Topic: Inhalte mit Erklärungen | Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_pwl_potenzen_
  
  Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
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  bereich_3
  
  Definition 1: Einführung von Potenzen definition_1
  Sei $a \in ℝ$ und $n \in ℕ$ . Man definiert
  
  $a^{n} : = \underset{n - mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}$
  Wir nennen $a^{n}$ eine Potenz. Dabei heißt $a$ Basis und $n$ ist der Exponent (der Potenz).
  Insbesondere gilt $a^{1} = a$ und wir setzen $a^{0} : = 1$ .
  
  Für $a \neq 0$
  $a^{- n} : = \frac{1}{a^{n}}$
  Insbesondere gilt $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ .
  
  Video 2video_2
  
  In diesem Video wird Ihnen die obige Definition von Potenzen ausführlich erläutert.
  
  Wir formulieren die Potenzgesetze für beliebige ganzzahlige Exponenten wie folgt:
  
  Satz 1: Potenzgesetze (für ganzzahlige Exponenten)satz_1
  Für alle $a, b \in ℝ$ , $a, b \neq 0$ und $m, n \in ℤ$ gelten folgende Rechenregeln:
  $\begin{matrix} a^{m} \cdot a^{n} & = & a^{m + n} (P′1) \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} & = & a^{m - n} (P′2) \\ {(a^{m})}^{n} & = & a^{m \cdot n} (P′3) \\ a^{n} \cdot b^{n} & = & (a \cdot b)^{n} (P′4) \\ \frac{a^{n}}{b^{n}} & = & {(\frac{a}{b})}^{n} (P′5) \end{matrix}$
  
  Video 3video_3
  
  In diesem Video begründen wir, warum das Potenzgesetz (P′1) gilt.
  
  Aufgabe 2aufgabe_2
  Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Potenzgesetzes (P′1).
  
  Video 4video_4
  
  Video 5video_5
  
  In diesem Video begründen wir, warum das Potenzgesetz (P′2) gilt.
  
  Aufgabe 3aufgabe_3
  Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Potenzgesetzes (P′2).
  
  Video 6video_6
  
  Video 7video_7
  
  In diesem Video begründen wir, warum das Potenzgesetz (P′3) gilt.
  
  Aufgabe 4aufgabe_4
  Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Potenzgesetzes (P′3).
  
  Video 8video_8
  
  Video 9video_9
  
  In diesem Video begründen wir, warum das Potenzgesetz (P′4) gilt.
  
  Aufgabe 5aufgabe_5
  Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Potenzgesetzes (P′4).
  
  Video 10video_10
  
  Video 11video_11
  
  In diesem Video begründen wir, warum das Potenzgesetz (P′5) gilt.
  
  Aufgabe 6aufgabe_6
  Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Potenzgesetzes (P′5).
  
  Video 12video_12
  
  Bemerkung: Bei Umformungen sind beide Richtungen der Regeln wichtig, also z.B. auch $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ .
  
  Klicken Sie hier, um den Beweis der Potenzgesetze anzuzeigen.
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  Wir zeigen nun, wie die Potenzgesetze schrittweise bewiesen werden können. Auf den Fall ausschließlich natürlicher Exponenten gehen wir ausführlich ein. Für ganzzahlige Exponenten werden wir exemplarisch das erste Potenzgesetz (P′1) beweisen.
  Es sei für den gesamten Beweis $a \in ℝ$ mit $a \neq 0$ .
  
  Zunächst möchten wir die Potenzgesetze für jene Potenzen beweisen, bei denen nur natürliche Zahlen im Exponenten auftauchen. Seien $m, n \in ℕ$ . Dann gilt
  
  (P′1):
  $a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m - mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} \cdot \underset{n - mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}$
  $= \underset{(m + n) - mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} = a^{m + n}$
  
  (P′2):
  $ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m\text{-mal}}}{\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{ n\text{-mal}}}$
  Wenn $m \geq n$ ist, dann folgt mit Kürzen $ \frac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m\text{-mal}}}{\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{ n\text{-mal}}} = \underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{(m-n)\text{-mal}}=a^{m-n}\,.$
  Im anderen Fall ist $m < n$ und es ergibt sich $ \frac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m\text{-mal}}}{\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{ n\text{-mal}}} = \frac{1}{\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{(n-m)\text{-mal}}}=\frac{1}{a^{n-m}}= \frac{1}{a^{-(m-n)}}=a^{m-n}\,.$
  
  (P′3):
  ${(a^{m})}^{n} = \underset{n - mal}{\underset{⏟}{a^{m} \cdot \dots \cdot a^{m}}} = \underset{m \cdot n - mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} = a^{m \cdot n}$
  
  $ℤ$ : Die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten erhält man aus $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ und einer Reihe von Fallunterscheidungen. Es gilt exemplarisch für das erste Potenzgesetz $(m, n \in ℤ)$
  
  I: Es gelte $m = 0$ oder $n = 0$ . Dann folgt
  
  Sei $m = 0$ .
  $a^{m} \cdot a^{n} = a^{0} \cdot a^{n} = 1 \cdot a^{n} = a^{n}$
  $= a^{0 + n} = a^{m + n}$
  
  Sei $n = 0$ .
  $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m} \cdot a^{0} = a^{m} \cdot 1 = a^{m}$
  $= a^{m + 0} = a^{m + n}$
  
  II: $m, n \in ℕ$ : siehe $1$ .
  
  III: $m \in ℕ, n \in ℤ, n < 0$
  $a^m \cdot a^n = a^m \cdot a^{ - ( - n)} \overset{*}{=} a^m \cdot \frac{1}{a^{ - n}} = \frac{a^m}{a^{ - n}} $ $ \quad = \frac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m\text{-mal}}}{\underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{ (-n)\text{-mal}}}$
  * Da $(- n) \in ℕ$ gilt, kann die Definition für negative Exponenten angewendet werden.
  Gilt $m > - n$ , dann folgt mit Kürzen $\frac{\overset{m -mal}{\overset{⏞}{a \cdot \dots \cdot a}}}{\underset{(- n) -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}} = \underset{m - (- n) -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} = \underset{m + n -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} = a^{m + n}$ .
  Andernfalls ist $m \leq - n$ und es ergibt sich $\frac{\overset{m -mal}{\overset{⏞}{a \cdot \dots \cdot a}}}{\underset{(- n) -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}} = \frac{1}{\underset{(- n - m) -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}} = \frac{1}{\underset{- (m + n) -mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}} = a^{m + n}$ .
  In beiden Fällen kommt man also auf $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
  
  IV: $m \in ℤ, m < 0, n \in ℕ$ : analog zu III.
  
  V: $m, n \in ℤ, m, n < 0$ : analog zu II.
  
  Die Rechengesetze (P′4) und (P′5) folgen aus der Definition der Potenz sowie dem Gesetz (P′3). Die ausformulierten Beweise finden Sie in den Lösungen der nachfolgenden Aufgaben. Vielleicht gelingt Ihnen der Beweis aber auch selbst!
  
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  Aufgabe 7aufgabe_7
  
  Beweisen Sie das Potenzgesetz (P′4):
  
  Für alle $a, b \in ℝ$ , $a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ gilt:
  $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$
  
  Tipp: Machen Sie eine Fallunterscheidung für $n > 0$ , $n = 0$ und $n < 0$ .
  Lösung anzeigen
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  Wir beweisen das Potenzgesetz (P′4), indem wir die Aussage zunächst für $n \in ℕ$ zeigen und anschließend die Fälle $n = 0$ und $n < 0$ betrachten.
  
  $1$ . Fall: $n \in ℤ$ mit $n > 0$
  $ a^n\cdot b^n = \underbrace{a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-mal}} \cdot \underbrace{b\cdot \ldots \cdot b}_{n\text{-mal}}$ $ = \underbrace{(a\cdot b) \cdot \ldots \cdot (a\cdot b)}_{n\text{-mal}} = (a\cdot b)^n $
  
  $2$ . Fall: $n = 0$
  \[ a^n\cdot b^n = a^0 \cdot b^0 = 1\cdot 1 = 1 = (a\cdot b)^0=(a\cdot b)^n \]
  
  $3$ . Fall: $n \in ℤ$ mit $n < 0$
  \[ a^n\cdot b^n = a^{-(-n)}\cdot b^{-(-n)} \overset{\text{Def.}}{=} \frac{1}{a^{-n}}\cdot\frac{1}{b^{-n}} = \frac{1}{a^{-n}\cdot b^{-n}} \] Der Nenner des Bruchs ist das Produkt $a^{- n} \cdot b^{- n}$ , das aus zwei Potenzen mit positivem Exponenten besteht ( $n$ ist negativ, also ist $- n$ positiv). Daher können wir das im $1$ . Fall bewiesene Gesetz (P′4) für positive Exponenten anwenden und es gilt $a^{- n} \cdot b^{- n} = (a \cdot b)^{- n}$ .
  \[ \frac{1}{a^{-n}\cdot b^{-n}} = \frac{1}{(a\cdot b)^{-n}} \overset{\text{Def.}}{=} (a\cdot b)^n \]
  
  Demnach gilt (P′4).
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  Aufgabe 8aufgabe_8
  
  Beweisen Sie das Potenzgesetz (P′5):
  
  Für alle $a, b \in ℝ$ , $a, b \neq 0$ und $n \in ℤ$ gilt:
  $\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$
  
  Tipp: Machen Sie eine Fallunterscheidung für $n > 0$ , $n = 0$ und $n < 0$ .
  Lösung anzeigen
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  $1$ . Fall: $n \in ℤ$ mit $n > 0$
  \[ \frac{a^n}{b^n} = \frac{\overbrace{a\cdot \ldots \cdot a}^{n\text{-mal}}}{\underbrace{b\cdot \ldots \cdot b}_{n\text{-mal}}} = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n\text{-mal}} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]
  
  $2$ . Fall: $n = 0$
  \[ \frac{a^n}{b^n}=\frac{a^0}{b^0}=\frac{1}{1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^0 = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]
  
  $3$ . Fall: $n \in ℤ$ mit $n < 0$
  \[ \frac{a^n}{b^n}=a^n\cdot \frac{1}{b^{n}}=a^{-(-n)}\cdot \frac{1}{b^{n}} \overset{\text{Def.}}{=} \frac{1}{a^{-n}}\cdot b^{-n} = \frac{b^{-n}}{a^{-n}} \] Der Zähler und Nenner des Bruchs sind jeweils eine Potenz mit positivem Exponenten ( $n$ ist negativ, also ist $- n$ positiv). Daher können wir das im $1$ . Fall bewiesene Gesetz (P′5) für positive Exponenten anwenden und es gilt $\frac{b^{- n}}{a^{- n}} = {(\frac{b}{a})}^{- n}$ .
  \[ \frac{b^{-n}}{a^{-n}} = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{-1\cdot n}\overset{\text{(P′3)}}{=} \left(\left(\frac{b}{a}\right)^{-1}\right)^n \overset{\text{Def.}}{=} \left(\frac{a}{b}\right)^n \]
  
  Also gilt (P′5).
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