Abschnitt: Hinführung | Trigonometrie am Einheitskreis

Chapter 1 Studifinder - 1.7 Trigonometrie - Trigonometrie am Einheitskreis

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Hinführung

Datum Sep 28, 2026

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Trigonometrie am Einheitskreis

Im ersten Kapitel zur Lerneinheit Trigonometrie wurden Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnet. Dazu musste die Länge einer Seite sowie ein Winkel, der nicht der rechte Winkel ist, bekannt sein. Es stellt sich die Frage, ob es auch möglich ist, fehlende Winkelgrößen mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens zu bestimmen. Dies ist prinzipiell möglich, allerdings nicht mit den Mitteln, die im ersten Kapitel zur Verfügung standen.
In diesem Kapitel sollen die erforderlichen Mittel bereit gestellt werden. Dazu werden Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen definiert. Durch diese Definitionen lässt sich auch der Anwendungsbereich erweitern, da auch Winkel außerhalb des bisher betrachteten Bereichs zwischen

0^{\circ}

und

90^{\circ}

eingesetzt werden können.
Auch wird ein Exkurs zur Umrechnung von Grad- in Bogenmaß gegeben, da in den Anwendungen der Physik und den Ingenieurswissenschaften meist das Bogenmaß verwendet wird.
Zunächst wird ein Beispiel betrachtet, welches die Auffassung von Sinus und Cosinus als Funktionen motiviert.

Die folgende Abbildung zeigt eine Kreisscheibe (Draufsicht und Seitenansicht), auf der am Rand ein Korken befestigt ist

(r = 1

)

Bild 1 Kreisscheibe mit Korken (Draufsicht und Seitenansicht)

Die Kreisscheibe wird nun, mithilfe des Motors, gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Gleichzeitig wird die Bewegung des Korkens mit den Lichtstrahlen zweier Lampen zum einen auf eine senkrecht stehende und zum anderen auf eine waagerecht liegende Wand projiziert.

Diese Projektionen der Schatten werden in zwei Koordinatensystemen aufgezeichnet. Dabei wird auf der

x

-Achse die Zeit und auf der

y

-Achse der Abstand

d

des Korkens von der Mittellage aufgetragen.

Bild 2 Schematische Darstellung der Korkenbewegung

Wenn man sich den Verlauf des Korkens anschaut, kommt man zu folgender Tabelle:

Position Korken	Winkel	Schatten 1	Schatten 2
Rechts	0°	0	1
Oben	90°	1	0
Links	180°	0	-1
Unten	270°	-1	0

Bild 3

Wie der Verlauf zwischen diesen Höhen ist, lässt sich allerdings nicht so leicht vorstellen. Das folgende Video zeigt diesen Verlauf.

Video 2

Die oben beschriebenen Vorgänge wollen wir nun noch etwas näher untersuchen. Wir betrachten hierfür den in der folgenden Abbildung dargestellten Einheitskreis.

Bild 4 Einheitskreis

Für das rechtwinklige Dreieck

ABC

und einen Winkel

α

von maximal

90^{\circ}

gilt:

\sin (α) = \frac{y}{1} \Rightarrow y = \sin (α) und \cos (α) = \frac{x}{1} \Rightarrow x = \cos (α)

Dabei sind x und y die Koordinaten des Punkts

C_{α}

gemäß Skizze. Die Längen der Katheten entsprechen also im Einheitskreis dem Sinus- bzw. Cosinuswert zu einem bestimmten Winkel

α

. Es ergibt sich also die Situation:

Bild 5 Darstellung von Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Für

0^{\circ} \leq α \leq 90^{\circ}

gilt:

C_{α}

hat die Koordinaten

(\cos (α); \sin (α))

Auf diesem Kreis lassen wir nun den Zeiger (Hypotenuse mit der Länge

1

) im mathematisch positiven Drehsinn rotieren. Dabei erhalten wir für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

die folgende Situation

Bild 6 Sinus und Cosinus für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

Die Koordinaten des Punktes

(x; y)

kann man mittels Sinus und Cosinus offenbar durch

(- \cos (180^{\circ} - α); \sin (180^{\circ} - α))

darstellen.

Der Sinus und der Cosinus wurden bisher nur für

0^{\circ} \leq α \leq 90^{\circ}

definiert. Um für den Punkt

(x; y) = (- \cos (180^{\circ} - α); \sin (180^{\circ} - α))

für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

eine einfache Beschreibung aufrecht zu erhalten, definiert man für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

, dass

\sin (α) : = \sin (180^{\circ} - α) und \cos (α) : = - \cos (180^{\circ} - α) .

Dies ist eine sinnvolle Definition, denn für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

gilt

0^{\circ} \leq 180^{\circ} - α < 90^{\circ}

, also sind die Audrücke auf der rechten Seite bereits definiert. Für

90^{\circ} < α \leq 180^{\circ}

gilt dann mit der neuen Definition:

C_{α}

(x; y) = (- \cos (180^{\circ} - α); \sin (180^{\circ} - α)) = (\cos (α); \sin (α)) .

Analog definiert man für

180^{\circ} < α \leq 270^{\circ}

\sin (α) : = - \sin (270^{\circ} - α) und \cos (α) : = - \cos (270^{\circ} - α)

und für

270^{\circ} < α \leq 360^{\circ}

\sin (α) : = - \sin (360^{\circ} - α) und \cos (α) : = \cos (360^{\circ} - α) .

Mit dieser Erweiterung der Definition von

\sin (α)

und

\cos (α)

auf Werte von

α

mit

90^{\circ} < α \leq 360^{\circ}

kann man eine einfache Beschreibung geben. Der Punkt

C_{α}

zum Winkel

α

(

0^{\circ} \leq α \leq 360^{\circ}

) auf dem Einheitskreis hat immer die Koordinaten

C_{α} = (\cos (α); \sin (α)) .

Der Cosinus entspricht der

x

-Koordinate, der Sinus der

y

-Koordinate des Punktes.

Wir haben Sinus und Cosinus nun für alle Winkel am Einheitskreis

0^{\circ} \leq α \leq 360^{\circ}

definiert.
Einen Punkt

C_{α}

auf dem Einheitskreis kann man auch für

α > 360^{\circ}

(mehr als eine volle Drehung) oder auch für

α < 0

(Drehung im Uhrzeigersinn) angeben. Für diese Winkel definiert man entsprechend

\begin{matrix} \cos (α) : = x -Koordinate von C_{α} \\ und \sin (α) : = y -Koordinate von C_{α} . \end{matrix}

Somit ist klar, dass der Wert von Sinus und Cosinus periodisch unverändert bleibt, wenn man

360^{\circ}

zu einem Winkel addiert. Es gilt somit für alle Winkel

α

\sin (α + 360^{\circ}) = \sin (α) und \cos (α + 360^{\circ}) = \cos (α) .

Sinus und Cosinus am Einheitskreis:

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" } var _7_lv_hoehereFunktionTrigo1 = new GGBApplet('5.', parameters, ggb_views); _7_lv_hoehereFunktionTrigo1.setHTML5Codebase("https://www.geogebra.org/apps/5.0.543.0/web3d"); _7_lv_hoehereFunktionTrigo1.inject("_7_lv_hoehereFunktionTrigo1_container", 'html5');

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Insgesamt ergeben sich die in der nächsten Abbildung dargestellten Funktionsverläufe.

Bild 7 Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion

Satz 1: Bemerkung
Die Zuordnung von einem beliebigen Winkel

α

zu den Werten

\sin (α)

und

\cos (α)

lässt sich auch als Funktion definieren.

Da man alle Winkel durch reelle Zahlen angeben kann, die man als Maß des Winkels auffasst (z. B. steht

30

für

30^{\circ}

), und für die Werte von Sinus und Cosinus alle Zahlen zwischen

- 1

und

1

einschließlich infrage kommen, ist die Definitionsmenge jeweils

ℝ

und die Wertemenge jeweils

[- 1; 1]

Man erhält also die beiden Funktionen

\sin : ℝ \to [- 1; 1] und \cos : ℝ \to [- 1; 1] .

Die beiden Kurvenverläufe zeigen anschaulich, dass die Funktionen sin und cos Werte aus dem Intervall

[- 1; 1]

annehmen, was auch aus der Definition folgt.

Info 1
Es gilt für beliebige Winkel

α

und

k \in ℤ

\begin{matrix} \sin (α) & = & \sin (α + k \cdot 360^{\circ}) \\ und \cos (α) & = & \cos (α + k \cdot 360^{\circ}) . \end{matrix}

Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind somit beide periodisch mit Periode

360^{\circ}

Bisher wurde also festgestellt, dass die Sinus- und die Cosinusfunktion periodisch sind. Im Folgenden wird untersucht, ob es bei diesen Funktionen noch weitere Zusammenhänge gibt.

Aufgabe 1

Untersuchen Sie den Verlauf der Sinus - und Cosinusfunktion. Versuchen Sie Ihre Vermutungen allgemein in der folgenden Tabelle oder einer selbst aufgestellten Tabelle festzuhalten und gehen Sie dabei wie folgt vor:

$x$	$\sin (x)$	$\cos (x)$	x	$\sin (x)$	$\cos (x)$
$α$			$- α$
$90^{\circ} + α$			$90^{\circ} - α$
$180^{\circ} + α$			$180^{\circ} - α$
$270^{\circ} + α$			$270^{\circ} - α$
$360^{\circ} + α$			$360^{\circ} - α$

1. Zeile der Tabelle:	Untersuchung auf Symmetrie.
2. und 4. Zeile der Tabelle:	Drücken Sie den Sinus $(90^{\circ} + α)$ durch den Cosinus und den Cosinus $(90^{\circ} + α)$ durch den Sinus aus.
3. Zeile der Tabelle:	Stellen Sie die Terme $\sin (180^{\circ} \pm α)$ und $\cos (180^{\circ} \pm α)$ durch $\sin (α)$ bzw. $\cos (α)$ dar.
5. Zeile der Tabelle:	Untersuchung auf Periodizität.

Lösung anzeigen

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Untersucht man die Geraden von Sinus und Cosinus, so kann man feststellen, dass die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung und die Cosinusfunktion achsensymmetrisch zur

y

-Achse sind. Außerdem sind die Sinus - und die Cosinusfunktion um

90^{\circ}

zueinander verschoben und beide Funktionen sind periodisch. Die Tabelle lässt sich wie folgt ausfüllen:

$x$	$\sin (x)$	$\cos (x)$	$x$	$\sin (x)$	$\cos (x)$
$α$	$\sin (α)$	$\cos (α)$	$- α$	$- \sin (α)$	$\cos (α)$
$90^{\circ} + α$	$\cos (α)$	$- \sin (α)$	$90^{\circ} - α$	$\cos (α)$	$\sin (α)$
$180^{\circ} + α$	$- \sin (α)$	$- \cos (α)$	$180^{\circ} - α$	$\sin (α)$	$- \cos (α)$
$270^{\circ} + α$	$- \cos (α)$	$\sin (α)$	$270^{\circ} - α$	$- \cos (α)$	$- \sin (α)$
$360^{\circ} + α$	$\sin (α)$	$\cos (α)$	$360^{\circ} - α$	$- \sin (α)$	$\cos (α)$

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