Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten

Hinführung

bereich_2 Vorgegeben ist eine Zahl $y\ge 0$. Welche Zahl $x\ge 0$ hat die Eigenschaft $y=x^2$? Wenn es eine solche Zahl $x$ gibt, nennen wir sie die Quadratwurzel oder Wurzel von $y$. Diese Quadratwurzel $x$ ist einfach zu finden, wenn $y$ das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Hierbei wurde die Wurzel als eine positive Zahl definiert. Welchen Wert hat $x$ in folgenden Fällen? Es gibt auch kompliziertere Fälle, wenn $y$ keine Quadratzahl ist. Welchen Wert hat $x$ beispielsweise, wenn $x^2=2$ ist? Schon die alten Griechen stellten fest, dass es keinen Bruch $\frac{p}{q}$ mit $p,q\in \mathbb{N}$ gibt, der die Forderung ${\left(\frac{p}{q}\right)}^2=2$ erfüllt. Die Quadratwurzel aus $2$ ist daher keine rationale Zahl. $\sqrt{2}$ kann man aber als geometrische Größe konstruieren, z.B. als Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge $1$. Dies war eines der Motive, um den Zahlbereich der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) um die irrationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen ($ℝ$) zu erweitern. Reelle Zahlen können wir uns als Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Sie können durch einen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden. Man kann die Quadratwurzel aus $2$ also als Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen auffassen, das heißt, es gibt eine reelle Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^2=2$. Dies ist nicht nur für $x^2=2$ der Fall, sondern man kann beweisen, dass es für jede beliebige reelle Zahl $x\ge 0$ eine reelle Quadratwurzel gibt. Gibt man $\sqrt{2}$ in den Taschenrechner ein, so erhält man (je nachdem, wie viele Nachkommastellen der Taschenrechner anzeigt) zum Beispiel: $x=\mathrm{1,41421356237309}$. Dies ist allerdings nicht die exakte Zahl, da die exakte Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen. Der Taschenrechner kann daher nur eine Näherung anzeigen. Man kann sich dem Wert der Quadratwurzel von $2$ auch mithilfe einer Graphik nähern: Folgender Graph stellt die Funktion $f:D\to ℝ,\mathrm{ }x\mapsto f(x)$ mit Funktionsvorschrift $f(x)=x^2$ dar. Man kann nun versuchen, aus diesem Graphen den zu $f(x)=2$ zugehörigen $x$-Wert möglichst genau abzulesen. Um die Genauigkeit zu erhöhen, kann man noch weiter hineinzoomen: Hier wird der relevante Teil der Funktion noch einmal vergrößert in einem Inset dargestellt. Wenn man immer weiter heranzoomt, kann man den Wert von $\sqrt{2}$ immer genauer annähern. Der Computer wertet die Funktionsvorschrift natürlich nur für rationale Zahlen aus. Man kann Quadratwurzeln wie $\sqrt{2}$ auch mit aufwändigen Verfahren rechnerisch auf beliebig viele Stellen genau angeben, das ist aber nicht das Ziel dieses Kurses. Um den Wert derartiger Quadratwurzeln näherungsweise zu bestimmen, dürfen Sie daher im Folgenden den Taschenrechner benutzen. An der Graphik fällt Ihnen möglicherweise noch ein weiterer Punkt auf:
Zu jedem Wert von $y>0$ gibt es zwei verschiedene $x$-Werte mit $x^2=y$. Es wurde festgelegt, dass für $x>0$ die Schreibweise $\sqrt{x}$ immer den positiven Wert bezeichnet. Meint man den negativen Wert, schreibt man $-\sqrt{x}$.