Topic: Anwendung | Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_pwl_potenzen_
  
  Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
  
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  bereich_5
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Wie kann ich Terme mit Potenzen vereinfachen?
  Wir wenden nun die Definitionen und Gesetze von Potenzen an einigen Beispielen an. Folgende Ausdrücke werden wir berechnen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.
  
  $3^{12} \cdot 3^{(- 9)}$
  Mit (P′1) erhalten wir $3^{12} \cdot 3^{(- 9)} = 3^{12 + (- 9)} = 3^{12 - 9} = 3^{3} = 27$ .
  
  $\frac{5^{9}}{5^{6}}$
  Mit (P′2) erhalten wir $\frac{5^{9}}{5^{6}} = 5^{9 - 6} = 5^{3} = 125$ .
  
  ${(3^{2})}^{2}$
  Aus (P′3) resultiert ${(3^{2})}^{2} = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4} = 81$ .
  
  $8^{5} \cdot {(\frac{1}{4})}^{5}$
  Mit (P′4) ergibt sich $8^{5} \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} = (8 \cdot \frac{1}{4})^{5} = 2^{5} = 32$ .
  
  $\frac{14^{4}}{7^{4}}$
  Aus (P′5) resultiert $\frac{14^{4}}{7^{4}} = {(\frac{14}{7})}^{4} = 2^{4} = 16$ .
  
  Beispiel 2beispiel_2
  Wie löse ich Gleichungen mit Potenzen?
  Anhand einiger Beispiele werden wir nun sehen, wie die erlernten Definitionen und Gesetze angewendet werden können, um Gleichungen zu lösen.
  Sei $n \in ℤ$ .
  
  $\frac{1}{2} \cdot 4^{n} = 8$
  Durch Multiplikation der Gleichung $\frac{1}{2} \cdot 4^{n} = 8$ mit $2$ erhalten wir $4^{n} = 16$ . Die Lösung ist somit $n = 2$ .
  
  $2^{n} = 4^{n}$
  Teilen wir die Gleichung $2^{n} = 4^{n}$ durch $2^{n}$ und wenden (P′5) an , so ergibt sich $1 = \frac{4^{n}}{2^{n}} = {(\frac{4}{2})}^{n} = 2^{n}$ und damit $n = 0$ .
  
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