Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten

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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sqrt{32}}& =\hfill & \sqrt{16·2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt{16}·\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 4\sqrt{2}\hfill \end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sqrt{32+64}}& =\hfill & \sqrt{32·(1+2)}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt{32·3}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt{32}·\sqrt{3}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 4\sqrt{2}\sqrt{3}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 4\sqrt{6}\hfill \end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{72}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt{25·2}-\sqrt{4·2}+\sqrt{36·2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sqrt{25}·\sqrt{2}-\sqrt{4}·\sqrt{2}+\sqrt{36}·\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (5-2+6)·\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 9\sqrt{2}\hfill \end{array}}$

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Wir gehen von der korrekten Gleichung $4-10=9-15$ aus. Im ersten Folgerungsschritt wird auf beiden Seiten der Gleichung $\frac{25}{4}$ addiert. Als Nächstes werden die Zahlen umgeformt, um sie in der dritten Folgerung mithilfe der zweiten binomischen Formel zusammenzufassen. Wir erhalten:

${\displaystyle {(2-\frac{5}{2})}^2={(3-\frac{5}{2})}^2}$
Im nächsten Schritt wurden durch Wurzelziehen die Quadrate entfernt. Dies geht jedoch nicht so bedenkenlos wie hier geschehen. Formen wir die letzte Gleichung zur Verdeutlichung ein wenig anders um:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{(2-\frac{5}{2})}^2}& =\hfill & {(3-\frac{5}{2})}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \Updownarrow \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{{(-\frac{1}{2})}^2}& =\hfill & {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\hfill \end{array}}$
Die letzte Gleichung ist richtig, da das Quadrat von $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ jeweils $\frac{1}{4}$ ergibt. Würden wir, wie in der Aufgabe geschehen, das Wurzelziehen nur als Wegfall der Quadrate betrachten, ergäbe sich die falsche Aussage

${\displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\hspace{0.5em}.}$
Es gilt jedoch für alle reellen Zahlen $a$:

${\displaystyle \sqrt{a^2}=\left|a\right|\hspace{0.5em}.}$
Demnach wäre nach der Gleichung ${(2-\frac{5}{2})}^2={(3-\frac{5}{2})}^2$ wie folgt weiterzurechnen:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{(2-\frac{5}{2})}^2}& =\hfill & {(3-\frac{5}{2})}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \Updownarrow \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{|2-\frac{5}{2}|}& =\hfill & |3-\frac{5}{2}|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \Updownarrow \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{|-\frac{1}{2}|}& =\hfill & \left|\frac{1}{2}\right|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \Updownarrow \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\frac{1}{2}}& =\hfill & \frac{1}{2}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
So erhalten wir keine falsche Aussage.
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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}& =\hfill & \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5(\sqrt{3}+\sqrt{2})\hfill \end{array}}$

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$x=-\sqrt[3]{27}=-3$ ist keine Lösung der Gleichung $x^3=27$, denn $(-3{)}^3=-27\ne 27\hspace{0.5em}.$
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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sqrt{64a^2}}& =\hfill & \sqrt{64}·\sqrt{a^2}=8\hspace{0.5em}|a|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\sqrt{a^4}}& =\hfill & \sqrt{{\left(a^2\right)}^2}=\left|a^2\right|=a^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\sqrt{a^6+a^4{b}^2}}& =\hfill & \sqrt{a^4(a^2+b^2)}=\sqrt{a^4}\sqrt{a^2+b^2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2\sqrt{a^2+b^2}\hfill \end{array}}$

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Es fehlt die zweite Lösung $x=-\sqrt[4]{16}=-2$, denn $(-2{)}^4=16\hspace{0.5em}.$
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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sqrt[4]{\sqrt{256}}}& =\hfill & \sqrt[4]{\sqrt{{16}^2}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \text{oder}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\sqrt[4]{\sqrt{256}}}& =\hfill & \sqrt[4]{\sqrt[2]{256}}={((256{)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}={256}^{\frac{1}{8}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & {\left(2^8\right)}^{\frac{1}{8}}=2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \text{oder}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\sqrt[4]{\sqrt{256}}}& =\hfill & \sqrt[4]{\sqrt[2]{256}}=\sqrt[8]{256}=\sqrt[8]{2^8}=2\hfill \end{array}}$

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$\sqrt{1+99}=\sqrt{100}=10\ne \mathrm{10,94987}\approx \sqrt{1}+\sqrt{99}$
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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 6·{3125}^{\frac{1}{5}}-3·{216}^{\frac{1}{3}}-4·{243}^{\frac{1}{5}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 6·{\left(5^5\right)}^{\frac{1}{5}}-3·{\left(6^3\right)}^{\frac{1}{3}}-4·{\left(3^5\right)}^{\frac{1}{5}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 6·5-3·6-4·3=30-18-12=0\hfill \end{array}}$

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${\displaystyle \frac{a}{\sqrt[3]{a}}=\frac{a}{a^{\frac{1}{3}}}=a·a^{-\frac{1}{3}}=a^{1-\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}}$

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$\sqrt{a^3}=(a^3{)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}\ne a^{\frac{2}{3}}, a\in ℝ, a\ge 0$
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Hier wurde die Definition von Potenzen missachtet und die beiden Spezialfälle vertauscht. Laut Definition ist nämlich $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ während andererseits $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$. Aus letzterem kommen wir schließlich auf die richtige Lösung: $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\hspace{0.5em}.$
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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{\hspace{0.5em}\sqrt{a^2{a}^{\frac{5}{8}}\sqrt[3]{a}}\hspace{0.5em}}{\sqrt[3]{a^{-2}{a}^{\frac{8}{5}}}}}& =\hfill & \frac{\sqrt{a^2{a}^{\frac{5}{8}}{a}^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{a^{-2}{a}^{\frac{8}{5}}}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{\sqrt{a^{2+\frac{5}{8}+\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{a^{-2+\frac{8}{5}}}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{\sqrt{a^{\frac{2·24+3·5+1·8}{24}}}}{\sqrt[3]{a^{\frac{5·(-2)+8}{5}}}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{\sqrt{a^{\frac{71}{24}}}}{\sqrt[3]{a^{-\frac{2}{5}}}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{{\left(a^{\frac{71}{24}}\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left(a^{-\frac{2}{5}}\right)}^{\frac{1}{3}}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{a^{\frac{71}{48}}}{a^{-\frac{2}{15}}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^{\frac{71}{48}}·a^{\frac{2}{15}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}{a}^{\frac{71}{48}+\frac{2}{15}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^{\frac{5·71+2·16}{240}}=a^{\frac{387}{240}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^{\frac{129}{80}}\hfill \end{array}}$

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Für die erste Gleichung erhalten wir
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{x^5+\frac{1024}{243}}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^5}& =\hfill & -\frac{1024}{243}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x}& =\hfill & -\frac{4}{3}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
Für die zweite Gleichung ergibt sich
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{x^5-\frac{1024}{243}}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^5}& =\hfill & \frac{1024}{243}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x}& =\hfill & \frac{4}{3}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$

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Es gilt $\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5$ und nicht $\sqrt{(-5{)}^2}=-5\hspace{0.5em}$, weil Wurzeln nie negativ sind.
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Es ergibt sich
${(-\frac{1}{a^{-4}})}^{-5}={(-{\left(a^{-4}\right)}^{-1})}^{-5}={(-a^{(-4)·(-1)})}^{-5}$ $={(-a^4)}^{-5}=-a^{-20}=-\frac{1}{a^{20}}$
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