Intro Funktionen

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Funktionsbegriff

Was ist eine Funktion?

Der Begriff der Funktion ist in der Mathematik sehr allgemein gefasst. Wir beschränken uns hier auf Funktionen, die eine reelle Zahl $x$ mithilfe einer Funktionsvorschrift in eine reelle Zahl $y$ überführen. Da die Zielmenge, in der die Funktionswerte liegen, hier also stets die reellen Zahlen sind, nennt man diese Funktionen reellwertige Funktionen. Die Definitionsmenge ist dabei ein wesentlicher Bestandteil der Definition einer Funktion, eine Funktionsvorschrift alleine reicht nicht aus! Mit dem Zeichen $\subset$ bezeichnet man eine Teilmenge. Der Ausdruck $D\subset ℝ$ bedeutet also beispielsweise, dass die Definitionsmenge $D$ eine Teilmenge der reellen Zahlen $ℝ$ umfasst. Beispiel $1$: Die Funktionen $f,g:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=x^2$ und $g(x)=x^2+7x-3x-4x$ sind gleich, da $D_f=D_g,Z_f=Z_g$ und $f(x)=g(x)$ gilt. Beispiel $2$: Die Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=x^2$ und $g:[0;2]\to ℝ$ mit $g(x)=x^2$ sind zwei verschiedene Funktionen, da ihre Definitionsbereiche nicht gleich sind. Die Funktion $g$ beschreibt also nur den Teil der Funktion $f$, der die Werte zwischen $0$ und $2$ für $x$ annimmt.

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Wertetabelle

Zu einer Funktion $f$ gehören also eine Definitionsmenge und eine Funktionsvorschrift, beispielsweise:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& f:ℝ\to ℝ,\hfill & \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{,}& f(x)=\mathrm{0,5}·(x-2{)}^2+\mathrm{0,7}.\hfill & \hfill \end{array}}$
Den Verlauf einer Funktion kann man sich graphisch veranschaulichen. Zum Graph einer Funktion gehören sämtliche Wertepaare $(x;y)$, für die $y=f(x)$ gilt. Die Menge aller reellen Zahlenpaare $(x;y)$ bezeichnet man auch als $ℝ{}^2$, d.h. der Graph $G$ von $f$ ist eine Teilmenge des $ℝ{}^2$:
${\displaystyle G(f)=\{(x;y)\in ℝ{}^2\hspace{0.5em}|\hspace{0.5em}y=f(x)\}.}$
Zeichnen kann man dagegen meist nur einen kleinen Ausschnitt eines Graphen, der nicht notwendigerweise alle wesentlichen Eigenschaften der Funktion erkennen lässt. Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, liefert eine Wertetabelle Anhaltspunkte.

bereich_2 Folgende Wertetabelle wurde also für die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f(x)=\mathrm{0,5}·(x-2{)}^2+\mathrm{0,7}$ erstellt:

$x$	$f(x)$
$-4$	$\mathrm{18,7}$
$-2$	$\mathrm{8,7}$
$-\mathrm{0,5}$	$\mathrm{3,825}$
$0$	$\mathrm{2,7}$
$1$	$\mathrm{1,2}$
$2$	$\mathrm{0,7}$
$3$	$\mathrm{1,2}$
$4$	$\mathrm{2,7}$
$\mathrm{5,5}$	$\mathrm{6,825}$
$8$	$\mathrm{18,7}$

Daraus kann man nun einen Graphen erstellen.
Es fragt sich allerdings, wie man den Graph zwischen zwei Punkten „durchzeichnet“. Mit Computern kann man in kürzester Zeit sehr viele Wertepaare berechnen und sie als Punkte dicht nebeneinander einzeichnen, sodass der Eindruck einer durchgezogenen Linie entsteht:
Hat man keinen Computer zur Verfügung, muss man sich den Verlauf durch mathematische Überlegungen erschließen.

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Definitions- und Wertemenge

Zusätzlich zur Definitionsmenge $D$ kann man für jede Funktion eine Wertemenge ermitteln, der genau die Elemente der Zielmenge enthält, die als Werte $f(x)$ vorkommen, wenn $x$ den Definitionsbereich „durchläuft“. Vielleicht ist Ihnen an diesem Beispiel auch schon aufgefallen, dass es manchmal zwei oder mehr $x$-Werte gibt, denen der gleiche Funktionswert zugeordnet wird, hier z.B. $x=1$ und $x=3$:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f(1)}& =\hfill & \mathrm{0,5}·(1-2{)}^2+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,5}·(-1{)}^2+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,5}·1+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{1,2}\hspace{0.5em},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\\ \multicolumn{1}{c}{f(3)}& =\hfill & \mathrm{0,5}·(3-2{)}^2+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,5}·(1{)}^2+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,5}·1+\mathrm{0,7}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{1,2}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
Dies ist erlaubt, weil es der Definition einer Funktion nicht widerspricht. Nicht erlaubt hingegen ist, dass einem $x$ mehrere $y$ zugeordnet werden. Kurven, bei denen dies auftritt, können deshalb nicht Graphen einer Funktion sein. Ist $f$ dagegen eine Funktion, so hat $f(x)$ immer genau einen Funktionswert. Ebenfalls erlaubt ist, dass für verschiedene Teilmengen der Definitionsmenge verschiedene Zuordnungsvorschriften genutzt werden, oder dass eine Funktion überall den gleichen Funktionswert annimmt. So sind folgende Beispiele erlaubte Funktionen:
Die Definitionsmenge $D$ muss auch nicht ganz $ℝ$ umfassen, sondern kann beispielsweise auch nur aus den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ oder aus einem Intervall aus $ℝ$ bestehen. Man kann an folgendem Test erkennen, ob eine Kurve Graph einer Funktion $f:D\to ℝ$ ist: Für jedes $x\in D$ muss die Parallele zur $y$-Achse durch $x$ die Kurve genau einmal schneiden. Dieser Test wir auch „Vertikale-Linie-Test“  genannt.