Topic: Inhalte mit Erklärungen | Lineare Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Lineare Funktionen
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_lineare_
  
  Lineare Funktionen
  
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  Lineare Funktionen
  
  Definition 1definition_1
  Eine Funktion $f : ℝ \to ℝ$ heißt lineare Funktion, wenn sie für zwei reelle Zahlen $m$ und $b$ durch $f (x) = mx + b$ beschrieben werden kann.
  
  Bemerkungen
  
  $m$ und $b$ werden auch Parameter genannt.
  
  Oft schreibt man bei linearen Funktionen $y = m x + b$ anstelle von $f (x) = m x + b$ .
  
  Wenn $m \neq 0$ und $b = 0$ ist, spricht man von einer proportionalen Zuordnung oder proportionalen Funktion. Diese verläuft immer durch den Ursprung und erfüllt die Gleichung $f (a \cdot x) = a \cdot f (x)$ .
  
  Haben wir eine lineare Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Zuordnung
  $y = m x + b mit m \neq 0,$
  so wird jeder Funktionswert $y$ an genau einer Stelle angenommen, nämlich bei:
  $x = \frac{y - b}{m} .$
  
  Im Ausnahmefall $m = 0$ besitzen alle Argumente $x$ den Funktionswert $y = b$ . Funktionswerte $y \neq b$ werden in diesem Fall nicht angenommen.
  
  Man erkennt lineare Funktionen manchmal erst nach dem Umformen der Funktionsvorschrift. So ist beispielsweise die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 4 x - 2 x^{2} + 1 + x^{2} + 7 + x^{2}$ auch eine lineare Funktion, da man durch Umformung sieht, dass $f$ als $f (x) = 4 x + 8$ dargestellt werden kann.
  
  Eine Gerade ist eindeutig durch Vorgabe von zwei verschiedenen Punkten festgelegt. Deshalb kann man bei Vorgabe zweier Punkte $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ mit $x_{1} \neq x_{2}$ auch genau eine lineare Funktion finden, deren Graph durch diese beiden Punkte verläuft. Es muss gelten
  $y_{1} = m x_{1} + b und y_{2} = m x_{2} + b .$
  Hieraus folgt durch Subtraktion der beiden Gleichungen
  $y_{2} - y_{1} = m (x_{2} - x_{1}) .$
  Da $x_{2} - x_{1} \neq 0$ ist, ergibt sich
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} .$
  Setzt man $m$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, so bekommt man (Einsetzen in die erste Gleichung):
  $y_{2} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} x_{2} + b,$
  bzw.
  $\begin{matrix} b & = & y_{2} - \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} x_{2} \\ = & \frac{y_{2} (x_{2} - x_{1}) - (y_{2} - y_{1}) x_{2}}{x_{2} - x_{1}} \\ = & \frac{x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}} . \end{matrix}$
  Damit sind $m$ und $b$ bestimmt und man kann die Funktionsvorschrift eindeutig angeben.
  
  Satz 1satz_1
  Eine lineare Funktion wird durch die Vorgabe der Funktionswerte an zwei verschiedenen Stellen eindeutig festgelegt.
  
  Video 3video_3
  
  In diesem Video wird aus zwei gegebenen Punkten die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion bestimmt.
  
  Ist eine lineare Funktion $f : ℝ \to ℝ$ ; $f (x) = m x + b$ gegeben, so gilt für zwei beliebige Argumente $x_{1} \neq x_{2}$ mit Funktionswerten $y_{1}$ bzw. $y_{2}$ die Beziehung
  
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} .$
  Unabhängig von den gewählten Punkten stellt sich dasselbe Verhältnis der Differenz der Funktionswerte zur Differenz der Argumente ein: Die Steigung ist konstant, nämlich $m \in ℝ$ . Die Punkte $P_{1} = (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} = (x_{2}; y_{2})$ kann man zusammen mit dem Hilfspunkt $P_{H} (x_{2}; y_{1})$ in ein Koordinatensystem einzeichnen und als Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Dieses Dreieck heißt Steigungsdreieck. Der Parameter $m$ ergibt sich als Streckenverhältnis des Steigungsdreiecks.
  
  Bild 5 Steigungsdreieck
  
  Zur Verdeutlichung der konstanten Steigung betrachten wir Argumente, die jeweils im Abstand $Δ x$ (siehe Bild „Treppe der Steigungsdreiecke“) auf der Zahlengerade aufeinander folgen
  $\begin{matrix} x_{1} & = & x_{0} + Δ x, \\ x_{2} & = & x_{1} + Δ x = x_{0} + 2 \cdot Δ x, \\ x_{3} & = & x_{2} + Δ x = x_{0} + 2 \cdot Δ x + Δ x = x_{0} + 3 \cdot Δ x, \\ \dots \\ x_{k} & = & x_{0} + k \cdot Δ x . \end{matrix}$
  Für die zugehörigen Funktionswerte gilt dann
  
  $y_{k} = m x_{k} + b = m (x_{0} + k \cdot Δ x) + b = m x_{0} + b + m k \cdot Δ x$
  und
  $\frac{y_{k + 1} - y_{k}}{x_{k + 1} - x_{k}} = m, d.h. y_{k + 1} - y_{k} = m \cdot Δ x .$
  
  Bild 6 Treppe der Steigungsdreiecke
  
  Diese Eigenschaft einer linearen Funktion kann man verbal auch so beschreiben: „Zu gleichen Zuwächsen $Δ x$ gehören immer gleiche Zuwächse $Δ y = m \cdot Δ x$ .“
  
  Info 1info_1
  Der Graph einer linearen Funktion $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = m x + b$ (mit $m, b \in ℝ$ ) ist eine Gerade. Man bezeichnet $m$ als Anstieg bzw. Steigung und $b$ als $y$ -Achsenabschnitt der Geraden. Der Anstieg kann jedem Steigungsdreieck entnommen werden.
  
  Bild 7 $y$ -Achsenabschnitt einer Geraden
  
  Eine ähnlich wichtige Rolle wie der Schnittpunkt einer Geraden mit der $y$ -Achse spielt der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.
  
  Definition 2definition_2
  Sei $f : ℝ \to ℝ$ eine lineare Funktion mit $f (x) = m x + b$ und $m, b \in ℝ$ . Eine Zahl $x_{0} \in ℝ$ heißt genau dann Nullstelle, wenn $f (x_{0}) = {mx}_{0} + b = 0$ gilt.
  
  Ist $m \neq 0,$ so besitzt eine lineare Funktion genau eine Nullstelle, da die Gleichung
  
  $0 = m x_{0} + b$
  genau eine Lösung hat:
  
  $x_{0} = - \frac{b}{m} .$
  
  Bemerkung
  
  Die Nullstelle ist die Stelle, an welcher der Graph von $f$ die x-Achse schneidet.
  
  Ist $m = 0$ , so ist entweder jede Stelle eine Nullstelle oder keine Stelle eine Nullstelle.
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Sei $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = - 4 x + 8$ . Dann ist $x_{0} = 2$ eine Nullstelle, denn $- 4 \cdot 2 + 8 = - 8 + 8 = 0$ .
  
  Wie bei den Stromtarifen und der Frage nach dem günstigsten Tarif stellt sich allgemein das Problem, den Schnittpunkt der Graphen zweier linearer Funktionen zu finden. Seien die Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = m_{1} \cdot x + b_{1}$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = m_{2} \cdot x + b_{2}$ für alle $x \in ℝ$ mit $m_{1}, m_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℝ$ gegeben.
  Für einen Schnittpunkt $(x_{s}; y_{s})$ muss gelten
  $m_{1} \cdot x_{s} + b_{1} = m_{2} \cdot x_{s} + b_{2}$
  und man erhält
  $(m_{1} - m_{2}) \cdot x_{s} = b_{2} - b_{1} .$
  Ist $m_{1} \neq m_{2}$ , so bekommen wir genau einen Schnittpunkt $S = (x_{s}; y_{s})$ mit
  $x_{s} = \frac{b_{2} - b_{1}}{m_{1} - m_{2}}, y_{s} = m_{1} x_{s} + b_{1} .$
  Ist $m_{1} = m_{2}$ , so ist stets
  
  $(m_{1} - m_{2}) \cdot x = 0 .$
  Die Geraden fallen dann zusammen, falls zusätzlich $b_{1} = b_{2}$ gilt. Falls aber $b_{1} \neq b_{2}$ gilt, haben wir parallele Geraden, die nicht zusammenfallen und keinen Schnittpunkt besitzen.
  
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  Satz 2satz_2
  Die Graphen zweier linearer Funktionen können sich in genau einem Punkt schneiden, zusammenfallen oder parallel sein.
  
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