Abschnitt: Inhalte kompakt | Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten

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  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten
  
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  Definition 1definition_1
  Sei $a \in ℝ, a \geq 0$ . Wir bezeichnen die Zahl $b \in ℝ$ , welche größer oder gleich Null ist und deren Quadrat $a$ ist, mit $\sqrt{a}$ (Quadratwurzel aus $a$ ):
  
  $b = \sqrt{a} : ⟺ b^{2} = a (a, b \geq 0) .$
  In der Menge der reellen Zahlen existiert eine solche Quadratwurzel $b$ zu jeder reellen Zahl $a \geq 0$ .
  
  Der Term unter dem Wurzelzeichen wird auch Radikand genannt. Für bspw. $\sqrt{a}$ bezeichnen wir $a$ als den Radikanden.
  
  Satz 1satz_1
  Folgende Gleichungen gelten für Quadratwurzeln ( $a, b \in ℝ$ ):
  
  $\begin{matrix} \sqrt{a b} & = & \sqrt{a} \sqrt{b}, a, b \geq 0 (W1), \\ \sqrt{\frac{a}{b}} & = & \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a \geq 0, b > 0 (W2) . \end{matrix}$
  Achtung - es gilt im Allgemeinen nicht: $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Dies wird zum Beispiel deutlich, wenn wir $a = 1$ und $b = 1$ wählen. Denn es gilt $\sqrt{2} = \sqrt{1 + 1} \neq \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$ .
  
  Definition 2definition_2
  Sei $n \in ℕ$ und sei $a \in ℝ, a \geq 0$ eine reelle Zahl. Wir bezeichnen die Zahl $b \in ℝ$ , welche größer oder gleich Null ist und deren $n$ -te Potenz $a$ ergibt, mit $\sqrt[n]{a}$ :
  
  $b = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow b^{n} = a (a, b \geq 0) .$
  Sprechweise: $n$ -te Wurzel aus $a$ .
  Wie bei den Quadratwurzeln existieren auch $n$ -te Wurzeln in der Menge der reellen Zahlen zu jeder reellen Zahl $a \geq 0$ . Das kann man mathematisch beweisen.
  
  Satz 2satz_2
  Sei $n \in ℕ$ und seien $a, b \in ℝ$ . Wie bei den Quadratwurzeln gilt:
  $\begin{matrix} \sqrt[n]{a b} & = & \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, a, b \geq 0 {(W}_{n} 1), \\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} & = & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, a \geq 0, b > 0 {(W}_{n} 2) . \end{matrix}$
  
  Definition 3definition_3
  Wir schreiben Wurzeln auch als Potenzen ( $a \in ℝ, a \geq 0$ ):
  $\begin{matrix} a^{\frac{1}{2}} & : = & \sqrt{a} = \sqrt[2]{a}, \\ a^{\frac{1}{n}} & : = & \sqrt[n]{a} mit n \in ℕ . \end{matrix}$
  
  Definition 4: Potenzen mit Brüchen als Exponenten definition_4
  Für $a \in ℝ$ , $a \geq 0$ , $n \in ℕ$ und $m \in ℕ_{0}$ definieren wir
  
  $a^{\frac{m}{n}} : = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} .$
  
  Definition 5: Potenzen mit rationalen Exponenten definition_5
  Sei $a \in ℝ, a > 0$ und $r \in ℚ$ .
  Fall 1: $r \geq 0$ , dann existiert $m \in ℕ_{0}$ , $n \in ℕ$ mit $r = \frac{m}{n}$ :
  $a^{r} : = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
  
  Fall 2: $r < 0$ , dann existiert $m \in ℕ_{0}$ , $n \in ℕ$ mit $r = - \frac{m}{n}$ :
  $a^{r} : = a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$
  
  Satz 3: Potenzgesetze für rationale Exponentensatz_3
  Für alle $a, b \in ℝ$ mit $a, b > 0$ und $r, s \in ℚ$ gelten folgende Gleichungen:
  $\begin{matrix} a^{r} \cdot a^{s} & = & a^{r + s} (P1) \\ \frac{a^{r}}{a^{s}} & = & a^{r - s} (P2) \\ {(a^{r})}^{s} & = & a^{r \cdot s} (P3) \\ a^{r} \cdot b^{r} & = & (a \cdot b)^{r} (P4) \\ \frac{a^{r}}{b^{r}} & = & {(\frac{a}{b})}^{r} (P5) \end{matrix}$
  
  Info 1info_1
  Wir haben definiert, dass für $n \in ℕ$ und $a \in ℝ$ mit $a \geq 0$ gilt: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ . Bemerkenswerterweise passen die Regeln für Potenzrechnung und die hier eingeführten Regeln für die Wurzelrechnung widerspruchsfrei zusammen. Sie können beliebig zwischen der Wurzeldarstellung mit Wurzelzeichen und der Darstellung von Wurzeln als Potenzen wechseln. Die Darstellungsform beeinflusst nicht das Ergebnis Ihrer Berechnungen.
  
  Info 2: Potenzen mit irrationalen Exponenteninfo_2
  Sei $a \in ℝ, a > 0$ und sei $r$ eine irrationale Zahl ( $r \in ℝ \ ℚ$ ). Dann kann man eine eindeutige reelle Zahl $a^{r}$ theoretisch definieren.
  Näherungsweise kann man $a^{r}$ berechnen, indem man $a^{r_{n}}$ berechnet, wobei $r_{n}$ die nach $n$ Stellen abgebrochene Dezimalzahlbruchentwicklung von $r$ ist.
  
  Satz 4: Potenzgesetze für beliebige reelle Exponentensatz_4
  Für alle $a, b \in ℝ$ mit $a, b > 0$ und $r, s \in ℝ$ gelten folgende Gleichungen:
  $\begin{matrix} a^{r} \cdot a^{s} & = & a^{r + s} (P1) \\ \frac{a^{r}}{a^{s}} & = & a^{r - s} (P2) \\ {(a^{r})}^{s} & = & a^{r \cdot s} (P3) \\ a^{r} \cdot b^{r} & = & (a \cdot b)^{r} (P4) \\ \frac{a^{r}}{b^{r}} & = & {(\frac{a}{b})}^{r} (P5) \end{matrix}$
  
  Info 3info_3
  
  $a, b > 0$ ist eine wichtige Voraussetzung für Potenzen bei denen auch nicht ganzzahlige Exponenten zugelassen werden, da sonst $a^{r}$ bzw. $b^{r}$ nicht für alle $r \in ℝ$ definiert ist.
  
  Die Gleichungen ergeben stets zwei Rechenregeln. Man darf die linke Seite durch die rechte Seite ersetzen, man darf aber auch die rechte Seite stets durch die linke Seite ersetzen. Beides kann in praktischen Rechnungen hilfreich sein.
  
  Satz 5satz_5
  Für alle $a \in ℝ$ mit $a > 0$ und $r \in ℝ$ gilt: $a^{r} > 0$ .
  
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