Abschnitt: Aufgaben | Eigenschaften von Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Eigenschaften von Funktionen
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_fkteigenschaften_
  
  Eigenschaften von Funktionen
  
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  4
  
  bereich_4
  Eine Reihe von Aufgaben zu Maxima und Minima sind im Kurs Differentialrechnung enthalten.
  
  Aufgabe 2aufgabe_2
  Was gilt für die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 18$ ?
  
  Sie ist weder monoton steigend noch monoton fallend.
  Sie ist monoton steigend.
  Sie ist streng monoton steigend.
  Sie ist monoton fallend.
  Sie ist streng monoton fallend.
  
  Kontrolle
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  Der Graph der Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 18$ ist eine Gerade mit positiver Steigung $m = 3$ und Achsenabschnitt bei $f (0) = - 18$ .
  Sie ist daher anschaulich gesehen streng monoton steigend. Streng monoton steigend beinhaltet laut Definition immer auch monoton steigend.
  Rechnerisch gilt für $x_{1} < x_{2}$ :
  $\begin{matrix} f (x_{2}) - f (x_{1}) & = & 3 x_{2} - 18 - (3 x_{1} - 18) \\ = & 3 \cdot (x_{2} - x_{1}) > 0 \end{matrix}$
  
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  Video 7video_7
  
  In diesem Video wird die Monotonie einer Funktion anhand der Definition der Monotonie nachgewiesen.
  
  Aufgabe 3aufgabe_3
  Nutzen Sie Ihr Wissen über quadratische Funktionen, um zur Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = - 0,9 \cdot (x - 4)^{2} + 1$ eine Kurvendiskussion zu erstellen, die folgende Punkte beinhaltet:
  
  Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems
  
  Symmetrien bezüglich des Koordinatensystems
  
  Monotonie
  
  Lokale und globale Extrema
  
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  Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems:
  Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:
  $\begin{matrix} f (0) & = & - 0,9 \cdot (0 - 4)^{2} + 1 \\ = & - 0,9 \cdot 16 + 1 \\ = & - 13,4, \end{matrix}$
  der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse lautet also $(0; 13,4)$ .
  Schnittpunkte mit der $x$ -Achse:
  $\begin{matrix} f (x) = - 0,9 \cdot (x - 4)^{2} + 1 & = & 0 \\ - 0,9 \cdot (x - 4)^{2} & = & - 1 \\ (x - 4)^{2} & = & \frac{10}{9} \\ x - 4 & = & \pm \sqrt{\frac{10}{9}} \\ x & = & \pm \sqrt{\frac{10}{9}} + 4 . \end{matrix}$
  Es ergeben sich also zwei Nullstellen mit der $x$ -Achse: $x_{1} = \sqrt{\frac{10}{9}} + 4 \approx 5,054$ und $x_{2} = - \sqrt{\frac{10}{9}} + 4 \approx 2,946$ .
  Die Schnittpunkte sind also $(0; - 13.4)$ , $(5,054; 0)$ und $(2,946; 0)$ .
  
  Symmetrien zu den Koordinatenachsen:
  Man kann leicht nachrechnen, dass weder $f (- x)$ noch $- f (- x)$ das gleiche ergibt wie $f (x)$ , indem man die Klammer auflöst und vergleicht:
  $\begin{matrix} f (x) & = & - 0,9 \cdot (x - 4)^{2} + 1 \\ = & - 0,9 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + 1 \\ = & - 0,9 x^{2} + 7,2 x - 13,4 \\ f (- x) & = & - 0,9 \cdot (- x - 4)^{2} + 1 \\ = & - 0,9 \cdot {((- 1) \cdot (x + 4))}^{2} + 1 \\ = & - 0,9 \cdot (- 1)^{2} \cdot (x + 4)^{2} + 1 \\ = & - 0,9 \cdot (x^{2} + 8 x + 16) + 1 \\ = & - 0,9 x^{2} - 7,2 x - 13,4 \\ - f (- x) & = & (- 1) \cdot (- 0,9 x^{2} - 7,2 x - 13,4) \\ = & 0,9 x^{2} + 7,2 x + 13,4 \end{matrix}$
  Man findet also weder eine Symmetrie zur $y$ -Achse noch zum Ursprung des Koordinatensystems. Dass keine Symmetrie zur $y$ -Achse vorliegt, kann man auch direkt an der Scheitelpunktform der Parabelgleichung ablesen: Der Term $(x - 4)$ führt dazu, dass der Scheitelpunkt bei $x = 4$ liegt, also nicht auf der $y$ -Achse. Punktsymmetrisch sind Parabeln ebenfalls nicht.
  
  Monotonie
  An der Scheitelpunktform der Parabelgleichung $f (x) = - 0,9 \cdot (x - 4)^{2} + 1$ kann man einiges ablesen: Der Scheitelpunkt liegt bei $(4,1)$ , die Parabel ist leicht gestaucht (zu erkennen am Vorfaktor $- 0,9$ ) und nach unten geöffnet (zu erkennen am Vorzeichen des Vorfaktors: $- 0,9$ ).
  Die Funktion $f (x)$ ist daher bis zum Scheitelpunkt, also auf dem Intervall $] - \infty, 4 [$ , streng monoton steigend (aufgrund ihrer Öffnung nach unten) und ab dem Scheitelpunkt, also auf dem Intervall $] 4, \infty [$ , streng monoton fallend.
  
  Lokale und globale Extrema
  Wie schon erwähnt, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen als $(4; 1)$ . Da die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es sich hierbei um ein globales Maximum.
  Globale oder lokale Minima besitzt die Parabel nicht, da sie auf ganz $ℝ$ definiert ist und ihre Funktionswerte immer weiter sinken, wenn $x$ gegen $\pm \infty$ strebt.
  
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