• Chapter 1 Studifinder - 1.5  Elementare Funktionen - Quadratische Funktionen

      Inhalte mit Erklärungen

      Datum Sep 28, 2026
      orca_elmtfkt_quadratische_
      Quadratische Funktionen
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      Das Beispiel des Ballwurfs hat gezeigt, dass quadratische Funktionen u.a. in folgenden zwei Aspekten von linearen Funktionen abweichen. Sieht man bei einer linearen Funktion vom Sonderfall der Parallelen zur x-Achse m=0 ab, so werden erstens alle Zahlen auf der y-Achse als Werte angenommen und zweitens besitzen alle diese Werte genau ein Urbild. Beim Ballwurf liegen die Dinge anders. Die Scheitelhöhe kann der Ball nicht überschreiten und gewisse Höhen wurden zu zwei verschiedenen Zeiten durchlaufen.
      Wir betrachten zunächst die Funktion, die durch f:ℝ→ℝ , y=f(x)= x2 für alle x∈ℝ gegeben wird. Den Graphen dieser Funktion nennt man auch die Normalparabel. Die Funktion kann keine Funktionswerte annehmen, die negativ sind, denn ein Quadrat ist immer größer oder gleich Null. Daraus ergibt sich Null als minimaler Funktionswert von f. Dagegen wird jeder y-Wert oberhalb des Minimums tatsächlich als Funktionswert angenommen.
      Der Minimalwert y=0 wird an der Stelle x=0 angenommen. Den Punkt (0;0) nennt man Scheitelpunkt.
      Geben wir y>0 vor, dann gibt es allerdings zwei Stellen x1 , x2 , die den Funktionswert y haben, nämlich
      x1 =y    und     x2 =-y

      mit
      x1 2 =(y )2 =y    und     x2 2 =(-y )2 =y.

      (Mit Wurzeln beschäftigt sich der Kurs Wurzeln, Potenzen, Logarithmen ausführlicher.)
      5_lv_parabel_ergaenzt.png
      Bild 6 Die Parabel y= x2 .
      Die allgemein gestreckte Parabel wird als folgende Funktion definiert

      f:ℝ→ℝ, y=a x2     mit  a∈ℝ \ {0}.


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      Der Scheitelpunkt liegt hier immer im Punkt (0;0).
      Im Folgenden sind zwei Fälle zu unterscheiden:
      1. a<0: Die Funktion hat in x=0 ihr Maximum und
      2. a>0: Die Funktion hat bei x=0 ein Minimum.
      Begründung:
      1. a<0: Für x∈ℝ \ {0}, x≠0, ist x2 >0, also a x2 <0.
      2. a>0: Für x∈ℝ \ {0}, x≠0, ist x2 >0, also a x2 >0.
      Das Vorzeichen des Parameter a gibt also die Öffnungsrichtung der Parabel an. Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet und für a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
      5_lv_hop.png 5_lv_tip.png
      Bild 7 Parabel, die zur Funktion f:ℝ→ℝ mit f(x)=- 1 2 x2 gehört, mit Scheitelpunkt als Maximum (links) und Parabel zur Funktion g:ℝ→ℝ mit g(x)=2 x2 mit Scheitelpunkt als Minimum (rechts)
      Man nennt a auch den Streckfaktor. Je größer der Betrag von a ist, desto stärker ist die Parabel in y-Richtung gestreckt.
      Sei a>0. Wir betrachten die Breite der Parabel auf der Höhe y=1. Dort gilt a x1 2 =a x2 2 =1. Also sind die dazugehörigen x-Werte x1 =- 1 a und x2 =+ 1 a . Die Breite der Parabel an dieser Stelle beträgt also x2 - x1 = 2 a . Das heißt, je größer a ist, desto schmaler ist die Parabel bei y=1. Äquivalent lässt sich daraus herleiten, dass je größer der Betrag für a wird, desto schmaler wird die Parabel.
      5_lv_parabel_gestreckt_01.png
      Als Nächstes werden wir den Graphen der Parabel in y-Richtung verschieben. Addiert man einen konstanten Wert zum Funktionsterm, so wird die Parabel parallel zur y-Achse verschoben. Beispielsweise wird die um zwei Einheiten nach oben verschobene Normalparabel durch die Funktionsvorschrift y= x2 +2 und die um drei Einheiten nach unten verschobene Normalparabel durch y= x2 -3 beschrieben.
      5_lv_scheitno.png 5_lv_scheitnu.png
      Bild 8 Links: f:ℝ→ℝ mit f(x)= x2 +2 und Scheitelpunkt bei (0;2). Rechts: g:ℝ→ℝ mit g(x)= x2 -3 und Scheitelpunkt bei (0;-3).
      Eine Verschiebung in x - Richtung erhält man durch Subtraktion eines konstanten Werts von der Variablen x im Funktionsterm. So wird die um vier Einheiten nach links verschobene Normalparabel durch die Funktionsvorschrift y=(x+4 )2 und die um zwei Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel durch y=(x-2 )2 dargestellt.
      5_lv_scheitnl.png 5_lv_scheitnr.png
      Bild 9 Links g:ℝ→ℝ, g(x)=(x+4 )2 mit Scheitelpunkt bei (-4;0). Rechts: h:ℝ→ℝ, h(x)=(x-2 )2 mit Scheitelpunkt (2;0).
      Wir können die Normalparabel auch in x- und y- Richtung verschieben. So hat die um drei Einheiten nach unten und um zwei Einheiten nach links verschobene Normalparabel die Funktionsvorschrift y=(x+2 )2 -3 .
      5_lv_scheitnlu.png
      Bild 10 k:ℝ→ℝ, y=(x+2 )2 -3 mit Scheitelpunkt (-2;3).
      Es lässt sich aus dem Beispiel allgemein vermuten, dass bei einer Funktion f:ℝ→ℝ mit f(x)=(x- xs )2 + ys und xs , ys ∈ℝ der Scheitelpunkt bei ( xs , ys ) liegt und dort den Tiefpunkt darstellt.
      Diese Vermutung stimmt, da (x- xs )2 >=0 durch das Quadrat gilt. Der kleinste Funktionswert wird also erreicht, wenn x= xs und damit f( xs )= ys angenommen wird.
      Wird die Funktionsvorschrift um den Streckfaktor a ergänzt, so erhält man

      y=a(x- xs )2 + ys    ⟺    y- ys a =(x- xs )2    

      und demnach

      x1,2 = xs ± y- ys a  .

      Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ werden. Für a>0 muss also y> ys gelten und für a<0 muss y< ys gelten. Die Parabel ist also für positive Streckfaktoren a nach unten geöffnet, da nur größere Funktionswerte als ys angenommen werden. Äquivalent ist die Parabel für negative Streckfaktoren a nach oben geöffnet, da nur kleinere Funktionswerte als ys angenommen werden. Für die übrigen Funktionswerte mit Ausnahme von y= ys erhalten wir genau zwei Urbilder.
      5_lv_hopa.png 5_lv_tipa.png
      Bild 11 Parabel f:ℝ→ℝ:, y=a(x- xs )2 + ys mit Scheitelpunkt als Maximum bzw. Minimum

      Video 3
      In diesem Video wird gezeigt, wie sich die Parameter der Scheitelpunktsform bei quadratischen Funktionen auf den Funktionsgraphen auswirken.
      Satz 1
      Bei einer Parabel, die als Graph der Funktion
      f:ℝ→ℝ,  y=a(x- xs )2 + ys

      mit    a≠0,  a, xs , ys ∈ℝ gegeben ist, haben wir für a<0 einen Hochpunkt und für a>0 einen Tiefpunkt im Scheitel.

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      Wir wollen eine andere Darstellung des Funktionsterms. Dafür multiplizieren wir die Scheitelpunktform der Parabelgleichung y=a(x- xs )2 + ys multiplizieren wir aus und ordnen nach Potenzen von x:

      y = a(x- xs )2 + ys = a( x2 -2 xs x+ xs 2 )+ ys = a x2 -2a xs x+a xs 2 + ys .

      Dies führt auf die allgemeine quadratische Funktionsvorschrift der Form:

      y=a x2 +bx+c

      mit b=-2a xs und c=a xs 2 + ys
      Definition 1
      Funktionen f:ℝ→ℝ, die für alle x∈ℝ als f(x)=a x2 +bx+c mit beliebigen, konstanten Zahlen a,b,c∈ℝ und a≠0 dargestellt werden können, heißen quadratische Funktionen. Diese Darstellung nennt man auch Normalform.
      Info 1
      Die Graphen quadratischer Funktionen heißen Parabeln.
      Für den Parameter a∈ℝ wurde a≠0 gefordert. Für a=0 erhalten wir den Sonderfall der bereits bekannten linearen Funktionen.

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      Wir haben gesehen, dass Funktionen f:ℝ→ℝ, die als f(x)=a(x- xs )2 + ys dargestellt werden können, auch in die Form f(x)=a x2 +bx+c gebracht werden können. Wenn dies auch umgekehrt gilt, kann man aus der Normalform die Scheitelpunktform ermitteln und daraus den jeweiligen Scheitelpunkt ablesen.
      Wir nehmen die quadratische Ergänzung (siehe Kurs Terme und Gleichungen) zu Hilfe und schreiben die Formel einer quadratischen Funktion (mit a≠0) folgendermaßen um:
      y = a x2 +bx+c = a( x2 +2 b 2a x+ b2 4 a2 )+c- b2 4a = a (x+ b 2a )2 +c- b2 4a

      Aufgabe 4
      Prüfen Sie die Überführung in die Scheitelpunktform nach.
      Lösung anzeigen
      [Ausblenden]
      Wir zeigen mithilfe quadratischer Ergänzung
      a x2 +bx+c=a (x+ b 2a )2 +c- b2 4a .


      a x2 +bx+c = a( x2 + b a x)+c = a( x2 + b a x+ ( b 2a )2 - ( b 2a )2 )+c = a( x2 + b a x+ ( b 2a )2 )+c-a ( b 2a )2 = a ( x2 + b 2a )2 +c- b2 4a .


      [Ausblenden]
      Im Sonderfall y=a x2 sind Normal- und Scheitelpunktform also identisch. Das erkennt man, indem man in obiger Gleichung b=0 und c=0 einsetzt.
      Definition 2
      Der Punkt
      ( xs ; ys )=(- b 2a ;c- b2 4a ) mit  a,b,c∈ℝ  und  a≠0

      heißt Scheitelpunkt der Parabel y=a x2 +bx+c.
      Bemerkungen
      • Im Fall a<0 stellt der Scheitelpunkt einen Hochpunkt dar. Der Scheitelwert ist das Maximum aller Funktionswerte.
      • Im Fall a>0 stellt der Scheitelpunkt einen Tiefpunkt dar. Der Scheitelwert ist das Minimum aller Funktionswerte.

      Video 4
      In diesem Video werden die Formeln für die Koordinaten des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion erläutert.
      Wir haben gesehen: Eine Gerade wird durch zwei verschiedene Punkte festgelegt. Die Geradengleichung y=mx+b wird mit Hilfe von zwei Paramtern (m,b) definiert. In die Gleichung einer Parabel y=a x2 +bx+c gehen drei Parameter ein ( a, b und c). Man kann vermuten, dass drei verschiedene Punkte eine Parabel festlegen. Unter Verwendung der Normalform führt dies zu einem System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, welches es zu lösen gilt. Übersichtlicher findet man die Parabelgleichung durch die Verwendung der Scheitelpunktsform, in dem man den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt kennt. Übersichtlicher wird das Problem, wenn man die Scheitelpunktform zugrunde legt.
      Seien ( xs ; ys ) der Scheitelpunkt und ( x0 ; y0 ) ein anderer Punkt auf der Parabel. Eine Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion f:ℝ→ℝ, die durch diese beiden Punkte verläuft, sei gesucht. Geht man von der Scheitelpunktform f(x)=a·(x- xs )2 + ys aus, so muss man a so wählen, dass die Parabel durch ( x0 ; y0 ) verläuft.
      Bemerkungen
      • Die y-Werte der beiden Punkte können nicht übereinstimmen, da der y-Wert im Scheitelpunkt nur einmal auf der Parabel vorkommt.
      • Auch die x-Werte der beiden Punkte können nicht übereinstimmen, weil dieser Punkt sonst keinen eindeutigen Funktionswert hätte (und es gilt ja y0 ≠ ys ).
      • Soll also eine Parabel durch einem Scheitelpunkt und einem zu ihm verschiedenen Punkt gefunden werden, so müssen sowohl die x- also auch die y-Koordinate der beiden Punkte verschieden sein.
      5_lv_parabel_finden.png
      Bild 12
      Info 2
      Es seien ein Punkt ( xs ; ys ) gegeben und ein weiterer Punkt ( x0 ; y0 ) mit x0 ≠ xs , y0 ≠ ys und x0 , y0 , xs , ys ∈ℝ. Dann gibt es genau eine Parabel, die ( xs ; ys ) als Scheitelpunkt besitzt und durch den Punkt ( x0 ; y0 ) geht.
      Begründung:
      Sei f(x)=a·(x- xs )2 + ys . Dann ist ( xs ; ys ) der Scheitelpunkt der Parabel. Dass auch der Punkt ( x0 ; y0 ) auf der Parabel liegt, bedeutet
      y0 =a·( x0 - xs )2 + ys    ⇔   a= y0 - ys ( x0 - xs )2  .

      Dies ist definiert, da x0 ≠ xs gilt. Da außerdem y0 ≠ ys gilt, ist a≠0 und es liegt tatsächlich eine quadratische Funktion vor.
      Es gibt einen weiteren wesentlichen Unterschied zwischen linearen und quadratischen Funktionen. Betrachten wir bei einer linearen Funktion f:ℝ→ℝ mit y=mx+b ( m,b∈ℝ) die Funktionswerte an der Stelle x und an der Stelle x+Δx. Dem Zuwachs Δx im Argument entspricht ein immer gleicher Zuwachs der Funktionswerte
      (m(x+Δx)+b)-(mx+b)=mΔx .

      Bei quadratischen Funktionen g:ℝ→ℝ mit y=a x2 +bx+c ist das nicht mehr der Fall. Dem Zuwachs Δx im Argument entspricht der Zuwachs der Funktionswerte:

      (a(x+Δx )2 +b(x+Δx)+c)-(a x2 +bx+c) = a(2xΔx+(Δx )2 )+bΔx .

      Der Zuwachs der Funktionswerte ist nicht unabhängig von der Stelle x, in welcher der Zuwachs im Argument abgetragen wird.
      Bei der Normalparabel nimmt die Steigung für x>0 mit wachsendem x zu, wie man an folgender Grafik erkennt:

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