Trigonometrie am Einheitskreis

Inhalte mit Erklärungen

bereich_3 Sinus, Cosinus und Tangens sollen jetzt für beliebige Winkel definiert werden. Bisher wurden diese nur im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken und Winkeln zwischen $0^{\circ }$ und ${90}^{\circ }$ betrachtet. Zunächst soll nochmal an die ursprüngliche Definition erinnert und diese Stück für Stück erweitert werden. Wie bereits im ersten Kapitel angesprochen existieren spezielle Bezeichnungen für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:
Im rechtwinkligen Dreieck wird die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, als Hypotenuse bezeichnet. Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten. Dabei liegt die Ankathete am Winkel $\alpha$ an und die Gegenkathete liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber. Sinus, Cosinus und Tangens werden mit diesen Bezeichnungen wie folgt definiert:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (\alpha )}& =\hfill & \frac{a}{c}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\cos (\alpha )}& =\hfill & \frac{b}{c}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\tan (\alpha )}& =\hfill & \frac{a}{b}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} .\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Wie schon im ersten Kapitel gezeigt wurde, hängen die Werte von $\sin$, $\cos$ und $\tan$ nur von der Größe des Winkels $\alpha$ und nicht von der Größe des Dreiecks ab.
Zunächst werden nur Winkel $\alpha$ zwischen $0^{\circ }$ und ${90}^{\circ }$ betrachtet. Auf die Einheitskreislinie wird der Punkt C gelegt, dessen Verbindungsstrecke zum Koordinatenursprung mit der x-Achse den Winkel $\alpha$ einschließt Der Punkt $C$ ades Dreiecks ABC hat die Koordinaten $C=(x;y)$. In dem abgebildeten rechtwinkligen Dreieck entspricht die Hypotenuse dem Radius des Einheitskreises und hat damit die Länge $r=1$. Die Länge der Gegenkathete entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $C$; analog entspricht die Länge der Ankathete der $x$-Koordinate. Daher gilt:
${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y}{1}=y}$
und
${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{x}{1}=x .}$
Da die Koordinaten des Punktes $C$ mithilfe von $\alpha$ ausgedrückt werden kann, wird $C$ auch mit $C_{\alpha }$ bezeichnet. Es gilt also, dass die Koordinaten von $C_{\alpha }$ gegeben sind durch
${\displaystyle C_{\alpha }=(\cos (\alpha );\sin (\alpha )).}$
Bisher wurden nur Winkel $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ betrachtet. Man kann den Punkt $C_{\alpha }$ für beliebige Winkel im Kreis $(0^{\circ }\le \alpha \le {360}^{\circ })$ definieren. Er ist auch für negative und beliebig große Winkel definiert. Negative Winkel entstehen, wenn in mathematisch negativer Richtung am Kreis entlang gegangen wird (mit dem Uhrzeigersinn). Winkel, die größer als ${360}^{\circ }$ sind, können durch Addition eines Winkels zwischen $<0^{\circ }$ und $<{360}^{\circ }$ und Vielfachen des Vollwinkels ${360}^{\circ }$ dargestellt werden. Dies wird in den beiden folgenden Bildern noch einmal visualisiert.
Man definiert nun den Sinus und Cosinus für beliebige Winkel $\alpha$:  
Alle Werte von $\sin (\alpha )$ und $\cos (\alpha )$ können auf die Werte im Intervall $0^{\circ }\le \alpha \le {90}^{\circ }$ zurückgeführt werden. Aufgrund geometrischer Überlegungen gilt: Es gilt allgemein: Klicken Sie hier für eine weitere Veranschaulichung. Eine weitere Eigenschaft lässt sich am Einheitskreis mithilfe des Satzes des Pythagoras zeigen. Diese wird trigonometrischer Pythagoras genannt. Beweis

Exkurs zur Umrechnung von Grad- und Bogenmaß

Für die Angabe der Größe eines Winkels gibt es verschiedene Winkelmaße. Das gebräuchlichste Maß ist das Gradmaß, welches wir zuvor verwendet haben. Dieses beruht auf der Einteilung des vollen Kreises in $360$ gleichgroße Teile. Diese Einteilung hat einen historischen Hintergrund und ist in der Praxis nicht immer vorteilhaft. Zur Veranschaulichung wird nun die positive $x$-Achse und ein vom Ursprung des Koordinatensystems ausgehender Strahl wie in der folgenden Abbildung dargestellt: Die $x$-Achse schließt mit diesem Strahl dann einen Winkel $\alpha$ ein.
Ein weiteres System zur Angabe einer Winkelgröße ist das so genannte Bogenmaß. Beim Bogenmaß wird die Größe eines Winkels $\alpha$ durch die Länge $b$ des entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen, wie in der nächsten Abbildung zu sehen ist.
Es wird also anstatt den Winkel $\alpha$ in Grad anzugeben, die Länge $b$ des Bogens als Maß für die Größe des Winkels verwendet. Bemerkung: Beim Bogenmaß spielt das Vorzeichen des Winkels eine Rolle: Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn gemessen. Außerdem sind Mehrfachumrundungen möglich, sodass sich Winkel um Vielfache von ${360}^{\circ }$ bzw. $2\pi$ unterscheiden können. Der Vollwinkel im Bogenmaß ist somit durch den Umfang des Einheitskreises ($U=2·\pi$) gegeben. Hat nun ein vom Ursprung ausgehender Strahl nicht den Vollwinkel überstrichen, sondern nur einen Teil davon, so hat der auf dem Einheitskreis durchlaufene Bogen nur eine anteilige Länge von $2\pi$.
Aus dieser Gleichung lässt sich erkennen, dass man das Gradmaß in das Bogenmäß umrechnen kann und umgekehrt:
${\displaystyle b=\frac{\alpha ·\pi }{{180}^{\circ }} ,\mathrm{ }\alpha =\frac{b·{180}^{\circ }}{\pi } .}$
Beim Bogenmaß wurde durch den Einheitskreis ein Spezialfall betrachtet. Was ergibt sich aber für die Bogenlänge bei einem Kreis, für den $r\ne 1$ gilt?
Es lässt sich feststellen, dass das Verhältnis $\frac{b_r}{r}=\frac{\text{Kreisbogen}}{\text{Kreisradius}}$ stets konstant ist und es gilt:
${\displaystyle \frac{b_r}{r}=\frac{\alpha ·\pi }{{180}^{\circ }}\Rightarrow b_r=\frac{\alpha ·\pi }{{180}^{\circ }}·r .}$
Hinweis: Sowohl für das Grad- als auch das Bogenmaß werden für den umlaufenden Strahle beliebig viele Umläufe des Einheitskreises zugelassen, d. h. es ist
${\displaystyle b=\frac{\alpha ·\pi }{{180}^{\circ }}}$
für beliebige Winkel $\alpha$ definiert.
In physikalischen und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen wird meist statt dem Gradmaß das Bogenmaß verwendet. Daher wird in diesem Kapitel ab jetzt das Bogenmaß verwendet.
Typische Winkel im Grad- und Bogenmaß

Die nachfolgende Tabelle stellt einige Winkel im Grad- und Bogenmaß gegenüber.

Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaß

Man definiert den Sinus und den Cosinus im Bogenmaß, indem man die bekannten Funktionen $\sin$ und $\cos$ benutzt und das Bogenmaß zuvor in das Gradmaß umrechnet. Um das mathematisch korrekt zu machen, gibt man den neuen Funktionen für das Bogenmaß zunächst einen anderen Namen. Hier werden nun Großbuchstaben am Anfang genutzt: Der Ausdruck $\frac{x}{\pi }·{180}^{\circ }$ entspricht dabei dem Winkel im Gradmaß, wenn $x$ den Winkel im Bogenmaß darstellt. Bemerkung

• Die Funktionen Sin und Cosin unterscheiden sich von $\sin$ und $\cos$, denn die Variablen haben andere Bedeutungen. Da aber normalerweise klar ist, ob man das Gradmaß oder das Bogenmaß verwendet, werden im Folgenden auch Sinus und Cosinus mit Kleinbuchstaben geschrieben. Es muss daher aus dem Kontext klar sein oder dazu gesagt werden, ob Winkel und damit die Argumente der Sinus- und Cosinusfunktion im Gradmaß oder Bogenmaß gemeint sind. Oft werden kleine griechische Buchstaben für Winkel in Gradmaß und kleine lateinische Buchstaben für Winkel im Bogenmaß verwendet.

Bemerkung:
Diese Aussage entspricht dem weiter oben angegebenen Satz zur Periodizität von Sinus und Cosinus im Gradmaß, da $2\pi$ genau ${360}^{\circ }$ entsprechen.
Begründung
Anschauliche Begründungen: Punktsymmetrie der Sinusfunktion:  
Achsensymmetrie der Cosinusfunktion:  
Die folgenden Abbildungen stellen diesen Zusammenhang noch einmal grafisch dar. Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung $O=(0;0)$. Es gilt also
${\displaystyle \sin (x)=-\sin (-x)\mathrm{ }\text{für alle}x\in ℝ.}$
Der Graph der Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Es gilt also:
${\displaystyle \cos (x)=\cos (-x)\mathrm{ }\text{für alle}x\in ℝ.}$


Die Tangensfunktion Der Tangens wird an rechtwinkligen Dreiecken als Quotient aus Gegenkathete und Ankathete definiert, denen $\alpha$ gegenüberliegt:
${\displaystyle \tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.}$
Man kann diesen Bruch erweitern und erhält dabei den Quotienten aus Sinus und Cosinus:
${\displaystyle \tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}.}$
Es liegt daher nahe, ganz allgemein die Tangensfunktion als Quotient aus der Sinus- und der Cosinusfunktion zu definieren. Beachten muss man dabei, dass der Nenner nie den Wert Null annehmen darf, so dass die Nullstellen der Cosinusfunktion aus der Definitionsmenge der Tangensfunktion ausgeschlossen werden müssen: Bemerkung

• Die Definitionsmenge der Tangensfunktion ist $ℝ \backslash \{k\pi +\frac{\pi }{2}\hspace{0.5em}|\hspace{0.5em}k\in \mathbb{Z}\}$. Die Wertemenge ist $ℝ$. Man schreibt also tan: $ℝ \backslash \{k\pi +\frac{\pi }{2}\hspace{0.5em}|\hspace{0.5em}k\in \mathbb{Z}\}\to ℝ$.

Da Sinus- und Cosinusfunktion $2\pi$-periodisch sind, ist die Tangensfunktion auch $2\pi$-periodisch. Tatsächlich ist die Periode der Tangensfunktion aber noch kleiner, nämlich $\pi$. Das lässt sich an folgender Rechnung sehen, für die Sie die Werte aus der Tabelle in Info $2$ nutzen können. Für Winkel x im Bogenmaß gilt
${\displaystyle \begin{array}{cc}\multicolumn{1}{c}{\tan (x+\pi )}& =\frac{\sin (x+\pi )}{\cos (x+\pi )}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\frac{-\sin (x)}{-\cos (x)}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\tan (x).\hfill \end{array}}$

Bestimmung von Winkelgrößen im rechtwinkligen Dreieck
Nun sollen Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken bestimmt werden, wenn zwei Seitenlängen bekannt sind. Dafür werden die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus und Tangens benötigt. Diese werden nun definiert und die Anwendung an Beispielen demonstriert.
Verweis Am Graphen der Sinusfunktion kann man sehen, dass es zu einem gegebenen Funktionswert mehrere Winkel gibt, die diesen Wert haben, z.B. ist $\sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sowohl für $x=\frac{\pi }{3}$ als auch für $x=\frac{7\pi }{3}$ – und dank der Periodizität auch noch für unendlich viele andere $x$-Werte. Für eine Umkehrfunktion muss man aber sicherstellen, dass jeder Sinus-Wert nur von genau einem $x$-Wert getroffen wird. Das kann man hier erreichen, indem man die Definitionsmenge der Sinusfunktion einschränkt. Es gibt mehrere Möglichkeiten, das zu tun. Da wir an Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken interessiert sind (d.h. Winkel zwischen $0$ und $\frac{\pi }{2}$ im Bogenmaß), bietet es sich an, den Sinus auf dem Intervall $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ zu betrachten. Der Graph der Sinusfunktion auf $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ davon sieht so aus:
Hier ist jetzt anschaulich klar, dass es zu jedem $y$ in $[-1;1]$ genau ein $x$ gibt mit $y=\sin (x)$. Diesen $x$-Wert zu einem gegebenen $y$ nennen wir $x=\arcsin (y)$. Damit können wir nun eine Umkehrfunktion definieren. Bemerkungen

• Hierbei wurde die unabhängige Variable nun in $x$ umbenannt, da das die übliche Bezeichnung der Variablen in der Arkussinusfunktion ist.
• Für $y\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ und $\mathrm{ }x\in [-\mathrm{1,1}]$ gilt:
  ${\displaystyle y=\arcsin (x)\iff x=\sin (y) .}$
  

Wenn die Definitionsmenge der Cosinusfunktion auf das Intervall $[0;\pi ]$ eingeschränkt wird, ist es ebenfalls möglich, ihre Umkehrfunktion zu definieren: Bemerkung
Für $y\in [0;\pi ]$ und $x\in [-\mathrm{1,1}]$ gilt:
${\displaystyle y=\arccos (x)\iff x=\cos (y) .}$
Wenn die Definitionsmenge der Tangensfunktion auf das Intervall $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ eingeschränkt wird, ist es genauso möglich, ihre Umkehrfunktion zu definieren. Da die Tangensfunktion auf $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ die Wertemenge $ℝ$ hat, hat die Umkehrfunktion Definitionsmenge $ℝ$ und Wertemenge $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$. Bemerkung
Für $y\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ und $x\in ℝ$ gilt:
${\displaystyle y=\arctan (x)\iff x=\tan (y) .}$
Durch die Definition dieser Umkehrfunktionen können Winkelgrößen im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Dazu werden nun drei Beispiele betrachtet.


Durch die Einführung der Sinus- und Cosinusfunktion am Einheitskreis hat sich auch das Einsatzgebiet in der Dreiecksgeometrie vergrößert. Es können nun auch allgemeine Dreiecke betrachtet werden. Dazu zählen auch stumpfwinklige Dreiecke in denen ein Winkel größer ist als ${90}^{\circ }$. Die Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen in allgemeinen Dreiecken wird in der Lerneinheit „Ergänzungen zur Trigonometrie “ thematisiert.