• Chapter 1 Studifinder - 1.5  Elementare Funktionen - Eigenschaften von Funktionen

      Inhalte mit Erklärungen

      Datum Sep 28, 2026
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      Eigenschaften von Funktionen
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      Info 1
      Bei einer Kurvendiskussion untersucht man Eigenschaften des Graphen einer Funktion. Dabei bestimmen wir im Folgenden
      1. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
      2. Symmetrien (bezüglich des Koordinatensystems),
      3. das Monotonieverhalten,
      4. lokale und globale Extrema.
       
       
      1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
      Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind genau die Stellen x∈D, für die f(x)=0 ist. Solche Stellen nennt man Nullstellen. Für diese Stellen interessiert man sich sehr häufig – wie wir auch bei der Berechnung lokaler Extrema sehen werden – dort sucht man die Nullstellen der Ableitungsfunktion.
      Definition 1
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Eine Zahl x0 ∈D heißt Nullstelle von f, falls f( x0 )=0.
      Bemerkung
      • Eine Nullstelle ist eine Stelle, an welcher der Graph von f die x-Achse schneidet oder berührt. Man erhält sie, indem man f(x)=0 setzt und diese Gleichung nach x auflöst.
      Liegt die Null im Definitionsbereich D, dann schneidet der Graph von f die y-Achse an der Stelle x0 =0. Der Funktionswert f(0) an dieser Stelle bildet den y-Wert des Schnittpunkts (0;f(0)). Um ihn zu berechnen, genügt es also, den Wert Null in die Funktionsvorschrift einzusetzen.
      Satz 1
      Ist 0∈D, so schneidet der Graph der Funktion f:D→ℝ die y-Achse im Punkt (0;f(0)).
      Für jede Nullstelle xi ∈D ist der Punkt ( xi ;0) ein Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
      Die Berechnung der Nullstellen kann sehr schwierig oder sogar nur näherungsweise mithilfe eines Computers möglich sein. Wir möchten dies hier deshalb nur exemplarisch zeigen. Es sei aber darauf hingewiesen, dass man mit den gleichen Methoden auch alle Stellen, an denen die Funktion einen beliebigen anderen Wert c∈ℝ erreicht, bestimmen kann. Denn setzt man g(x)=f(x)-c, dann nimmt f bei allen Nullstellen der Funktion g den Funktionswert c an (d.h. f( x0 )=c ⇔ g( x0 )=f( x0 )-c=0).

      Beispiel 1
      Sei die Funktion f:ℝ→ℝ gegeben durch f(x)= x2 -3x+2, dann schneidet f die y-Achse bei f(0)= 02 -3·0+2=2. Um die Nullstellen zu erhalten, setzt man den Funktionswert gleich Null und löst die resultierende Gleichung f(x)= x2 -3x+2=0 mithilfe der pq-Formel:
      x1,2 = - -3 2 ± ( -3 2 )2 -2 = 3 2 ± 9 4 - 8 4 = 3 2 ± 1 4 = 3 2 ± 1 2 ,

      sodass sich die Nullstellen x1 = 3 2 + 1 2 = 4 2 =2 und x2 = 3 2 - 1 2 = 2 2 =1 ergeben.
      Die Funktion f hat also die Nullstellen x1 =1 und x2 =2 und schneidet somit die Koordinatenachsen insgesamt in den Punkten (0;2), (1;0) und (2;0).
      5_lv_kurvendisk_01.png
      Bild 5
       
       
      2. Symmetrien bezüglich des Koordinatensystems
      Manche Funktionen weisen Symmetrien bezüglich einer Achse oder eines Punktes auf, d.h. spiegelt man den Graph der Funktion an dieser Achse bzw. an diesem Punkt, so erhält man wieder den ursprünglichen Funktionsgraphen. Dabei interessieren wir uns hier allerdings nicht für Symmetrien bezüglich beliebiger Achsen oder Punkte, sondern nur bezüglich der y-Achse oder bezüglich des Ursprungs.
      Diese können besonders leicht verifiziert werden und erleichtern (falls vorhanden) die Berechnung der Wertetabelle und besonderer Punkte. Denn so hat z.B. ein lokales Extremum an der Stelle x0 auch ein lokales Extremum an der Stelle - x0 zur Folge, wenn eine Funktion symmetrisch zur y-Achse ist.
      Definition 2
      Sei D⊂ℝ, sodass für alle x∈D auch -x∈D gilt. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Die Funktion f heißt
      • achsensymmetrisch zur y-Achse oder auch gerade, wenn f(-x)=f(x) für jedes x∈D gilt,
      • punktsymmetrisch zum Ursprung oder auch ungerade, wenn f(-x)=-f(x) für jedes x∈D gilt.

      Video 2
      In diesem Video wird die Achsensymmetrie einer Funktion zur y-Achse erläutert und für Beispiele überprüft.

      Video 3
      In diesem Video wird die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung erläutert und für Beispiele überprüft.
      Aufgabe 1
      Lassen Sie sich im Applet eine gerade und eine ungerade Funktion anzeigen und stellen Sie verschiedene Werte von x0 ein, um zu beobachten, wo sich jeweils der Punkt (- x0 ;f(- x0 )) befindet. Spiegeln Sie außerdem die gegebene Funktion h an der y-Achse und am Ursprung.

      download-icon.png Applet herunterladen
       

      Beispiel 2
      Wir betrachten die Polynomfunktion f:ℝ→ℝ mit f(x)= x4 -4 x2 +2. Dann gilt für alle x∈ℝ:
      f(-x)=(-x )4 -4(-x )2 +2= x4 -4 x2 +2=f(x).

      Damit ist f eine gerade Funktion bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse.
      5_lv_Beispiel_Symm1.png
      Bild 6 Die Funktion f:ℝ→ℝ mit f(x)= x4 -4 x2 +2 ist gerade.

      Video 4
      In diesem Video werden Funktionen auf ihre Symmetrieeigenschaften hin überprüft.
       
       
      3. Monotonieverhalten
      Betrachten wir das Steigungsverhalten einer Funktion anhand der folgenden Definition.
      Definition 3
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. f heißt auf einem Intervall I⊂D
      • monoton wachsend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )≤f( x2 ).
      • streng monoton wachsend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )<f( x2 ).
      • monoton fallend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )≥f( x2 ).
      • streng monoton fallend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )>f( x2 ).

      Video 5
      In diesem Video werden die verschiedenen Monotonieeigenschaften reellwertiger Funktionen erläutert.
      Die Definition beinhaltet, dass jede auf einem Intervall I streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion dort auch monoton wachsend (bzw. fallend) ist.
      Im Kurs Differentialrechnung wird gezeigt, wie man das Monotonieverhalten mit Hilfe des Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen kann.

      Beispiel 3
      Sei f:ℝ→ℝ eine Funktion mit f(x)= x2 . Hier gilt auf dem Intervall ]0,∞[ für alle reellen Zahlen x1 und x2 mit x1 < x2 auch x1 2 < x2 2 und daher f( x1 )= x1 2 < x2 2 =f( x2 ). Die Funktion f(x) ist also auf dem Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend.
      Das ist anschaulich klar. Rechnerisch prüfen wir nach, ob aus x1 < x2 auch wirklich immer f( x1 )>f( x2 ) folgt. Hierfür formen wir zuerst die zu zeigende Ungleichung wie folgt um:

       f( x2 )>f( x1 )| -f( x1 )  ⇔f( x2 )-f( x1 )>0| f(x)= x2   einsetzen ⇔ x2 2 - x1 2 >0|  3. binomische Formel ⇔( x2 - x1 )( x2 + x1 )>0

      Die Ungleichung stimmt, da x2 -x1>0 und x2 + x1 >0 sind und damit auch ihr Produkt positiv ist, wenn x1 < x2 gilt. Wir haben also insgesamt gezeigt, dass f( x2 )>f( x1 ) für alle x1 < x2 gilt.
      5_lv_plot_monotonie_1.png
      Bild 7
      Zur Veranschaulichung kann man beispielsweise die Punkte x1 =2 und x2 =3 wählen. Es ist also x1 < x2 . Und wegen f( x1 )=f(2)= 22 =4 und f( x2 )=f(3)= 32 =9 gilt auch f( x1 )<f( x2 ). Dieses Beispiel ist selbstverständlich kein Beweis und dient lediglich der Illustration.
      5_lv_plot_monotonie_2.png
      Bild 8
      Betrachtet man das Intervall ]-∞,0[ und wählt hier beispielsweise x1 =-3 und x2 =-2, sodass wieder x1 < x2 gilt, so kann man nachrechnen, dass gilt: f( x1 )=f(-3)=(-3 )2 =9 und f( x2 )=f(-2)=(-2 )2 =4. Hier gilt also nicht, dass aus x1 < x2 auch f( x1 )<f( x2 ) folgt!
      Anschaulich ist dagegen klar, dass die umgekehrte Aussage gilt: Für alle x1 < x2 aus ]-∞,0[ ist f( x1 )>f( x2 ), das heißt f ist streng monoton fallend.
      Begründung
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      Rechnerisch gilt für x1 < x2 :
      Rechnerisch prüfen wir nach, ob aus x1 < x2 auch wirklich immer f( x1 )<f( x2 ) folgt. Hierfür formen wir zuerst die zu zeigende Ungleichung wie folgt um:

       f( x2 )<f( x1 )| -f( x1 )  ⇔f( x2 )-f( x1 )<0| f(x)= x2   einsetzen ⇔ x2 2 - x1 2 <0|  3. binomische Formel ⇔( x2 - x1 )( x2 + x1 )<0

      Die Ungleichung stimmt, da x2 - x1 >0 und x2 + x1 <0 sind und damit auch ihr Produkt negativ ist, wenn x1 < x2 gilt. Wir haben also insgesamt gezeigt, dass f( x1 )>f( x2 ) für alle x1 < x2 gilt.
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      Die Funktion ist also auf dem Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend und auf dem Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend.
       
       
      4. Lokale und globale Extrema
      Die Berechnung von Extrempunkten - also von Hoch- und Tiefpunkten - ist einer der zentralen Themen jeder Kurvendiskussion. Lokale Extrema sind folgendermaßen definiert:
      Definition 4
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Dann hat f an der Stelle xe ∈D ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), falls es ein offenes Intervall I⊂D gibt, sodass xe ∈I und f( xe )≤f(x) (bzw. f( xe )≥f(x)) für alle x∈I ist.

      Video 6
      In diesem Video wird die Definition von lokalen Minima und lokalen Maxima reellwertiger Funktionen erläutert.
      Diese präzise Formulierung drückt lediglich aus, dass die Funktionswerte für alle x, die „nahe genug“  an dem lokalen Maximum xe liegen, kleiner oder gleich dem Funktionswert in f( xe ) sind. Analog müssen die Funktionswerte für alle x, die „nahe genug“  am Minimum xe liegen, größer oder gleich dem Funktionswert in f( xe ) sein.
      Eine ähnliche Definition gilt für globale Extrema, also die Stellen, an denen eine Funktion ihren insgesamt größten bzw. kleinsten Funktionswert annimmt:
      Definition 5
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Dann hat f an der Stelle xe ∈D ein globales Minimum (bzw. globales Maximum), falls f( xe )≤f(x) (bzw. f( xe )≥f(x)) für alle x∈D ist.
      Meist benutzt man die Differentialrechnung (Ableitungen der Funktion), um Extrema zu bestimmen. Diese Herangehensweise wird im Kurs Differentialrechnung ausführlich beschrieben.
      Bei den Polynomfunktionen, mit denen wir uns in diesem Kurs beschäftigen, kann man sich anhand von Graphen Folgendes überlegen:
      • Lineare Funktionen, die auf ganz ℝ definiert sind, besitzen keine Extremstellen.
        5_lv_gerade01.png 5_lv_gerade02.png
        Bild 9
      • Quadratische Funktionen besitzen entweder einen Hoch- oder einen Tiefpunkt, der sich im Scheitelpunkt der Parabel befindet, falls dieser Punkt nicht durch die Wahl des Definitionsbereiches ausgeschlossen ist.
        5_lv_quad01.png 5_lv_quad02.png
        Bild 10
      • Polynomfunktionen höheren Grades können mehrere oder auch gar keine Hoch- und Tiefpunkte besitzen.
        5_lv_kub01.png 5_lv_kub02.png
        Bild 11

       
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