• Intro Funktionen
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      Datum Sep 28, 2026
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      Wichtige Funktionen

      Einige Klassen von Funktionen treten besonders häufig auf: Polynomfunktionen (wie lineare, quadratische, kubische Funktionen), trigonometrische Funktionen sowie Exponential - und Logarithmusfunktionen.
      Im Folgenden werden lineare, quadratische und kubische Funktionen behandelt. Auf trigonometrische Funktionen, sowie Exponential - und Logarithmusfunktionen wird im Kurs „Höhere Funktionen“  eingegangen.
      Lineare Funktionen sind dadurch definiert, dass sie die Variable x nur in erster Potenz enthalten. Sie besitzen also im Allgemeinen die folgende Form (für konstante Zahlen m,b∈ℝ)
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=mx+b
      Für b=0 entsteht eine konstante Funktion.
      Aufgabe 11
      Überlegen Sie sich, welche Parameter m und b Sie in die Funktionsvorschrift f(x)=mx+b einsetzen müssen, um eine lineare Funktion f:ℝ→ℝ zu finden, die durch die Punkte (0;4) und (4;0) verläuft. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe des Applets!

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      Um eine solche Funktion zu finden, kann man entweder ein lineares Gleichungssystem aufstellen (mehr dazu im Kurs „Lineare Gleichungssysteme“) oder folgende Überlegung anstellen:
      Wenn eine lineare Funktion durch die Punkte (0;4) und (4;0) verläuft, heißt das, dass ihr Funktionswert um 4 kleiner werden muss (von y=4 bei x=0 zu y=0 bei x=4), wenn man in x-Richtung 4 Stellen weiter geht. Da sie linear ist, heißt das gleichzeitig, dass ihr Funktionwert immer um 1 abnehmen muss, wenn man 1 Stelle in x-Richtung weiter geht. Daher ist ihre Steigung b=-1 (Minus, weil der Funktionswert kleiner wird, wenn der für x eingesetzte Wert zunimmt).
      Der Achsenabschnitt y=4 (bei x=0) war gegeben. Da der Parameter m den Achsenabschnitt einer linearen Funktion festlegt, muss m=4 sein, sodass man die gesuchte lineare Funktion erhält:
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=4+(-1)·x=4-x für alle x∈ℝ
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      Datum Sep 28, 2026
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      Quadratische Funktionen können Terme bis zur zweiten Potenz von x enthalten. Sie besitzen also im Allgemeinen die folgende Form:
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=a x2 +bx+c für alle x∈ℝ
      wobei a,b,c konstante Zahlen sind, für die b,c∈ℝ und a∈ℝ \ {0} gilt (das heißt, a darf nicht Null sein).
      Man kann die Funktionsvorschriften quadratischer Funktionen auch so ausdrücken, dass man direkt ihre Extremstelle ablesen kann:
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=r·(x-s )2 +t für alle x∈ℝ
      wobei r,s,t konstante Zahlen sind, für die s,t∈ℝ und r∈ℝ \ {0} gilt (das heißt, r darf nicht Null sein).
      Man kann diese „Scheitelpunktform“ in die oben angegebene Polynomdarstellung umrechnen, indem man die Klammer auflöst:

      f(x) = r·(x-s )2 +t = r·( x2 -2xs+ s2 )+t = r x2 -2rsx+r s2 +t .

      Durch Vergleich kann man ablesen: c=r s2 +t, b=-2rs und a=r.
      Beachten Sie, dass für r=0 keine quadratische Funktion vorliegt!
      Aufgabe 12
      Versuchen Sie mithilfe des Applets, eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit Extremstelle (3;2) ist.

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      Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
      Man muss r=3 und s=2 wählen, damit der Scheitelpunkt bei (3;2) liegt.
      Vom Vorzeichen des Parameters r hängt es ab, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.
      Der Parameter s verschiebt die ganze Parabel in y-Richtung.
      Man muss s=3 und t=2 wählen, damit der Scheitelpunkt bei (3;2) liegt.
      Der Parameter t beeinflusst, wie steil die Parabel ansteigt.
      Kontrolle
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      Die Parameter der Scheitelpunktform erlauben es, den Scheitelpunkt direkt abzulesen. Hierbei gibt s den x-Wert an und t den y-Wert des Scheitelpunktes.
      Ändert man den Wert von s, so verschiebt sich die Parabel in x-Richtung. Ändert man t, so verschiebt sie sich nach oben oder unten.
      Der Parameter r beeinflusst, wie steil die Parabel ansteigt und ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.
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      Kubische Funktionen, deren Funktionsvorschrift ein Polynom dritten Grades ist, können Terme bis zur dritten Potenz von x enthalten. Sie besitzen also im Allgemeinen die folgende Form:
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=a x3 +b x2 +cx+d für alle x∈ℝ .
      wobei a,b,c,d konstante Zahlen sind, für die b,c,d∈ℝ und a∈ℝ \ {0} gilt (das heißt, a darf nicht Null sein).
      Aufgabe 13
      Untersuchen Sie die Kurvenschar mit allgemeiner Funktionsvorschrift f(x)=a x3 +b x2 +cx+d für a,b,c,d∈ℝ mithilfe des Applets. Was passiert, wenn Sie a=0 und b=0 setzen?

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      Die Funktion ist nicht mehr definiert.
      Sie erhalten eine lineare Funktion.
      Sie erhalten eine quadratische Funktion.
      Kontrolle
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      Sie erhalten eine lineare Funktion, denn für a=0 und b=0 ergibt sich:
        f(x)=a x3 +b x2 +cx+d = 0· x3 +b· x2 +cx+d = cx+d.

      Funktionen höheren Grades erhält man dadurch, dass man die Zuordnungsvorschrift um weitere Terme mit höheren Potenzen von x ergänzt.
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      Trigonometrische Funktionen

      Unter trigonometrischen Funktionen versteht man unter Anderem die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Als bekannteste Funktionen werden hier die Sinus- und Cosinus-Funktion gezeigt.
      Die Sinusfunktion ist wie folgt definiert
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=sin(x) für alle x∈ℝ
      und in der folgenden Abbildung dargestellt. Man erkennt, dass ihre Funktionswerte sich periodisch wiederholen. Die Periodizität beträgt 2π. Das heißt, wenn der Wert von x um ein Vielfaches von 2π=6,283... zunimmt, bleibt der Funktionswert identisch.
      5_kv_plot_sinus.png
      Man kann eine allgemeinere Sinusfunktion folgendermaßen definieren (wobei a,b,c,d∈ℝ konstante Zahlen sind und a,b≠0 gelten muss)
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=a·sin(bx+c)+d für alle x∈ℝ .
      Aufgabe 14
      Untersuchen Sie mithilfe des Applets, welcher Parameter welche Veränderung bewirkt!

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      Ordnen Sie den Parametern a, b, c und d die Veränderungen „Verschiebung in x-Richtung“, „Verschiebung in y-Richtung“, „Streckung in y-Richtung (Amplitude)“  und „Streckung in x-Richtung (Periodizität)“  zu.
      Kontrolle
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      Der Parameter a ändert die Amplitude der Sinuskurve, b ändert die Periodizität, c verschiebt die Kurve in x-Richtung und d verschiebt sie in y-Richtung.
      Die allgemeine Cosinusfunktion ist analog dazu definiert (wobei a,b,c,d∈ℝ konstante Zahlen sind und a,b≠0 gelten muss).
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=a·cos(bx+c)+d für alle x∈ℝ .
      Die Parameter bewirken hier jeweils das gleiche wie bei der Sinuskurve, nur dass der Ausgangspunkt ein anderer ist: Während die nicht verschobene Sinuskurve bei x=0 einen Nulldurchgang besitzt, besitzt die nicht verschobene Cosinusfunktion an der Stelle x=0 ein Maximum.

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      Aufgabe 15
      Untersuchen Sie, wie Sie die Parameter der beiden Funktionen wählen können, damit Sinus- und Cosinusfunktion die gleiche Kurve ergeben.
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      Eine Möglichkeit ist, a, b und d gleich zu wählen, c muss den Phasenunterschied zwischen Sinus- und Cosinusfunktion ausgleichen und darum um b· π 2 unterschiedlich gewählt werden.
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      Exponential- und Logarithmusfunktion

      Die Exponentialfunktion f ist wie folgt definiert
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=a· bx ,
      wobei a∈ℝ und b∈ℝ+ konstante Zahlen sind und b Basis genannt wird.
      Aufgabe 16
      Wählen Sie im Applet a=1. Bei welchem Wert von b ändert sich die Exponentialfunktion von einer monoton fallenden Funktion zu einer monoton steigenden Funktion?

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      b=
      Kontrolle
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      Bei Werten b<1 ist die Exponentialfunktion monoton fallend. Das heißt, die Funktionwerte nehmen immer weiter ab, je größer die eingesetzten x-Werte werden.
      Für b=1 ergibt sich eine konstante Funktion.
      Für b>1 ergibt sich eine monoton steigende Funktion. Das heißt, die Funktionswerte nehmen mit steigenden x-Werten zu.
      Bei b=1 ändert sich also das Monotonieverhalten der Funktion.
      Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f(x)= ax ist die Logarithmusfunktion, die wie folgt definiert ist:
      f:ℝ+ →ℝ mit f(x)= loga (x),
      wobei a∈ℝ+  \ {1} Basis genannt wird.
      Hierbei ist wichtig, dass der Logarithmus nur für positive Werte von x definiert ist und dass als Basis a nur positive Werte ≠1 gewählt werden dürfen.
      Im Allgemeinen werden alle Funktionen der Art f(x)=c· loga(x) mit c∈ℝ und a∈ℝ \  1 als Logarithmusfunktionen bezeichnet.
      Aufgabe 17
      Was bleibt immer gleich, wenn Sie die Basis der Logarithmusfunktion ändern?

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      Beachten Sie, dass als Parameter nicht b=1 gewählt werden darf, weil die Logarithmusfunktion dafür nicht definiert ist (siehe oben).
      Der Schnittpunkt mit der x-Achse.
      Der Schnittpunkt mit der y-Achse.
      Die Steigung am Punkt (1;0).
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      Die Basis der Logarithmusfunktion entspricht im Applet dem Parameter b. Ändert man ihn, so ändert sich die Steigung des Graphs.
      Gleich bleibt hingegen die Tatsache, dass er an dem Punkt (1;0) die x-Achse schneidet.
      Sowohl mit der Exponential- als auch mit der Logarithmusfunktion beschäftigt sich sowohl die Langversion dieses Kurses als auch der Kurs Potenzen, Wurzeln, Logarithmen.
      Einstiegsaufgabe
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