Ergänzungen zur Trigonometrie

Anwendung

bereich_5 Vermessungstechnik
Manchmal kommt es vor, dass eine Strecke aufgrund des unzugänglichen Geländes nicht direkt gemessen werden kann. Ein in der Vermessungstechnik angewandtes Verfahren, um diese Strecken dennoch vermessen zu können, ist das sogenannte Vorwärtsschneiden nach zwei Punkten. Hierzu wird im zugänglichen Gelände eine sogenannte Standlinie mit den Endpunkten $A$ und $B$ abgemessen. Von diesen Punkten werden die Punkte $C$ und $D$ der zu messenden Seite $x$ angepeilt und die in der folgenden Abbildung dargestellten Winkel gemessen. Gesucht ist die Länge der Seite $x$.
Gemessen wurden die folgenden Winkelgrößen:
${\displaystyle {\alpha }_1={47}^{\circ },{\alpha }_2={53}^{\circ },{\beta }_1={46}^{\circ },{\beta }_2={49}^{\circ }}$
Um die Länge der Seite $d$ berechnen zu können, wird die Größe des Winkel $\delta$ benötigt:
${\displaystyle \delta ={180}^{\circ }-{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\beta }_1={180}^{\circ }-{47}^{\circ }-{53}^{\circ }-{46}^{\circ }={34}^{\circ }}$
Mit dem Sinussatz kann nun die Länge der Seite $d$ bestimmt werden:
${\displaystyle \frac{d}{a}=\frac{\sin ({\beta }_1)}{\sin (\delta )}\iff d=\frac{\sin ({\beta }_1)·a}{\sin (\delta )}=\frac{\sin ({46}^{\circ })·250}{\sin ({34}^{\circ })}\approx \mathrm{321,6}}$
Um die Länge der Seite $e$ zu bestimmen wird die Größe des Winkel $\gamma$ benötigt:
${\displaystyle \gamma ={180}^{\circ }-{\alpha }_2-{\beta }_1-{\beta }_2={180}^{\circ }-{53}^{\circ }-{46}^{\circ }-{49}^{\circ }={32}^{\circ }}$
Nun kann wiederum der Sinussatz für die Berechnung der Länge der Seite $e$ verwendet werden:
${\displaystyle \frac{e}{a}=\frac{\sin ({\beta }_1+{\beta }_2)}{\sin (\gamma )}}$

${\displaystyle \iff e=\frac{\sin ({\beta }_1+{\beta }_2)·a}{\sin (\gamma )}=\frac{\sin ({95}^{\circ })·250}{\sin ({32}^{\circ })}\approx \mathrm{469,97}}$
Nun sind die Längen der Seiten $d$ und $e$ sowie der Winkel ${\alpha }_1$ bekannt und mit dem Cosinussatz kann nun die Länge der Seite $x$ berechnet werden:
${\displaystyle x^2=d^2+e^2-2de·\cos ({\alpha }_1)}$

${\displaystyle \Rightarrow x=\sqrt{{\mathrm{321,6}}^2+{\mathrm{469,97}}^2-2·\mathrm{321,6}·\mathrm{469,97}·\cos ({47}^{\circ })}}$

${\displaystyle x\approx \mathrm{343,72}}$
Damit beträgt die Länge der gesuchten Seite $x$ ca. $\mathrm{343,72}$ m.