Eigenschaften von Funktionen

Anwendung

bereich_5 In vielen praktischen Anwendungen erhält man die zu untersuchende Funktion durch die Modellierung eines realen Problems. Wie bereits in der „Hinführung“  angedeutet ist man zumeist nicht an einer umfassenden Untersuchung der Funktion interessiert, sondern möchte nur bei der Modellbildung entstehende Fragen an die Funktion beantworten.
In vielen Fällen versucht man Maxima oder Minima einer Modellfunktion zu bestimmen. Anwendungsbeispiele mit dieser Fragestellung sind im Kurs Differentialrechnung zu finden. An dieser Stelle möchten wir alle in diesem Kapitel aufgeführten Punkte anhand der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2(x+1{)}^2-4$ veranschaulichen. Wir greifen dabei auf das Wissen über quadratische Funktionen zurück, das im vorangehenden Teil dieses Kurses vermittelt wird.

• Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems:
  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
  $f(0)=2·(0+1{)}^2-4=2·1-4=-2$
  Das heißt, der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0;-2)$.
  Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
  ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\multicolumn{1}{c}{f(x)=2·(x+1{)}^2-4}& =\hfill & 0\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}+4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{2·(x+1{)}^2}& =\hfill & 4\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}:2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(x+1{)}^2}& =\hfill & 2\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}\sqrt{}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x+1}& =\hfill & \pm \sqrt{2}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}-1\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x}& =\hfill & \pm \sqrt{2}-1.\hfill \end{array}}$
  Es ergeben sich also zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse: $x_1=\sqrt{2}-1\approx \mathrm{0,414}$ und $x_2=-\sqrt{2}-1\approx -\mathrm{2,414}$.
  Die Schnittpunkte sind also $(0;-2)$, $(\mathrm{0,414};0)$ und $(\mathrm{2,414};0)$.
• Symmetrien bezüglich Koordinatenachsen:
  Man kann leicht nachrechnen, dass weder $f(-x)$ noch $-f(-x)$ das gleiche ergibt wie $f(x)$, indem man die Klammer auflöst und die Koeffizienten der Terme vergleicht:
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f(x)}& =\hfill & 2·(x+1{)}^2-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2·(x^2+2x+1)-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2x^2+4x-2,\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{f(-x)}& =\hfill & 2·(-x+1{)}^2-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2·(1-x{)}^2-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2·(1-2x+x^2)-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2x^2-4x-2,\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{-f(-x)}& =\hfill & (-1)·(2x^2-4x-2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2x^2+4x+2.\hfill \end{array}}$
  Man findet also weder eine Symmetrie zur $y$-Achse noch zum Ursprung des Koordinatensystems. Dass keine Symmetrie zur $y$-Achse vorliegt, kann man auch direkt an der Scheitelpunktform der Parabelgleichung ablesen: Der Term $(x+1)$ führt dazu, dass der Scheitelpunkt bei $x=-1$ liegt, also nicht auf der $y$-Achse. Punktsymmetrisch sind Parabeln ebenfalls nicht.
• Monotonie
  An der Scheitelpunktform der Parabelgleichung $f(x)=2·(x+1{)}^2-4$ kann man einiges ablesen: Der Scheitelpunkt liegt bei $(-1,-4)$ und die Parabel ist nach oben geöffnet (zu erkennen am Vorzeichen des Vorfaktors: $+2$).
  Die Funktion $f(x)$ ist daher bis zum Scheitelpunkt, also auf dem Intervall $]-\infty ,-1[$, streng monoton fallend und ab dem Scheitelpunkt, also auf dem Intervall $]-1,\infty [$, streng monoton steigend.
• Lokale und globale Extrema
  Wie schon erwähnt, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen als $(-1;-4)$. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, handelt es sich hierbei um ein globales Minimum.
  Globale oder lokale Maxima besitzt die Parabel nicht, da sie auf ganz $ℝ$ definiert ist und ihre Funktionswerte immer weiter steigen, wenn $x$ gegen $\pm \infty$ strebt.