Abschnitt: Inhalte kompakt | Funktionsbegriff

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Funktionsbegriff
  
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  Definition 1definition_1
  Gegeben sei eine Menge $D$ , genannt Definitionsmenge, und eine Menge $Z$ , genannt Zielmenge. Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x \in D$ genau ein Element $f (x) \in Z$ zu. Man schreibt:
  
  $f : D \to Z, x \mapsto f (x)$
  
  Definition 2definition_2
  Seien $D_{f}, D_{g}, Z_{f}, Z_{g}$ Mengen. Seien $f : D_{f} \to Z_{f}$ und $g : D_{g} \to Z_{g}$ zwei Funktionen. Die Funktionen $f$ und $g$ heißen gleich, wenn $D_{f} = D_{g}$ und $Z_{f} = Z_{g}$ und wenn für jedes $x \in D$ gilt: $f (x) = g (x) .$
  
  Definition 3definition_3
  Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Sind $D$ und $Z$ Teilmengen von $ℝ$ , so spricht man von einer reellwertigen Funktion.
  
  Definition 4definition_4
  Sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion mit $D$ in $ℝ$ . Der Graph von $f$ ist die Menge der Wertepaare $(x; f (x))$ mit $x \in D$ :
  
  $G (f) : = {(x; f (x)) | x \in D} .$
  
  Definition 5definition_5
  Die Menge aller Funktionswerte $f (x)$ in $ℝ$ , die von $f$ für $x \in D$ angenommen werden, wird als Wertemenge $W_{f}$ von $f$ bezeichnet.
  
  $W_{f} = {f (x) | x \in D} .$
  Die Wertemenge $W_{f}$ ist eine Teilmenge der Zielmenge $Z_{f}$ von $f$ .
  
  Definition 6definition_6
  Sei $D \subset ℝ$ . Sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Sei $x \in D$ . Dann nennt man $y = f (x) \in ℝ$ das Bild von $x$ . Umgekehrt sei $y \in f (D)$ mit $y = f (x)$ für ein $x \in D$ . Dann nennt man $x$ das Urbild von $y$ .
  
  Definition 7definition_7
  Sei $D \subset ℝ$ . Seien $f : D \to ℝ$ und $g : D \to ℝ$ Funktionen mit der gleichen Definitionsmenge. Dann kann man die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Funktionen definieren durch:
  
  $\begin{matrix} f + g : D \to ℝ, & x \mapsto (f + g) (x) : = f (x) + g (x), \\ f \cdot g : D \to ℝ, & x \mapsto (f \cdot g) (x) : = f (x) \cdot g (x), \\ f - g : D \to ℝ, & x \mapsto (f - g) (x) : = f (x) - g (x) . \end{matrix}$
  Gilt $g (x) \neq 0$ für alle $x \in D$ , dann kann man auch den Quotienten definieren als:
  
  $\frac{f}{g} : D \to ℝ, x \mapsto (\frac{f}{g}) (x) : = \frac{f (x)}{g (x)} .$
  
  Definition 8definition_8
  Seien $f$ und $g$ Funktionen mit $D_{f}, D_{g} \subset ℝ$ und Zielmenge $ℝ$ . Ein Punkt $(x; y)$ heißt Schnittpunkt von $f$ und $g$ , genau dann wenn $x \in D_{f}, x \in D_{g}$ und $y = f (x) = g (x)$ gilt.
  
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