• Chapter 1 Studifinder - 1.5  Elementare Funktionen - Eigenschaften von Funktionen

      Inhalte kompakt

      Info 1
      Bei einer Kurvendiskussion untersucht man Eigenschaften des Graphen einer Funktion. Dabei bestimmen wir im Folgenden
      1. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
      2. Symmetrien (bezüglich des Koordinatensystems),
      3. das Monotonieverhalten,
      4. lokale und globale Extrema.
      Definition 1
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Eine Zahl x0 ∈D heißt Nullstelle von f, falls f( x0 )=0.
      Satz 1
      Ist 0∈D, so schneidet der Graph der Funktion f:D→ℝ die y-Achse im Punkt (0;f(0)).
      Für jede Nullstelle xi ∈D ist der Punkt ( xi ;0) ein Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
      Definition 2
      Sei D⊂ℝ, sodass für alle x∈D auch -x∈D gilt. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Die Funktion f heißt
      • achsensymmetrisch zur y-Achse oder auch gerade, wenn f(-x)=f(x) für jedes x∈D gilt,
      • punktsymmetrisch zum Ursprung oder auch ungerade, wenn f(-x)=-f(x) für jedes x∈D gilt.
      Definition 3
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. f heißt auf einem Intervall I⊂D
      • monoton wachsend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )≤f( x2 ).
      • streng monoton wachsend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )<f( x2 ).
      • monoton fallend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )≥f( x2 ).
      • streng monoton fallend, falls für alle x1 , x2 ∈I gilt: Wenn x1 < x2 , dann f( x1 )>f( x2 ).
      Definition 4
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Dann hat f an der Stelle xe ∈D ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), falls es ein offenes Intervall I⊂D gibt, sodass xe ∈I und f( xe )≤f(x) (bzw. f( xe )≥f(x)) für alle x∈I ist.
      Definition 5
      Sei D⊂ℝ. Sei f:D→ℝ eine Funktion. Dann hat f an der Stelle xe ∈D ein globales Minimum (bzw. globales Maximum), falls f( xe )≤f(x) (bzw. f( xe )≥f(x)) für alle x∈D ist.
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