frac{6^{199}}{6^{197}} = 6^{(199 - 197)} = 6^{2} = 36$
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  Aufgabe 30aufgabe_30
  Welcher Fehler wurde hier gemacht?
  $10^{n} = 100 \Rightarrow n = 10$
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  Eine Möglichkeit ist, dass hier ein Fehler im Grundverständnis bezüglich des Potenzierens vorliegt: Die oder der Lernende könnte gedacht haben, es gelte $10^{10} = 100$ . Allerdings ist $10 \cdot 10 = 10^{2} = 100$ und somit das richtige Ergebnis $x = 2$ .
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  Aufgabe 31aufgabe_31
  Vereinfachen Sie durch Ausklammern, wobei $a, b \in ℝ, a, b \neq 0$ .
  $2 a^{8} b^{5} - 7 a^{5} b^{3} + a^{7} (- b)^{4} =$
  a^5b^3(2a^3b^2 - 7 + a^2b)
  
  Kontrolle
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  Wir erhalten     $2 a^{8} b^{5} - 7 a^{5} b^{3} + a^{7} (- b)^{4} = a^{5} b^{3} (2 a^{3} b^{2} - 7 + a^{2} b) .$
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  Aufgabe 32aufgabe_32
  Welcher Fehler wurde hier gemacht?
  $a^{- 2 x z} = a^{(- 2 x)^{z}}$ ,    wobei $a \in ℝ, a \neq 0$ und $x, z \in ℤ$
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  Vermutlich hat die oder der Lernende bei dieser Umformung an das richtige Gesetz gedacht, danach allerdings die Klammern falsch gesetzt. Aus $a^{- 2 xz} = a^{(- 2 x)^{z}}$ folgt $- 2 x z = (- 2 x)^{z}$ , aber diese Gleichheit gilt im Allgemeinen nicht, wie wir mit Zahlenbeispielen belegen können. Eine richtige Umformung wäre $a^{- 2 xz} = {(a^{- 2 x})}^{z}$ gewesen.
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  Aufgabe 33aufgabe_33
  Vereinfachen Sie soweit wie möglich, ohne Hilfe des Taschenrechners.
  Dabei gelte $a \in ℝ$ und $n \in ℤ$ .
  
  $2^{- 1} \cdot 3^{4} \cdot 2^{3} \cdot 3^{- 3} =$
  12
  
  $- 4^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} \cdot 1^{n} \cdot 4^{1} =$
  -4
  
  $(((- 1)^{2})^{4})^{6} =$
  1
  
  $- ((- a^{3} \cdot (a^{2})^{n})^{0})^{- 10} =$
  -1
  
  Kontrolle
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  Nach Potenzgesetz (P ′1) gilt hier:
  
  $2^{- 1} \cdot 3^{4} \cdot 2^{3} \cdot 3^{- 3} = 2^{(- 1 + 3)} \cdot 3^{(4 + (- 3))} = 2^{2} \cdot 3^{1} = 4 \cdot 3 = 12$
  
  Nach den Potenzgesetzen (P ′5) und (P ′4) gilt hier:
  
  $- 4^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} \cdot 1^{n} \cdot 4^{1} = - 4^{n} \cdot \frac{1}{4^{n}} \cdot 1^{n} \cdot 4^{1} = - \frac{4^{n}}{4^{n}} \cdot 1^{n} \cdot 4^{1} = - 1 \cdot 1 \cdot 4 = - 4$
  
  Nach Anwendung des Potenzgesetzes (P ′3) ergibt sich als Produkt eine gerade Zahl als Exponent, sodass die Potenz stets einen positiven Wert besitzt:
  
  ${({({(- 1)}^{2})}^{4})}^{6} = {(- 1)}^{(2 \cdot 4 \cdot 6)} = {(- 1)}^{48} = 1$
  
  Nach Potenzgesetz (P ′3) gilt hier:
  
  $- {({(- a^{3} \cdot {(a^{2})}^{n})}^{0})}^{- 10} = - {(- a^{3} \cdot a^{2 n})}^{0} = - 1$
  
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  Aufgabe 34aufgabe_34
  Wählen Sie den Term, der der Hälfte von $2^{100}$ entspricht:
  
  $1^{50}$     $2^{50}$     $1^{100}$     $2^{99}$     $100^{2}$     $50^{2}$     $1^{200}$
  
  Kontrolle
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  Die Hälfte von $2^{100}$ entspricht $2^{100} \cdot \frac{1}{2}$ . Nach Potenzgesetz (P ′4) ist dann also die Hälfte von $2^{100}$ :
  
  $\frac{2^{100}}{2^{1}} = 2^{(100 - 1)} = 2^{99}$
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  Aufgabe 35aufgabe_35
  Formen Sie die folgenden Terme so um, dass Ihr Ergebnis keine negativen Exponenten mehr enthält.
  Dabei gelte $a, b \in ℝ$ , $a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  $\frac{a}{a^{- 3}} =$
  a^4
  
  a/(1/(a^(3)))
  
  a*(1/(1/(a^(3))))
  
  $\frac{a^{- 4}}{a^{2}} =$
  1/(a^6)
  
  1/(a^4)*1/(a^2)
  
  ((1/(a^4))/(a^2))
  
  $a^{n} \cdot a^{- n} =$
  1
  
  a^(0)
  
  a^(n)*(1/(a^(n)))
  
  (a^(n)/(a^(n)))
  
  $\frac{a^{n} \cdot b^{4}}{a^{(n - 2)} \cdot b^{2}} =$
  (a*b)^2
  
  a^2*b^2
  
  a*a*b*b
  
  Kontrolle
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  Nach Definition $1$ und (P ′4) gilt hier: $\frac{a}{a^{- 3}} = a^{(1 - (- 3))} = a^{4}$
  
  Nach Definition $1$ und (P ′4) gilt hier: $\frac{a^{- 4}}{a^{2}} = a^{((- 4) - 2)} = a^{- 6} = \frac{1}{a^{6}}$
  
  Nach (P ′1) gilt hier: $a^{n} \cdot a^{- n} = a^{(n + (- n))} = a^{0} = 1$
  
  Nach (P ′2) und (P ′4) gilt hier: $\frac{a^{n} \cdot b^{4}}{a^{(n - 2)} \cdot b^{2}} = \frac{a^{n}}{a^{(n - 2)}} \cdot \frac{b^{4}}{b^{2}} = a^{(n - (n - 2))} \cdot b^{(4 - 2)} = a^{2} b^{2} = (ab)^{2}$
  
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  Aufgabe 36aufgabe_36
  Welches ist die höchste Zahl, die sich mittels korrekter Anordnung aus drei $2$ en bilden lässt?
  
  $222$     $22^{2}$     $2^{22}$     $22 \cdot 2$     $2 \cdot 2 \cdot 2$     ${(2^{2})}^{2}$     $2^{(2^{2})}$
  
  Kontrolle
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  Hier könnte man vermuten, dass es sich bei $22^{2} = 484$ um die größte der gegebenen Zahlen handelt, da die Basis der Potenz wesentlich größer als in den anderen Fällen ist. Die korrekte Lösung lautet jedoch $2^{22} = 4194304$ .
  
  Tatsächlich wäre sogar $2^{9} = 512$ bereits größer als $22^{2}$ .
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  Aufgabe 37aufgabe_37
  Welche $n$ lösen die folgenden Gleichungen?
  Dabei gelte $a \in ℝ$ , $a \neq 0$ und $n \in ℤ$ .
  
  Für ${(6^{2})}^{n} = 36$ gilt:
  
  $n =$
  1
  
  Für $(4 \cdot 2)^{4} = 64^{n}$ gilt:
  
  $n =$
  2
  
  Für ${(a^{5 m})}^{n} = a^{10 m}$ gilt:
  
  $n =$
  2
  
  Für $a^{4} \cdot a^{n} = 1$ gilt:
  
  $n =$
  (-4)
  
  Kontrolle
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  $36 = 6^{2} = {(6^{2})}^{1}$
  Somit gilt hier $n = 1$
  
  $(4 \cdot 2)^{4} = 8^{4} = {(8^{2})}^{2} = 64^{2}$
  Somit gilt hier $n = 2$
  
  $a^{10 m} = a^{(2 \cdot 5 m)} = {(a^{5 m})}^{2}$
  Somit gilt hier $n = 2$
  
  $1 = a^{0} = a^{(4 + (- 4))} = a^{4} \cdot a^{(- 4)}$
  Somit gilt hier $n = (- 4)$
  
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  Aufgabe 38aufgabe_38
  Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich:
  
  ${(\frac{1}{2})}^{(- 3)} \cdot 8^{5} \cdot 64^{(- 3)} =$
  1
  
  ${(11^{5})}^{(- 2)} \cdot 11^{8} \cdot \frac{1}{11^{- 3}} =$
  11
  
  Kontrolle
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  ${(\frac{1}{2})}^{(- 3)} \cdot 8^{5} \cdot 64^{(- 3)} = \frac{1^{(- 3)}}{2^{(- 3)}} \cdot 8^{5} \cdot {(8^{2})}^{(- 3)} = \frac{\frac{1}{1^{3}}}{\frac{1}{2^{3}}} \cdot 8^{5} \cdot 8^{(- 6)} = 8 \cdot 8^{5} \cdot 8^{(- 6)} = 8^{(1 + 5 + (- 6))} = 8^{0} = 1$
  
  ${(11^{5})}^{(- 2)} \cdot 11^{8} \cdot \frac{1}{11^{(- 3)}} = 11^{(- 10)} \cdot 11^{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{11^{3}}} = 11^{(- 10)} \cdot 11^{8} \cdot 11^{3} = 11^{((- 10) + 8 + 3)} = 11^{1} = 11$
  
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  Aufgabe 39aufgabe_39
  Welche $n$ lösen die folgenden Gleichungen?
  Dabei gelte $n \in ℤ$ .
  
  Für $125^{3} = 5^{n}$ gilt:
  
  $n =$
  6
  
  Für $32^{5} = 2^{n}$ gilt:
  
  $n =$
  25
  
  Für $3^{8} = 9^{n}$ gilt:
  
  $n =$
  4
  
  Für $8^{9} \cdot 16^{3} = 2^{n}$ gilt:
  
  $n =$
  39
  
  Kontrolle
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  Der Trick bei diesen Aufgaben besteht darin, zu erkennen, dass eine der Basen eine Potenz der anderen Basis ist.
  Ein Beispiel hierfür ist in Aufgabenteil a): $125 = 5^{3}$
  
  $125^{3} = {(5^{3})}^{3} = 5^{6}$
  Somit gilt hier $n = 6$
  
  $32^{5} = {(2^{5})}^{5} = 2^{25}$
  Somit gilt hier $n = 25$
  
  $3^{8} = {(3^{2})}^{4} = 9^{4}$
  Somit gilt hier $n = 4$
  
  $8^{9} \cdot 16^{3} = {(2^{3})}^{9} \cdot {(2^{4})}^{3} = 2^{27} \cdot 2^{12} = 2^{(27 + 12)} = 2^{39}$
  Somit gilt hier $n = 39$
  
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  Aufgabe 40aufgabe_40
  Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich:
  
  $\frac{a^{(4^{2})} \cdot {(a^{7})}^{(- 2)} \cdot b^{(- 5)}}{b^{(- 3)} \cdot \frac{1}{b^{4}}} =$
  
  (a*b)^2
  
  a^2*b^2
  
  Kontrolle
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  $\frac{a^{(4^{2})} \cdot {(a^{7})}^{(- 2)} \cdot b^{(- 5)}}{b^{(- 3)} \cdot \frac{1}{b^{4}}} = \frac{a^{16} \cdot a^{- 14} \cdot b^{- 5}}{b^{- 3} \cdot b^{- 4}} = \frac{a^{(16 - 14)} b^{- 5}}{b^{((- 3) + (- 4))}}$
  
  $= a^{2} \cdot \frac{b^{(- 5)}}{b^{(- 7)}} = a^{2} \cdot b^{(- 5) - (- 7)} = a^{2} b^{2} = (ab)^{2}$
  
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Aufgaben