Funktionsbegriff

Hinführung

bereich_2 Aus der Schule kennen Sie Schaubilder von Funktionen:

Bild 1 $f(x)=2x$	Bild 2 $f(x)=x^2$
Bild 3 $f(x)=e^x$	Bild 4 $f(x)=\sin (x)$
Bild 5 $f(x)=\frac{1}{x}$	Bild 6 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$

Wie in diesen Schaubildern werden in der Schulmathematik Funktionen meist nur durch ihre Funktionsvorschrift angegeben. In der Hochschulmathematik werden Funktionen zusätlich immer mit ihrer Definitions- und ihrer Zielmenge definiert.

Wir wollen daher die Schreibweise
${\displaystyle f:D\to Z ,\hspace{0.5em}x\mapsto \hspace{0.5em}f(x)}$
einführen, wobei $f$ die Funktion, $D$ die Definitionsmenge, $Z$ die Zielmenge, $x$ das Argument und $f(x)$ die Funktionsvorschrift bezeichnet.

Mit dieser Schreibweise würden richtigerweise folgende Bildunterschriften unter den Bildern stehen:

Bild Nr.	Funktion
$1$)	Der Graph der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2x$
$2$)	Der Graph der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=x^2$
$3$)	Der Graph der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=e^x$
$4$)	Der Graph der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=\sin (x)$
$5$)	Der Graph der Funktion $f:ℝ \backslash \{0\}\to ℝ$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$
$6$)	Der Graph der Funktion $f:[-\mathrm{1,1}]\to ℝ$ mit $f(x)=\sqrt{1-x^2}$

Den abstrakten Graphen einer Funktion $G(f)$ kann man als Kurve im $ℝ{}^2$, nämlich als Menge aller Paare $(x;y)$ mit $x\in D$ und $y=f(x)$ definieren.
Für die zweite Funktion ist $G(f)=\{(x;y)\in ℝ{}^2|y=x^2\}$ eine Kurve, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Das Schaubild zeigt nur den Ausschnitt $\{(x;y)\in ℝ{}^2|y=x^2\text{und}-\mathrm{2,5}\le x\le \mathrm{2,5}\}$.
Ein Funktionenplotter plottet auch nicht unendlich viele Punkte ($x,f(x)$) mit $-\mathrm{2,5}\le x\le \mathrm{2,5}$, sondern nur eine endliche Teilmenge von rationalen Punkten davon, die aber so dicht liegen, dass eine kontinuierliche Kurve erscheint.