Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten

Beispiel 4beispiel_4
Berechne $\sqrt[5]{{20}^{10}}$ ohne Taschenrechner.
Mit den Rechenregeln ergibt sich:

${\displaystyle \sqrt[5]{{20}^{10}}={20}^{\frac{10}{5}}={20}^2=400.}$

Beispiel 5beispiel_5
Ein Kapital von $100000$ € ist nach $5$ Jahren mit Zinseszinsen auf $125000$ € angewachsen. Wie hoch war der jährliche Zinssatz?
Wir nehmen die Zinseszins - Formel:

${\displaystyle K_n=K_0{q}^n,\mathrm{ }q=1+p, \text{wobei p der jährliche Zinssatz ist}}$
und bekommen zunächst

${\displaystyle q^n=\frac{K_n}{K_0}}$
und damit:

${\displaystyle q=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}.}$
Hieraus ergibt sich in unserem Beispiel mit $n=5$, $K_0=100000$ und $K_5=125000$:

${\displaystyle q=\sqrt[5]{\frac{125000}{100000}}=\mathrm{1,045639}\dots \approx \mathrm{1,046}.}$
Der jährliche Zinssatz hat also auf eine Nachkommastelle genau $\mathrm{4,6}\%$ betragen.

Beispiel 6beispiel_6
Wir vereinfachen den Term $\sqrt{\sqrt[3]{a^6}}$ für $(a\in ℝ, a\ge 0)$, indem wir die Wurzeln als Potenzen schreiben und das Potenzgesetz (P3) anwenden:

${\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{a^6}}=\sqrt{a^{\frac{6}{3}}}={\left(a^{\frac{6}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{6}{6}}=a^1=a.}$

Beispiel 7beispiel_7

Nun wollen wir dies auch rechnerisch nachvollziehen. Zunächst wollen wir uns überlegen, welche Länge und Breite ein DIN A$4$ - Blatt überhaupt hat. Die DIN - Norm definiert, dass ein DIN A$0$ - Blatt einen Flächeninhalt von genau einem Quadratmeter hat. Durch Halbieren des Blattes sehen wir, dass ein DIN A$1$ - Blatt daher genau einen halben Quadratmeter, ein DIN A$2$ - Blatt $\frac{1}{4}$ Quadratmeter Fläche hat usw. Folglich hat ein DIN $A_n$ - Blatt einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2^n}$ Quadratmeter. Die Länge des DIN $A_n$ - Blattes sei $L_n$, seine Breite sei $B_n$. Für das DIN A$0$ - Blatt gilt also

${\displaystyle L_0{B}_0=1{\text{m}}^2.}$
Wie verhalten sich nun $L_0$ und $B_0$ zueinander? Die DIN A - Reihe ist so definiert, dass beim Halbieren der größeren Seite sich wieder dasselbe Seitenverhältnis ergibt. Für DIN A$0$ heißt dies nun

${\displaystyle \frac{L_0}{B_0}=\frac{B_0}{\frac{L_0}{2}}.}$
Durch Multiplikation mit $B_0·\frac{L_0}{2}$ liefert dies natürlich die Gleichung

${\displaystyle \frac{L_0^2}{2}=B_0^2.}$
Ziehen wir die Quadratwurzel, so erhalten wir schließlich

${\displaystyle B_0=\frac{1}{\sqrt{2}}{L}_0\approx \mathrm{0,707107}{L}_0.}$
Zusammen mit der Gleichung $L_0{B}_0=1{\text{m}}^2$ ergibt sich also

${\displaystyle L_0·\frac{L_0}{\sqrt{2}}=\frac{L_0^2}{\sqrt{2}}=1{\text{m}}^2}$
und nach Auflösen $L_0=\sqrt{\sqrt{2}}\text{m}\approx \mathrm{1,18921}$ m. Durch sukzessive Multiplikation mit $q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ergeben sich dann die Längen und Breiten der DIN A - Reihe: Insbesondere erhalten wir für das DIN A$4$ - Blatt $L_4=\mathrm{29,73}$ cm und $B_4=\mathrm{21,02}$ cm. Messen Sie dies ruhig einmal nach!
 
Wenn wir nun die Flächeninhalte eines DIN A$4$ - Blattes sowie seiner ersten $n$ Nachfolger addieren, so ergibt sich (wir lassen die Einheit $m^2$ weg):
\(A = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \ldots + \frac{1}{2^{n+4}} = \frac{1}{2^4} \left(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}\right)\) \( \quad \overset{*}{=} \frac{2}{2^4} \left(1 - \frac{1}{2^{n +1}}\right),\) was niemals den DIN A3 - Flächeninhalt $\frac{1}{2^3}{\text{m}}^2=\frac{2}{2^4}{\text{m}}^2$ überschreiten kann, da $\frac{2}{2^4}{\text{m}}^2>\frac{2}{2^4}(1-\frac{1}{2^{n+1}}){\text{m}}^2$ ist für alle $n\ge 1$.
Dies gilt für beliebig große Werte von $n$, also für beliebig viele Nachfolger, solange ihre Zahl endlich ist.
* Diese Umformung ist bekannt als Umformung bei geometrischen Reihen und ihre Richtigkeit kann bewiesen werden.

Beispiel 8beispiel_8
Wir betrachten die Gleichungen für $x\in ℝ$:

${\displaystyle x^3=8\mathrm{ }\text{und}\mathrm{ }{x}^3=-8.}$
Die erste Gleichung besitzt die Lösung $x=2=\sqrt[3]{8}$, die zweite Gleichung besitzt die Lösung $x=-2=-\sqrt[3]{8}$. Achtung: $\sqrt[3]{-8}$ ist nicht definiert!
Die Gleichung
${\displaystyle x^4=16}$
besitzt zwei Lösungen: $x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm \sqrt{4}=\pm 2$.
Die Gleichung $x^6=-64$ besitzt keine Lösung.

Beispiel 9beispiel_9
Vereinfache den Term $\frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$. Unter Vereinfachung wird hier verstanden, dass wir die Wurzeln im Nenner beseitigen (Rationalmachen des Nenners), dabei verwenden wir die dritte binomische Formel, um den Nenner ganzzahlig zu machen.

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}}& =\hfill & \frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}·\frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{(\sqrt{8}+\sqrt{5}{)}^2}{(\sqrt{8}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{8+2\sqrt{8}\sqrt{5}+5}{8-5}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{13+2\sqrt{4·2}\sqrt{5}}{3}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{13+2·2\sqrt{2·5}}{3}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{13+4\sqrt{10}}{3}.\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$