Ergänzungen zur Trigonometrie

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a)
Mit dem Cosinussatz folgt für die Seite $c$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{c^2}& =\hfill & a^2+b^2-2ab·\cos (\gamma )\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{c^2}& =\hfill & 6^2+8^2-2·6·8·\cos ({53}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{c^2}& =\hfill & 100-96·\cos ({53}^{\circ })\approx \mathrm{42,23}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{c}& =\hfill & \sqrt{\mathrm{42,23}}\approx \mathrm{6,50}\hfill \end{array}}$
Wir betrachten bei der Seite $c$ nur das obige positive Ergebnis, da negative Ergebnisse ausgeschlossen werden können. Damit beträgt die Länge der Seite $c$ ungefähr $\mathrm{6,50}$ cm.
Falls zuerst gerundet wird, erhält man
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{c^2}& =\hfill & 100-96·\cos ({53}^{\circ })\approx 100-96·\mathrm{0,60}=\mathrm{42,40}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{c}& =\hfill & \sqrt{\mathrm{42,40}}\approx \mathrm{6,51}\hfill \end{array}}$
Im folgenden wird jedoch mit $c\approx \mathrm{6,50}$ weitergerechnet.
 
b)
Mithilfe des Sinussatzes kann zunächst der Sinus des Winkels $\beta$ bestimmt werden:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{b}{c}}& =\hfill & \frac{\sin (\beta )}{\sin (\gamma )}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\sin (\beta )}& =\hfill & \frac{\sin (\gamma )·b}{c}=\frac{\sin ({53}^{\circ })·8}{\mathrm{6,50}}\approx \frac{\mathrm{0,80}·8}{\mathrm{6,50}}=\mathrm{0,98}\hfill \end{array}}$
Mithilfe der Umkehrfunktion des Sinus ergibt sich für die Größe des Winkels $\beta$ somit:
${\displaystyle \beta =\arcsin (\mathrm{0,98})\approx 78,{52}^{\circ }}$
Die Größe des Winkels $\beta$ beträgt ungefähr $78,{52}^{\circ }$.
Die Winkelgröße von $\alpha$ lässt sich mithilfe die Winkelsumme im Dreieck bestimmen:
${\displaystyle \alpha ={180}^{\circ }-\beta -\gamma ={180}^{\circ }-{53}^{\circ }-78,{52}^{\circ }=48,{48}^{\circ }}$
Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt demnach ca. $48,{48}^{\circ }$.
Falls nicht direkt gerundet wird, erhält man
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\beta }& =\hfill & \arcsin \left(\frac{\sin ({53}^{\circ })·8}{\mathrm{6,50}}\right)\approx 79,{40}^{\circ }\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\alpha }& =\hfill & {180}^{\circ }-{53}^{\circ }-79,{40}^{\circ }=47,{60}^{\circ }\hfill \end{array}}$

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a)
Mit dem Cosinussatz folgt zunächst für $\cos (\alpha )$:
${\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc·\cos (\alpha )\iff \cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$
Nun setzen wir die gegebenen Seitenlängen ein und erhalten
${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{{\mathrm{7,2}}^2+9^2-{\mathrm{6,5}}^2}{2·\mathrm{7,2}·9}\approx \mathrm{0,70}}$
Mithilfe der Umkehrfunktion des Cosinus kann die Größe des Winkels $\alpha$ bestimmt werden:
${\displaystyle \alpha =\arccos (\mathrm{0,70})\approx 45,{57}^{\circ }}$
Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt somit ca. $45,{57}^{\circ }$.
Falls nicht vorher gerundet wird, erhält man
${\displaystyle \alpha =\arccos \left(\frac{{\mathrm{7,2}}^2+9^2-{\mathrm{6,5}}^2}{2·\mathrm{7,2}·9}\right)\approx 45,{65}^{\circ }}$
Im Folgenden wird mit $\alpha =45,{57}^{\circ }$ weitergerechnet.
 
b)
Der Sinussatz liefert nun für den Winkel $\beta$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{a}{b}}& =\hfill & \frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\sin (\beta )}& =\hfill & \frac{\sin (\alpha )·b}{a}=\frac{\sin (45,{57}^{\circ })·\mathrm{7,2}}{\mathrm{6,5}}\approx \frac{\mathrm{0,71}·\mathrm{7,2}}{\mathrm{6,5}}=\mathrm{0,79}\hfill \end{array}}$
Mithilfe der Umkehrfunktion des Sinus kann die Größe des Winkels $\beta$ bestimmt werden:
${\displaystyle \beta ={\sin }^{-1}(\mathrm{0,79})=52,{19}^{\circ }}$
Die Größe des Winkels $\beta$ beträgt ungefähr $52,{19}^{\circ }$
Ohne vorheriges Runden ergibt sich
${\displaystyle \beta =\arcsin \left(\frac{\sin (\mathrm{45,57})·\mathrm{7,2}}{\mathrm{6,5}}\right)\approx 52,{28}^{\circ }}$
Weitergerechnet wird mit dem Wert $\beta =52,{19}^{\circ }$.
 
c)
Der letzte Winkel lässt sich nun mithilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmen:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\gamma }& =\hfill & {180}^{\circ }-\alpha -\beta \hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & {180}^{\circ }-45,{57}^{\circ }-52,{19}^{\circ }\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 82,{24}^{\circ }\hfill \end{array}}$
Die Größe des Winkels $\gamma$ beträgt ca. $82,{24}^{\circ }$.
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Mit dem Sinussatz folgt:
${\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\gamma )}\iff \sin (\alpha )=\frac{a·\sin (\gamma )}{c}}$
Da der Winkel $\gamma$ gleich ${90}^{\circ }$ ist und der Sinus von ${90}^{\circ }$ genau $1$ beträgt, ergibt sich
${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{a·\sin ({90}^{\circ })}{c}=\frac{a·1}{c}=\frac{a}{c}}$

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Mit der ersten binomischen Formel folgt:
${\displaystyle (\sin (\alpha )+\cos (\alpha ){)}^2={\sin }^2(\alpha )+2·\sin (\alpha )·\cos (\alpha )+{\cos }^2(\alpha )}$
Mit ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$ folgt die Behauptung:
${\displaystyle (\sin (\alpha )+\cos (\alpha ){)}^2=1+2·\sin (\alpha )·\cos (\alpha )}$

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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\cos (2\alpha )}& =\hfill & \cos (\alpha +\alpha )\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \cos (\alpha )·\cos (\alpha )-\sin (\alpha )·\sin (\alpha )\hfill \end{array}}$
Mithilfe des trigonometrischen Pythagoras ${\cos }^2(\alpha )=1-{\sin }^2(\alpha )$ folgt die Behauptung:
${\displaystyle \cos (2\alpha )=1-{\sin }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )=1-2·{\sin }^2(\alpha )}$

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a)
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin ({75}^{\circ })}& =\hfill & \sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sin ({45}^{\circ })·\cos ({30}^{\circ })+\sin ({30}^{\circ })·\cos ({45}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}·\frac{1}{2}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\hfill \end{array}}$
b)
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\cos ({75}^{\circ })}& =\hfill & \cos ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \cos ({45}^{\circ })·\cos ({30}^{\circ })-\sin ({45}^{\circ })·\sin ({30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})\hfill \end{array}}$
c)
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin ({15}^{\circ })}& =\hfill & \sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \sin ({45}^{\circ })·\cos ({30}^{\circ })-\sin ({30}^{\circ })·\cos ({45}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}·\frac{1}{2}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})\hfill \end{array}}$
d)
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\cos ({15}^{\circ })}& =\hfill & \cos ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \cos ({45}^{\circ })·\cos ({30}^{\circ })+\sin ({45}^{\circ })·\sin ({30}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}·\frac{1}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\hfill \end{array}}$

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Durch den Schnitt der Diagonalen ergeben sich vier gleichschenklige Dreiecke in dem Rechteck. Für den Basiswinkel $\alpha$ ergibt sich:
${\displaystyle \alpha =\frac{{180}^{\circ }-{52}^{\circ }}{2}={64}^{\circ }}$
Mit dem Sinussatz folgt somit nach obiger Skizze für die Länge der Seite $b$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{\frac{f}{2}}{b}}& =\hfill & \frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }b}& =\hfill & \frac{f·\sin (\beta )}{2·\sin (\alpha )}=\frac{\mathrm{25,5}·\sin ({52}^{\circ })}{2·\sin ({64}^{\circ })}\approx \mathrm{11,18}\hfill \end{array}}$
Damit ergibt sich für die Seite $b$ eine Länge von ungefähr $\mathrm{11,18}$ cm.
Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Länge der Seite $a$ bestimmt werden:
${\displaystyle a^2=e^2-b^2={\mathrm{25,5}}^2-{\mathrm{11,18}}^2\approx \mathrm{525,26}}$

${\displaystyle a=\sqrt{\mathrm{525,26}}\approx \mathrm{22,92}}$
Die Länge der Seite $a$ beträgt ungefähr $\mathrm{22,92}$ cm. Hinweis:
Falls Sie mit gerundeten Zwischenergebnissen rechnen, erhalten Sie
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{b}& =\hfill & \frac{\mathrm{25,5}·\sin ({52}^{\circ })}{2·\sin ({64}^{\circ })}\approx \frac{\mathrm{25,5}·\mathrm{0,79}}{2·\mathrm{0,90}}\approx \mathrm{11,19}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{a}& =\hfill & \sqrt{e^2-b^2}=\sqrt{{\mathrm{25,5}}^2-{\mathrm{11,19}}^2}\approx \mathrm{22,91}\hfill \end{array}}$

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