Ergänzungen zur Trigonometrie

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Wir unterscheiden bei der Herleitung des Sinussatzes drei Fälle.
$1$. Fall:
Das spitzwinklige Dreieck mit $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ und $0^{\circ }<\beta <{90}^{\circ }$.
Wie in der Abbildung zu erkennen ist, kann das Dreieck $\mathrm{ABC}$ durch Einzeichnen der Höhe $h_c$ in zwei rechtwinklige Dreiecke $\mathrm{ADC}$ und $\mathrm{BCD}$ zerlegt werden.
Im Dreieck $\mathrm{ADC}$ gilt: $\sin (\alpha )=\frac{h_c}{b}\iff h_c=\sin (\alpha )·b$
Im Dreieck $\mathrm{BCD}$ gilt: $\sin (\beta )=\frac{h_c}{a}\iff h_c=\sin (\beta )·a$
Hieraus folgt:
${\displaystyle \sin (\alpha )·b=\sin (\beta )·a\iff \frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}=\frac{a}{b}}$
$2$. Fall:
Das stumpfwinklige Dreieck mit ${90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$.
Auch in diesem Dreieck entstehen durch Einzeichnen der Höhe $h_c$ zwei rechtwinklige Dreiecke $\mathrm{ADC}$ und $\mathrm{DBC}$.
Im Dreieck $\mathrm{ADC}$ gilt: $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\frac{h_c}{b}\iff h_c=\sin ({180}^{\circ }-\alpha )·b$
Im Dreieck $\mathrm{BCD}$ gilt: $\sin (\beta )=\frac{h_c}{a}\iff h_c=\sin (\beta )·a$
Hieraus folgt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \sin ({180}^{\circ }-\alpha )·b=\sin (\beta )·a\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \iff \hfill & \frac{\sin ({180}^{\circ }-\alpha )}{\sin (\beta )}=\frac{a}{b}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \iff \hfill & \frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}=\frac{a}{b}\hfill \end{array}}$
Dabei wurde verwendet, dass $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )$ ist.

$3$. Fall: $\alpha ={90}^{\circ }$ oder $\beta ={90}^{\circ }$:
In diesen Fällen stimmt der Sinussatz mit der Definition des Sinus zusammen, denn $\sin ({90}^{\circ })=1$. Die Seite $h_c$ fällt dabei entweder mit der Seite $b$ zusammen (falls $\alpha ={90}^{\circ }$) oder mit der Seite $a$ (falls $\beta ={90}^{\circ }$). Bemerkung:
Man müsste auch noch den Fall betrachten, dass $\beta$ ein stumpfer Winkel ist. Dies funktioniert aber genauso wie in Fall $2$.
Die beiden anderen Gleichungen im Sinussatz lassen sich auf dieselbe Art beweisen.
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Es wird nur der Beweis für den Cosinussatz bezüglich $a$ angeführt.
Auch bei der Herleitung des Cosinussatzes müssen wie beim Beweis des Sinussatzes zwei Fälle unterschieden werden.
$1$. Fall:
Das spitzwinklige Dreieck mit $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ und $0^{\circ }<\beta <{90}^{\circ }$. Bekannt sind die Seitenlängen $b$ und $c$ sowie die Winkelgröße $\alpha$.
Es wird zunächst ein Plan aufgestellt, der dann Schritt für Schritt abgearbeitet wird:
$1$. Das Quadrat der Seitenlänge $a$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras aus den Quadraten der Seitenlängen $h_c$ und $p$ berechnet werden.
$2$. Die Seitenlängen $h_c$ und $p$ sind aber unbekannt.
$3$. $p=c-q$; $c$ ist bekannt.
$4$. $q$ berechnen im Dreieck $\mathrm{ADC}$ aus $b$ und $\alpha$ (unter Verwendung von $\cos (\alpha )=\frac{q}{b})$.
$5$. $h_c$ berechnen im Dreieck $\mathrm{ADC}$ mit dem Satz des Pythagoras aus $b$ und $q$.
$6$. Berechnung von $a$ mit dem Satz des Pythagoras aus $p$ und $h_c$.

Dieser Plan wird nun durchgeführt:
$1$. Das Quadrat der Seitenlänge $a$ ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras:
${\displaystyle a^2=h_c^2+p^2}$
$2$. $h_c$ und $p$ sind unbekannt und müssen zunächst bestimmt werden.
$3$. Mithilfe der Seitenlängen $q$ und $c$ lässt sich nun der Abschnitt $q$ berechnen:
${\displaystyle p=c-q}$
$4$. Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{ADC}$ gilt:
${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{q}{b}\iff q=\cos (\alpha )·b}$
$5$. Mit der Seitenlänge $q$ können wir nun nach Pythagoras die Seitenlänge $h_c$ wie folgt bestimmen:
${\displaystyle b^2=h_c^2+p^2\iff h_c^2=b^2-p^2}$
$6$. Im Dreieck $\mathrm{BCD}$ ergibt sich nun, ebenfalls nach Pythagoras, für die Seitenlänge $a$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{a^2}& =\hfill & h_c^2+p^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2-q^2+(c-q{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2-q^2+c^2-2cq+q^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2-2cq\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2-2c·\cos (\alpha )·b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2-2bc·\cos (\alpha )\hfill \end{array}}$
$2$. Fall:
Das stumpfwinklige Dreieck mit ${90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$.
Bekannt sind die Seitenlängen $b$ und $c$ sowie die Winkelgröße $\alpha$.
Auch in diesem Fall wird zunächst ein Plan aufgestellt und dann Schritt für Schritt abgearbeitet:
$1$. Das Quadrat der Seitenlänge $a$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras aus den Quadraten der Seitenlängen $h_c$ und $p$ berechnet werden.
$2$. Die Seitenlängen $h_c$ und $p$ sind aber unbekannt.
$3$. $p=c+q$; $c$ ist bekannt.
$4$. $q$ berechnen im Dreieck $\mathrm{ADC}$ aus $b$ und ${180}^{\circ }-\alpha$ (unter Verwendung von $\cos ({180}^{\circ }-\alpha )=\frac{q}{b})$.
$5$. $h_c$ berechnen im Dreieck $\mathrm{ADC}$ mit dem Satz des Pythagoras aus $b$ und $q$.
$6$. Berechnung von $a$ mit dem Satz des Pythagoras aus $p$ und $h_c$.

$1$. Das Quadrat der Seitenlänge $a$ ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras:
${\displaystyle a^2=h_c^2+p^2}$
$2$. $h_c$ und $p$ sind unbekannt und müssen zunächst bestimmt werden.
$3$. Mithilfe der Seitenlängen $q$ und $c$ lässt sich nun der Abschnitt $q$ berechnen:
${\displaystyle p=c+q}$
$4$. Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{ADC}$ gilt:
${\displaystyle \cos ({180}^{\circ }-\alpha )=\frac{q}{b}\iff q=\cos ({180}^{\circ }-\alpha )·b}$
$5$. Mit der Seitenlänge $q$ können wir nun nach Pythagoras die Seitenlänge $h_c$ wie folgt bestimmen:
${\displaystyle b^2=h_c^2+p^2\iff h_c^2=b^2-p^2}$
$6$. Im Dreieck $\mathrm{BCD}$ ergibt sich nun, ebenfalls nach Pythagoras, für die Seitenlänge $a$:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{a^2}& =\hfill & h_c^2+p^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2-q^2+(c+q{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2-q^2+c^2+2cq+q^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2+2cq\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2+2c·\cos ({180}^{\circ }-\alpha )·b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2+2bc·\cos ({180}^{\circ }-\alpha )\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & b^2+c^2-2bc·\cos (\alpha )\hfill \end{array}}$
Dabei wurde verwendet, dass $\cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos (\alpha )$ ist.
Es ergibt sich also für beide Dreiecksformen dieselbe Gleichung.
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Beweis
Es wird nur der Beweis des Additionstheorems $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )·\cos (\beta )+\sin (\beta )·\cos (\alpha )$ angegeben. Außerdem wird der Beweis nur für $\alpha ,\beta$ zwischen $0^{\circ }$ und ${90}^{\circ }$ mit $\alpha +\beta <{90}^{\circ }$ vorgeführt! Zu Beginn soll kurz erläutert werden, warum in der obigen Abbildung der Winkel $\alpha$ zwei Mal vorkommt: Betrachtet man das Dreieck $\mathrm{AFC}$, so ergibt sich für den Winkel $\alpha$:
${\displaystyle \alpha ={90}^{\circ }-\gamma -\beta }$
Im Dreieck $\mathrm{ABC}$ erhält man für den Winkel $\alpha$ im Dreieck $\mathrm{BCE}$ ebenfalls:
${\displaystyle \alpha ={90}^{\circ }-\gamma -\beta }$
Folglich ist die Bezeichnung $\alpha$ für den Winkel im Dreieck $\mathrm{BCE}$ gerechtfertigt.
Betrachtet man nun das Dreieck $\mathrm{ABC}$, so ergibt sich für die Seite $\overline{\mathrm{AB}}$ mit der Definition des Cosinus:
${\displaystyle \cos (\beta )=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{1}=\overline{\mathrm{AB}}}$
Für die Seite $\overline{\mathrm{BC}}$ erhalten wir mit der Definition des Sinus:
${\displaystyle \sin (\beta )=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{1}=\overline{\mathrm{BC}}}$
Wir betrachten nun das Dreieck $\mathrm{ADB}$. Dort ergibt sich für die Seite $\overline{\mathrm{DB}}$:
${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{AB}}}\iff \overline{\mathrm{DB}}=\sin (\alpha )·\overline{\mathrm{AB}}=\sin (\alpha )·\cos (\beta )}$
Analog verfahren wir für die Seite $\overline{\mathrm{EC}}$ und erhalten:
${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{BC}}}\iff \overline{\mathrm{EC}}=\cos (\alpha )·\overline{\mathrm{BC}}=\cos (\alpha )·\sin (\beta )}$
Für $\overline{\mathrm{EF}}$ gilt:
${\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=\overline{\mathrm{DB}}=\sin (\alpha )·\cos (\beta )}$
Die Seite $\overline{\mathrm{FC}}$ ergibt sich aus der Addition der Seiten $\overline{\mathrm{EC}}+\overline{\mathrm{EF}}$ und somit folgt:
${\displaystyle \overline{\mathrm{FC}}=\overline{\mathrm{EC}}+\overline{\mathrm{EF}}=\sin (\alpha )·\cos (\beta )+\sin (\beta )·\cos (\alpha )}$
Da     $\frac{\overline{\mathrm{EC}}+\overline{\mathrm{EF}}}{1}=\frac{\overline{\mathrm{FC}}}{1}=\sin (\alpha +\beta )$     ist, ergibt sich für die Addition der Winkel somit:
${\displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )·\cos (\beta )+\sin (\beta )·\cos (\alpha )}$
Die anderen Additionstheoreme lassen sich auf ähnliche Weise herleiten.
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