Ergänzungen zur Trigonometrie

Hinführung

bereich_2 In der ersten Lerneinheit zum Thema Trigonometrie wurden ausschließlich rechtwinklige Dreiecke betrachtet und Vorgehensweisen vorgestellt, um fehlende Seitenlängen mithilfe der Gleichungen von Sinus, Cosinus und Tangens zu bestimmen. Dazu waren immer der rechte Winkel und die Größe eines weiteren Winkels sowie die Länge einer Seite bekannt.
In der zweiten Lerneinheit wurden die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen definiert, die es ermöglichen, beliebige Winkel zu betrachten. Durch die Einführung der Umkehrfunktionen wurde zudem eine Möglichkeit aufgezeigt, fehlende Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen, wenn zwei Seitenlängen bekannt sind.
Nun werden zwei Möglichkeiten zur Bestimmung von Seitenlängen und Winkelgrößen in allgemeinen Dreiecken erläutert und bewiesen. Außerdem werden die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus thematisiert und teilweise bewiesen.

Sinussatz:
Gegeben sei ein allgemeines Dreieck $\mathrm{ABC}$:
Wenn man die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ gegeben hat und man die Länge der Seite $a$ festlegt stellt sich die Frage:
Wie kann man nun aus den drei gegebenen Größen $\alpha$, $\beta$ und $a$ direkt die Seitenlänge von $b$ bestimmen?
Um dieses Problem zu lösen, bezieht man sich zunächst auf rechtwinklige Dreiecke zurück. Diese können erzeugt werden, indem in das obige Bild die Höhe $h_c$ eingezeichnet wird.
Wenn das obige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt ist kann die Höhe $h_c$ mithilfe des Sinus einerseits ausgedrückt werden durch
${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{h_c}{b}\iff h_c=\sin (\alpha )·b}$
und andererseits durch
${\displaystyle \sin (\beta )=\frac{h_c}{a}\iff h_c=\sin (\beta )·a .}$
Setzen wir die Gleichungen aus den jeweils letzten Umformungsschritten gleich, so ergibt sich
${\displaystyle \sin (\alpha )·b=\sin (\beta )·a\hspace{0.5em}\text{bzw.}\hspace{0.5em}\frac{a}{b}=\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )} .}$
Kennen wir drei Größen aus $a,b,\alpha ,\beta$ in einem allgemeinen Dreieck, so ist es uns möglich, durch den so genannten Sinussatz die fehlende Größe zu bestimmen.
Kommen wir zurück zu unserer Eingangsfrage, wie man $b$ bestimmen kann, falls man $a,\alpha$ und $\beta$ kennt. Mit dem Sinussatz erhält man
${\displaystyle b=\frac{a·\sin (\beta )}{\sin (\alpha )} .}$
Für die Größen $a,c,\alpha ,\gamma$ bzw. $b,c,\beta ,\gamma$ kann man entsprechende Formeln herleiten.

Cosinussatz:
Gegeben sind die folgenden Daten des unten dargestellten Dreiecks $\mathrm{ABC}$. Es soll die fehlende Seitenlänge $b$ berechnet werden. Dabei soll auch eine Formel hergeleitet werden, um die fehlende Seite direkt aus den Angaben bestimmen zu können.
${\displaystyle a=\mathrm{5,2},c=\mathrm{6,2},\beta ={47}^{\circ }}$
Diese Aufgabe ist mit dem Sinussatz nicht zu lösen, da für die Berechnung der Länge der fehlenden Seite $b$ mit dem Sinussatz eine Winkelangabe fehlt. Auch an dieser Stelle sollen zur Berechnung wiederum rechtwinklige Dreiecke betrachtet werden, da über diese bereits einige Aussagen getroffen wurden.
Wie beim Sinussatz kann das allgemeine Dreieck aus der Skizze oben durch Einzeichnen der Höhe $h_c$ in zwei rechtwinklige Dreiecke überführt werden. Dabei teilt die Höhe $h_c$ die Seite $c$ in zwei Abschnitte $q$ und $p$. Zur Bestimmung der Seitenlänge $b$ aus den gegebenen Größen $a$, $c$ und $\beta$ wird folgender Plan aufgestellt:

1. Die Länge $b$ der Seite $\overline{\mathrm{AC}}$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras aus den Seitenlängen $h_c$ und $q$ berechnet werden.
2. Die Seitenlängen $h_c$ und $q$ sind aber unbekannt.
3. $q=c-p$; $c$ ist bekannt.
4. $p$ berechnen im Dreieck $\mathrm{BCD}$ aus $a$ und $\beta$ (unter Verwendung von $\cos (\beta )=\frac{p}{a})$.
5. $h_c$ berechnen im Dreieck $\mathrm{BCD}$ mit dem Satz des Pythagoras aus $a$ und $p$.
6. Berechnung von $b$ mit dem Satz des Pythagoras aus $q$ und $h_c$.

Dieser Plan wird nun durchgeführt:

1. Die Länge der Seite $b$ ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras aus den Seitenlängen $h_c$ und $q$:
   ${\displaystyle b^2=h_c^2+q^2\Rightarrow b=\sqrt{h_c^2+q^2}}$
   
2. $h_c$ und $q$ sind unbekannt und müssen zunächst bestimmt werden.
3. Mithilfe der Seitenlängen $p$ und $c$ lässt sich nun der Abschnitt $q$ berechnen:
   ${\displaystyle q=c-p}$
   
4. Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{BCD}$ gilt:
   ${\displaystyle \cos (\beta )=\frac{p}{a}\iff p=\cos (\beta )·a=\cos ({47}^{\circ })·\mathrm{5,2}\approx \mathrm{3,55}}$
   Also gilt:
   ${\displaystyle q=c-p=\mathrm{6,2}-\mathrm{3,55}=\mathrm{2,65}}$
   
5. Mit der Seitenlänge $p$ können wir nun nach Pythagoras die Seitenlänge $h_c$ wie folgt bestimmen:
   ${\displaystyle a^2=h_c^2+p^2\Rightarrow h_c=\sqrt{a^2-p^2}=\sqrt{(\mathrm{5,2}{)}^2-(\mathrm{3,55}{)}^2}\approx \mathrm{3,8}}$
   
6. Im Dreieck $\mathrm{ADC}$ ergibt sich nun, ebenfalls nach Pythagoras, für die Seitenlänge $b$:
   ${\displaystyle b^2=h_c^2+q^2\Rightarrow b=\sqrt{h_c^2+q^2}=\sqrt{(\mathrm{3,8}{)}^2+(\mathrm{2,65}{)}^2}\approx \mathrm{4,63}}$
   

Dieses Vorgehen wird verallgemeinert. Der Plan bleibt allerdings wie oben bestehen.

1. Die Länge der Seite $b$ ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras aus den Seitenlängen $h_c$ und $q$:
   ${\displaystyle b^2=h_c^2+q^2\Rightarrow b=\sqrt{h_c^2+q^2}}$
   
2. $h_c$ und $q$ sind unbekannt und müssen zunächst bestimmt werden.
3. Mithilfe der Seitenlängen $p$ und $c$ lässt sich nun der Abschnitt $q$ berechnen:
   ${\displaystyle q=c-p}$
   
4. Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{BCD}$ gilt:
   ${\displaystyle \cos (\beta )=\frac{p}{a}\iff p=\cos (\beta )·a}$
   
5. Mit der Seitenlänge $p$ können wir nun nach Pythagoras die Seitenlänge $h_c$ wie folgt bestimmen:
   ${\displaystyle a^2=h_c^2+p^2\Rightarrow h_c^2=a^2-p^2}$
   
6. Im Dreieck $\mathrm{ADC}$ ergibt sich nun, ebenfalls nach Pythagoras, für die Seitenlänge $b$:
   ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{b^2}& =\hfill & h_c^2+q^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2-p^2+(c-p{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2-p^2+c^2-2cp+p^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2+c^2-2cp\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2+c^2-2c·\cos (\beta )·a\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^2+c^2-2ac·\cos (\beta )\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\Rightarrow b}& =\hfill & \sqrt{a^2+c^2-2ac·\cos (\beta )}\hfill \end{array}}$
   

Mithilfe dieser Formel ist es nun möglich, die Seite $b$ mit den angegebenen Daten direkt zu bestimmen.
Betrachten wir nun noch einmal die obige Aufgabe und lösen diese mit der gefundenen Gleichung, so ergibt sich:
${\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac·\cos (\beta )}$

${\displaystyle b=\sqrt{a^2+c^2-2ac·\cos (\beta )}}$

${\displaystyle b=\sqrt{(\mathrm{5,2}{)}^2+(6-2^2-2·\mathrm{5,2}·\mathrm{6,2}·\cos ({47}^{\circ })}\approx \mathrm{4,64}}$