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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Funktionsbegriff
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  Funktionsbegriff
  
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  Definition 1definition_1
  Gegeben sei eine Menge $D$ , genannt Definitionsmenge, und eine Menge $Z$ , genannt Zielmenge. Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x \in D$ genau ein Element $f (x) \in Z$ zu. Man schreibt:
  
  $f : D \to Z, x \mapsto f (x)$
  
  Bemerkungen
  
  In der Mathematik ist diese allgemeine Definition einer Funktion sehr nützlich. Hier im Kurs wird im weiteren Verlauf mit Funktionen gearbeitet, bei denen $D$ und $Z$ Teilmengen von $ℝ$ sind.
  
  Statt Definitionsmenge ist es auch üblich, Definitionsbereich zu sagen. Entsprechend wird statt Zielmenge auch Zielbereich genutzt.
  
  Video 2video_2
  
  In diesem Video wird die Definition einer Funktion erklärt.
  
  Wir vereinbaren folgende Bezeichnungen: $x$ heißt Variable, $f (x)$ heißt Funktionswert. Die Bezeichnungen unabhängige Variable für $x$ und abhängige Variable für $y$ sind ebenfalls gebräuchlich. Die Menge $ℝ$ wird auch Zielmenge genannt.
  Die Funktionsvorschrift kann man auf verschiedene Weise angeben. Gebräuchlich ist für $f : ℝ \to ℝ$
  $\begin{matrix} f (x) & = & x^{2} \\ x & \mapsto & x^{2} \\ y & = & x^{2} . \end{matrix}$
  In der Mathematik bezeichnet man die unabhängige Variable oft mit $x$ . In der Praxis heißen Variablen aber oft anders, zum Beispiel wird in der Physik $t$ für die Zeit verwendet. Auch innerhalb der Mathematik können andere Variablennamen auftauchen.
  Zum Beispiel gibt $f (z) = z^{2}$ für alle $z \in ℝ$ dieselbe Funktion wie oben an. Mit $f$ bezeichnet man die Funktion als mathematisches Objekt und $f (x)$ bezeichnet den Funktionswert an der Stelle $x$ . Manchmal wird auch etwas lasch von der Funktion $f (x)$ gesprochen, wenn daraus keine Missverständnisse entstehen.
  
  Eine reellwertige Funktion wird durch zwei Vorgaben festgelegt: die Definitionsmenge und die Funktionsvorschrift. Nur wenn beide Vorgaben übereinstimmen, sind zwei Funktionen gleich.
  
  In der Mathematik definiert man reellwertige Funktionen oft über ihre maximale Definitionsmenge. Dabei reduziert man die reellen Zahlen $ℝ$ um die Menge an Zahlen, die für $x$ nicht in die Funktionsvorschrift eingesetzt werden dürfen. Zum Beispiel ist die maximale Definitionsmenge für die Funktionsvorschrift $f (x) = \frac{1}{x}$ damit $D = ℝ \ {0}$ , da man nicht durch Null teilen darf. Ein anderes Beispiel wäre die maximale Definitionsmenge $D = R_{0}^{+}$ zu der Funktionsvorschrift $f (x) = \sqrt{x}$ . Wir schließen also alle negativen Zahlen aus der Definitionsmenge aus, da wir im Reellen keine Wuzel aus negativen Zahlnen ziehen können.
  
  Definition 2definition_2
  Seien $D_{f}, D_{g}, Z_{f}, Z_{g}$ Mengen. Seien $f : D_{f} \to Z_{f}$ und $g : D_{g} \to Z_{g}$ zwei Funktionen. Die Funktionen $f$ und $g$ heißen gleich, wenn $D_{f} = D_{g}$ und $Z_{f} = Z_{g}$ und wenn für jedes $x \in D$ gilt: $f (x) = g (x) .$
  
  Bemerkung
  
  Zwei Funktionen sind also gleich, wenn sie gemeinsame Definitions- und Zielmengen haben und in allen Funktionswerten übereinstimmen.
  
  Video 3video_3
  
  In diesem Video wird erklärt, wann zwei Funktionen gleich sind.
  
  Die Festlegung der Gleichheit unterscheidet sich von der Schulmathematik, in der die Funktion oft mit der Termdarstellung identifiziert wird und der Definitionsbereich eine untergeordnete Rolle spielt.
  
  Definition 3definition_3
  Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Sind $D$ und $Z$ Teilmengen von $ℝ$ , so spricht man von einer reellwertigen Funktion.
  
  Ab jetzt wird $D$ immer als Teilmenge von $ℝ$ und, soweit nichts anderes angegeben ist, $Z = ℝ$ gewählt. Insbesondere sind alle betrachteten Funktionen reellwertig.
  Bemerkungen
  
  Bei zwei Funktionen $f : D_{f} \to ℝ$ und $g : D_{g} \to ℝ$ sind die Zielmengen gleich. Für die Gleichheit von solchen Funktionen müssen also nur die Definitionsmengen und die Funktionswerte überprüft werden.
  
  Es sieht vielleicht ungewohnt aus, dass wir in der Definition als Zielmenge nicht ganz $ℝ$ nehmen, sondern eine Teilmenge. Es wird aber später klar, warum das nützlich ist, wenn in der Lerneinheit $8$ Umkehrfunktionen besprochen werden.
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Die Funktionen
  $\begin{matrix} f : D_{f} \to ℝ, & D_{f} = {x | x \geq 0}, & x \mapsto x^{2}, \\ g : D_{g} \to ℝ, & D_{g} = ℝ, & x \mapsto x^{2}, \end{matrix}$
  sind nicht gleich, da die Definitionsmengen verschieden sind.
  Die Funktionen
  $\begin{matrix} f : D_{f} \to ℝ, & D_{f} = ℝ, & x \mapsto x^{2}, \\ g : D_{g} \to ℝ, & D_{g} = ℝ, & x \mapsto x^{3}, \end{matrix}$
  sind nicht gleich, da die Funktionsvorschriften verschieden sind. Offensichtlich gilt $f (x) = g (x)$ nur, genau dann wenn $x = 0$ oder $x = 1$ ist. Es gilt also nicht für alle Argumente $f (x) = g (x)$ .
  Die Funktionen
  $\begin{matrix} f : D_{f} \to ℝ, & D_{f} = ℝ, & x \mapsto 4 x + 4, \\ g : D_{g} \to ℝ, & D_{g} = ℝ, & x \mapsto (x + 2)^{2} - x^{2}, \end{matrix}$
  sind gleich. Sie haben die gemeinsame Definitionsmenge $ℝ$ und für jedes $x$ aus $D = ℝ$ gilt
  
  $f (x) = 4 x + 4, g (x) = (x + 2)^{2} - x^{2} = 4 x + 4,$
  also $f (x) = g (x)$ .
  Genauer gesagt sind zwei Funktionen genau dann gleich, wenn sie dieselbe Definitionsmenge sowie dieselbe Zielmenge haben und wenn sie für alle $x$ in der gemeinsamen Definitionsmenge dieselben Funktionswerte liefern. Die Funktionsvorschriften selbst können sich aber in der Darstellung, wie im letzten Beispiel gezeigt, unterscheiden.
  
  Definition 4definition_4
  Sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion mit $D$ in $ℝ$ . Der Graph von $f$ ist die Menge der Wertepaare $(x; f (x))$ mit $x \in D$ :
  
  $G (f) : = {(x; f (x)) | x \in D} .$
  
  Bemerkung
  
  Der Graph ist eine Teilmenge des $ℝ^{2}$ , wobei $ℝ^{2} : = {(x; y) | x, y \in ℝ}$ die x-y-Ebene darstellt.
  
  Video 4video_4
  
  In diesem Video wird die Definition des Funktionsgraphen erklärt.
  
  Ein Graph gibt anschauliche Informationen über den Funktionsverlauf. Wenn zwei Funktionen übereinstimmen, dann stimmen auch ihre Graphen überein.
  
  Ein Schaubild, das in der Schule Funktionsgraph heißt, stellt immer nur einen endlichen Ausschnitt der Punktmenge $G (f)$ dar.
  
  Video 5video_5
  
  Entstehung von Graphen einer Funktion durch Zeichnen von Punkten in der x-y-Ebene.
  
  Beispiel 2beispiel_2
  Bei der Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2}$ ist
  $G (f) = {(x; y) \in ℝ^{2} | y = x^{2}} .$
  Das heißt die Bedingung $y = x^{2}$ filtert aus allen Paaren $(x; y) \in ℝ^{2}$ eine bestimmte Teilmenge von Punkten heraus.
  Es gilt ${(x; y) \in ℝ^{2} | y - x^{2} = 0} = G (f)$ .
  Durch die Gleichung $y - x^{2} = 0$ wird „implizit“ eine Funktion festgelegt, nämlich die, für die $y = x^{2}$ gilt.
  Graphen von Funktionen als Teilmengen $G$ des $ℝ^{2}$ haben eine besondere Eigenschaft: zu jedem $x \in D$ gibt es genau ein $y \in ℝ$ , sodass $(x; y) \in G$ gilt.
  Geometrisch heißt das, dass vertikale Linien an jede Stelle $x \in D$ den Graphen genau einmal schneiden.
  
  Beispiel 3beispiel_3
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{3}$
  
  Dies nennt man auch den „Vertikale-Linie-Test“.
  
  Video 6video_6
  
  In diesem Video wird für eine graphische Darstellung entschieden, ob sie der Ausschnitt eines Funktionsgraphen sein kann.
  
  In den folgenden beiden Bildern sehen Sie Kurven (Teilmengen von $ℝ^{2}$ ), die nicht Graphen einer Funktion $f : D \to ℝ$ sein können. Es gibt jeweils $x$ -Werte, denen zwei $y$ -Werte zugeordnet werden.
  
  Im folgenden Bild sehen Sie eine Kurve, die den Graphen einer Funktion $f : D \to ℝ$ darstellen kann, obwohl es anschaulich $x$ -Werte gibt, die keinem $y$ -Wert zugeordnet werden. Dies wird durch die Einschränkung von $D$ auf die Menge $[1; \infty)$ erreicht.
  
  Definition 5definition_5
  Die Menge aller Funktionswerte $f (x)$ in $ℝ$ , die von $f$ für $x \in D$ angenommen werden, wird als Wertemenge $W_{f}$ von $f$ bezeichnet.
  
  $W_{f} = {f (x) | x \in D} .$
  Die Wertemenge $W_{f}$ ist eine Teilmenge der Zielmenge $Z_{f}$ von $f$ .
  
  Bemerkungen
  
  Also liegt $y$ in der Wertemenge von $f$ , wenn es mindestens ein $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ mit $f (x) = y$ gibt.
  
  In der Schule ist es üblich, die Wertemenge mit $W_{f}$ zu bezeichnen statt mit $f (D)$ . Hier im Kurs werden beide Schreibweisen genutzt.
  
  Statt Wertemenge wird auch Wertebereich verwendet.
  
  Hier wird die Wertemenge nur für reellwertige Funktionen $f : D \to ℝ$ definiert. In Lerneinheit 8 wird sie für beliebige Funktionen $f : D \to Z$ definiert.
  
  Wir betrachten $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2}$ .
  
  Die Wertemenge der Funktion $f$ ist hier $f (ℝ) = {x \in ℝ | x \geq 0}$ . Jedes $y > 0$ hat genau zwei Urbilder nämlich $x = + \sqrt{y}$ und $x = - \sqrt{y}$ . Nur $y = 0$ hat genau das eine Urbild $x = 0$ .
  
  Funktionen mit speziellen Eigenschaften bekommen besondere Namen, wie wir im Folgenden sehen werden.
  
  Definition 6definition_6
  Sei $D \subset ℝ$ . Sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Sei $x \in D$ . Dann nennt man $y = f (x) \in ℝ$ das Bild von $x$ . Umgekehrt sei $y \in f (D)$ mit $y = f (x)$ für ein $x \in D$ . Dann nennt man $x$ das Urbild von $y$ .
  
  Achtung: Die Aussage, dass Werte aus dem Wertebereich (Bilder) einer Funktion mindestens ein Urbild besitzen, schließt folgende Möglichkeiten ein: Es kann genau ein Urbild geben oder es können mehrere Urbilder auftreten.
  
  Definition 7definition_7
  Sei $D \subset ℝ$ . Seien $f : D \to ℝ$ und $g : D \to ℝ$ Funktionen mit der gleichen Definitionsmenge. Dann kann man die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Funktionen definieren durch:
  
  $\begin{matrix} f + g : D \to ℝ, & x \mapsto (f + g) (x) : = f (x) + g (x), \\ f \cdot g : D \to ℝ, & x \mapsto (f \cdot g) (x) : = f (x) \cdot g (x), \\ f - g : D \to ℝ, & x \mapsto (f - g) (x) : = f (x) - g (x) . \end{matrix}$
  Gilt $g (x) \neq 0$ für alle $x \in D$ , dann kann man auch den Quotienten definieren als:
  
  $\frac{f}{g} : D \to ℝ, x \mapsto (\frac{f}{g}) (x) : = \frac{f (x)}{g (x)} .$
  
  Beispiel 4beispiel_4
  Gegeben seien die beiden Funktionen $f, g : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = 2 x$ . Wir bilden die neuen Funktionen (Summe und Produkt) mit Definitionsmenge $ℝ$ . Die Wertemenge $ℝ$ bleibt unverändert.
  
  $(f + g) (x) = f (x) + g (x) = x - 3 + 2 x = 3 x - 3$
  und
  
  $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x) = (x - 3) \cdot 2 x = 2 x^{2} - 6 x .$
  
  Beispiel 5beispiel_5
  Gegeben seien die beiden Funktionen $f, g : D \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x^{2} + 4$ und $g (x) = 3 x + 1$ mit der gemeinsamen Definitionsmenge
  
  $D = {x | x > - \frac{1}{3}} .$
  Die Quotientenbildung ist möglich, da $g (x) \neq 0$ für alle Argumente $x$ aus $D$ . Es ergibt sich folgende neue Funktion (Quotient) mit dem Definitionsbereich $D$ :
  
  $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{3 x^{2} + 4}{3 x + 1} .$
  
  Definition 8definition_8
  Seien $f$ und $g$ Funktionen mit $D_{f}, D_{g} \subset ℝ$ und Zielmenge $ℝ$ . Ein Punkt $(x; y)$ heißt Schnittpunkt von $f$ und $g$ , genau dann wenn $x \in D_{f}, x \in D_{g}$ und $y = f (x) = g (x)$ gilt.
  
  Bemerkung
  
  Auch Berührpunkte sind Schnittpunkte.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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