Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten

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bereich_3 Quadratwurzeln und n-te Wurzeln
Wenn man nur positive Zahlen betrachtet, ist das Wurzelziehen die Umkehroperation des Quadrierens. Wir veranschaulichen diesen Zusammenhang für $a\in ℝ,a\ge 0$ wie folgt:
 
Bei negativen Zahlen ist das anders. Aus einer negativen Zahl kann man (in den reellen Zahlen) keine Wurzel ziehen. Wenn man eine negative Zahl quadriert und dann die Wurzel zieht, erhält man eine positive Zahl! Bemerkung: Es gilt $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$. Allgemeiner formuliert gilt für reelle Zahlen $a$, dass $\sqrt{a^2}=|a|$. Aus $a^2$ kann man immer eine Wurzel ziehen, da $a^2\ge 0$ gilt. Klicken Sie hier, um die Beweise der Gleichungen für Quadratwurzeln anzuzeigen
Wir werden hier nicht auf die numerische Bestimmung des Wertes von Wurzeln eingehen. Vorläufig verlassen wir uns dabei auf einen Rechner und nehmen die Ergebnisse einfach hin, z.B.:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sqrt{17}}& =\hfill & \mathrm{4,123105626}...\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\sqrt{91}}& =\hfill & \mathrm{9,539392014}...\hfill \end{array}}$
Die drei Punkte am Ende der Dezimalentwicklung deuten an, dass der Wert nicht dem exakten Wert der Wurzel entspricht und dieser mit weiteren Nachkommastellen noch präziser angenähert werden kann. In Taschenrechnern wird immer nur die nach einer bestimmten Anzahl von Stellen gerundete, näherungsweise Berechnung einer Wurzel angegeben. Die „meisten“  Quadratwurzeln sind keine rationalen Zahlen, d.h. sie können auch nicht durch abbrechende oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden. Das schauen wir uns genauer für das Beispiel $\sqrt{2}$ an. Beweis der Irrationalität von Wurzel $2$
Für die Wurzel aus $2$ erhalten wir etwa von einem Rechner die nachfolgende Entwicklung mit $20$ Nachkommastellen:

${\displaystyle \sqrt{2}=\mathrm{1,41421356237309504880}...}$
Wir überlegen, dass diese Entwicklung nicht abbrechen kann und nicht periodisch ist, also $\sqrt{2}$ nicht rational sein kann. Dies beweisen wir mit einem „indirekten Beweis“. Nehmen wir an, $\sqrt{2}$ sei eine rationale Zahl und damit wie folgt als Bruch darstellbar:

${\displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n},\mathrm{ }m,n\in \mathbb{N}\text{ mit }m,n\text{ teilerfremd.}}$
D.h. wir nehmen an, der Bruch $\frac{m}{n}$ ist vollständig gekürzt. Durch Quadrieren ergibt sich daraus:

${\displaystyle 2=\frac{m^2}{n^2}\mathrm{ }\iff \mathrm{ }{m}^2=2·n^2.}$
Folglich ist $2$ ein Teiler von $m^2$ und da die Zahl $2$ eine Primzahl ist, teilt $2$ auch $m$, d.h. es gilt $m=2·k$ mit $k\in \mathbb{N}$. Setzen wir $m=2·k$ in obige Gleichung ein, so erhalten wir

${\displaystyle m^2=(2·k{)}^2=4·k^2=2·n^2\mathrm{ }\Rightarrow \mathrm{ }2k^2=n^2.}$
Nun ist aber die Zahl $2$ auch ein Teiler von $n^2$ und somit ebenfalls ein Teiler von $n$. Zusammenfassend ergibt sich, dass $2$ ein Teiler von $m$ und ein Teiler von $n$ ist. Diese Tatsache steht aber im Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $m$ und $n$ teilerfremd sind. Somit gibt es keine Darstellung von $\sqrt{2}$ als rationale Zahl.  
Wir gehen von der Quadratwurzel aus und verallgemeinern. Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl $a$ ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. Die $n$-te Wurzel einer nicht negativen Zahl $a$ ist nun diejenige positive Zahl, deren $n$-te Potenz $a$ ergibt.
Im allgemeinen Fall verlassen wir uns bei der näherungsweisen numerischen Berechnung einer $n$-ten Wurzel wieder auf den Rechner. Wir geben als Beispiel zwei Zahlenwerte auf 20 Stellen genau an:
$\sqrt[3]{2}=\mathrm{1,25992104989487316477}\dots$
$\sqrt[5]{10}=\mathrm{1,58489319246111348520}\dots$
Klicken Sie hier, um die Beweise der Gleichungen für n-te Wurzeln anzuzeigen
Lösen Sie die Aufgaben aus dem unten folgenden Video mithilfe des Wurzelgesetzes für die Multiplikation von Quadratwurzeln und $n$-ten Wurzeln.
 


Bruchzahlen als Exponenten von Potenzen Schreibt man die $n$ - te Wurzel als Potenz, so lautet die Definitionsgleichung der Wurzel:

${\displaystyle {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a.}$
Zur Erinnerung - für ganzzahlige Exponenten $m$ und $n$ gilt die Regel:

${\displaystyle (a^n{)}^m=a^{nm}=(a^m{)}^n}$
Wenden wir diese Formel einmal auf $(a^{\frac{1}{n}}{)}^n$ an, folgt $(a^{\frac{1}{n}}{)}^n=a^{\frac{1}{n}·n}=a^1=a$, also das richtige Ergebnis. Wir werden gleich sehen, dass dies kein Zufall ist und die Potenzgesetze auch gelten werden, wenn man Stammbrüche oder allgemeine Brüche als Exponenten zulässt. Als Nächstes erheben wir $n$-te Wurzeln in andere Potenzen. Für $a\ge 0,m\in \mathbb{N}{}_0$ und $n\in \mathbb{N}$ folgt mit den Rechenregeln für Wurzeln:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m}& =\hfill & \underset{m-\text{mal}}{\underbrace{\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{a}·\dots ·\sqrt[n]{a}}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt[n]{ \underset{m-\mathrm{mal}}{\underbrace{a·a·\dots ·a}}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt[n]{a^m}.\hfill \end{array}}$
Hieraus entnehmen wir:

${\displaystyle {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}.}$
Die Terme ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$ und ${\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}$ sind jeweils Potenzen einer Potenz. Dies erinnert an das Potenzgesetz (P′3): ${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$ für $m,n\in \mathbb{Z}$. Wenn dies auch für rationale Exponenten gelten soll, so muss gelten ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{1}{n}·m}=a^{\frac{m}{n}}$ und ${\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}=a^{m·\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}$. Somit liegt nahe, für $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{N}{}_0$ zu definieren
${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m.}$
Wir haben nun z.B. festgelegt, was $2^{\frac{3}{4}}$ und $2^{\frac{6}{8}}$ bedeutet. Es gilt natürlich $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, aber ergibt unsere Definition auch, dass $2^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{6}{8}}$ gilt?
Dazu setzen wir $2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{2^3}=:a$ und zeigen, dass $2^{\frac{6}{8}}=\sqrt[8]{2^6}$ ebenfalls gleich $a$ ist.
Es gilt $a=\sqrt[4]{2^3}\iff a^4=2^3$
und damit folgt $a^8=a^4·a^4=2^3·2^3=2^6$.
Damit erhalten wir $a^8=2^6\iff a=\sqrt[8]{2^6}$, also ist $\sqrt[4]{2^3}=a=\sqrt[8]{2^6}$ und damit gilt $2^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{6}{8}}$.
Für $q\in \mathbb{Q}$, $q>0$ kann $a^q=a^{\frac{m}{n}}$ mit $m\in \mathbb{N}{}_0, n\in \mathbb{N}$ berechnet werden, wobei immer dasselbe heraus kommt, wenn nur $\frac{m}{n}=q$ ist.
Für negative Exponenten liegt nahe, $a^{-\frac{m}{n}}:=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ zu definieren. Wir erhalten dann die folgende Definition. Bemerkung: Wir haben oben am Beispiel begründet, warum die Definition für alle Brüche $\frac{m}{n}$, die $r$ darstellen, dasselbe Ergebnis liefert.
Darauf aufbauend können wir nun die Potenzgesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten formulieren. Klicken Sie hier, um den Beweis der Potenzgesetze anzuzeigen. Potenzen mit irrationalen Exponenten
Wir haben schrittweise Potenzen $a^r$ für $r\in \mathbb{N}, r\in \mathbb{Z}$ und $r\in \mathbb{Q}$ eingeführt und festgestellt, dass die Potenzgesetze immer weiter gelten. Nun stellt sich die Frage, ob wir auch für reelle, nicht rationale Exponenten eine Potenz definieren können. Welche Zahl könnte z.B. $2^{\sqrt{3}}$ darstellen? Die Idee ist, $\sqrt{3}$ durch eine Folge von rationalen Zahlen $r_n$ beliebig genau zu approximieren und $2^{r_n}$ als beliebig genaue Näherungen für $2^{\sqrt{3}}$ zu nehmen.
Die theoretische Existenz der Zahl $2^{\sqrt{3}}$ kann man durch Intervallschachtelungen sichern. Wir definieren zunächst über das Intervallhalbierungsverfahren eine Intervallschachtelung für $\sqrt{3}$.
Wenn man auch für den Moment annimmt, $2^{\sqrt{3}}$ würde als Zahl existieren und die üblichen Abschätzungen für Potenzen würden gelten, dann könnte man wie folgt argumentieren:
 
Das Intervallhalbierungsverfahren zur Bestimmung von Potenzen mit reellem Exponenten
 
Das Intervall $[\mathrm{1,2}]$ wird halbiert und die Mitte (in diesem Fall also $\mathrm{1,5}$) wird quadriert und mit der Zahl $3$ verglichen. Ist $3$ größer als das Quadrat der Mitte, so befindet sich die Zahl $\sqrt{3}$ im rechten Teilintervall $[1.\mathrm{5,2}]$, andernfalls im linken Teilintervall $[\mathrm{1,1}.5]$. Da ${\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{2,25}$ ist, liegt $\sqrt{3}$ im Intervall $[1.\mathrm{5,2}]$ und somit $2^{\sqrt{3}}$ im Intervall $[2^{\mathrm{1,5}},2^2]$. So fortfahrend erhält man folgende Tabelle und somit durch die Intervallgrenzen Näherungswerte für $2^{\sqrt{3}}$.
Mit jedem weiteren Schritt verkleinert sich das Intervall, in welchem $2^{\sqrt{3}}$ nach unserer Berechnung liegen könnte. Diese Überlegung ist auch Basis für einen Existenznachweis. Dazu muss man allerdings zeigen, dass die Intervalle in der rechten Spalte der Tabelle beliebig schmal werden. Dann gibt es genau eine reelle Zahl, die in all diesen Intervallen enthalten ist. Diese Zahl nennen wir dann $2^{\sqrt{3}}$.

Klicken Sie hier, um die Beweisidee zu den Potenzgesetzen für Potenzen mit reellen Exponenten anzuzeigen