Intro Trigonometrie

bereich_2

Sinus, Cosinus und Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der Berechnung von Seitenlängen und Winkeln im Dreieck aus drei gegebenen Stücken. Dazu werden zunächst einige Begriffe benötigt.
In einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck mit einem gegebenen Winkel $\alpha$ bezeichnet man die Seiten wie folgt
Im rechtwinkligen Dreieck wird die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt als Hypotenuse bezeichnet. Die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, heißen Katheten. Dabei liegt die Ankathete an den Winkel $\alpha$ an und die Gegenkathete liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber.
Die Seitenlängen könne in einem Zusammenhang gebracht werden. Dafür definieren wir $\sin$, $\cos$ und $\tan$ wie folgt: Der Wert der Verhältnisse ist nur von der Größe des Winkels $\alpha$, nicht aber von der Größe des Dreiecks abhängig. Dies wird ausführlich in der Langversion zur Trigonometrie mithilfe von Strahlensätzen begründet. An dieser Stelle soll eine kurze Veranschaulichung geliefert werden:
Aufgrund der Strahlensätze gilt
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill \tan (\alpha )=\frac{b}{a}=\frac{b\prime }{a\prime }\hfill \\ \hfill \sin (\alpha )=\frac{b}{c}=\frac{b\prime }{c\prime }\hfill \\ \hfill \cos (\alpha )=\frac{a}{c}=\frac{a\prime }{c\prime }\hfill \end{array}}$
Dieser Zusammenhang lässt sich auf die anderen Winkel $\beta$ und $\gamma$ übertragen, wenn sie nicht den rechten Winkel darstellen.