Eigenschaften von Funktionen

Hinführung

bereich_2 Ist eine Funktion $f:D\to ℝ$ mit Definitionsbereich $D\subseteq ℝ$ und Funktionsvorschrift gegeben, kann man meist nicht direkt auf die Eigenschaften der Funktion bzw. auf deren qualitatives Verhalten schließen.
 
Es ist auch nur selten sinnvoll ohne weiteres Wissen eine Wertetabelle anzulegen. So ergeben sich besipielsweise für die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=\mathrm{0,01}{x}^3-10x$ die folgenden Funktionswerte: Zeichnet man diese Werte in ein Koordinatensystem ein, so scheint man eine Gerade zu erhalten: Die Funktionsvorschrift lässt allerdings vermuten, dass es sich um eine kompliziertere Funktion handelt. Hier kann es helfen - wie in vielen Fällen - sich mithilfe eines Computers den Graph der Funktion in einem größeren Intervall ausgeben zu lassen. Man erhält zum Beispiel: Hier sind wieder die Punkte markiert, die in obiger Wertetabelle aufgelistet waren. Doch auch auf Computerprogramme sollte man nicht blind vertrauen! Das genutzte Programm kann unter Umständen mit einer bei der betrachteten Funktion auftretenden Problematik nicht umgehen, sodass ein fehlerhaftes oder gar kein Ergebnis ausgeben wird.
 
Man sollte auch (vorher) in der Lage sein zu überblicken, welche Eigenschaften der Funktion überhaupt von Interesse sind. Ist man eigentlich am qualitativen Verhalten der Funktion für (betragsmäßig) große $x$-Werte interessiert, kann ein zu klein gewählter Ausschnitt des Funktionsgraphen zu irreführenden oder falschen Resultaten führen. Genauso kann auch ein zu groß gewählter Ausschnitt dazu führen, dass man wesentliche Eigenschaften der Funktion nicht erkennt. Die mathematische Theorie (siehe auch Kurs Differentialrechnung) hilft zu entscheiden, ob ein Ausschnitt des Graphen die wesentlichen Eigenschaften wiedergibt. Man weiß, dass eine Funktion dritten Grades höchstens zwei Extremstellen besitzt. Genau diese beiden sind bereits sichtbar in der zweiten Graphik (Bild $2$). Beispielsweise kann das Verhalten der Funktion in einem kleinen Bereich um eine bestimmte Stelle interessant sein, der vom Computer ausgebene Ausschnitt die Stelle aber nur in einer völlig unpassenden Skalierung oder gar nicht zeigen. Computer können auch immer nur mit einer bestimmten Genauigkeit rechnen - die auftretenden Fehler können sich vervielfachen und oft nur mit vorhandenem Hintergrundwissen umgangen werden.
 
Die in diesem Kapitel Techniken können helfen, sinnvolle und nützliche Aussagen über das qualitative Verhalten von Funktionen bzw. deren Graphen deren Graphen zu treffen. Sie können genutzt werden, um abzuschätzen, ob ein von einem Computerprogramm ausgebenes Resultat für die betrachtete Fragestellung sinnvoll ist, oder um die Eigenschaften einer gegebenen Funktion ohne die Hilfe eines Computer bestimmen zu können. Sie erleichtern auch das Anfertigen einer Skizze, die die wesentlichen Charakteristika einer Funktion enthält.
 
Für die praktische Anwendung sind die bei einer Kurvendiskussion eingeübten Methoden aber eher als eine Art Werkzeugkasten zu sehen: Man wird wahrscheinlich selten alle Werkzeuge auf einmal nutzen - es ist aber gut alle zur Verfügung zu haben!