Abschnitt: Aufgaben | Trigonometrie am Einheitskreis

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  Chapter 1 Studifinder - 1.7 Trigonometrie - Trigonometrie am Einheitskreis
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_trigonometrie_einheitskreis_
  
  Trigonometrie am Einheitskreis
  
  7
  
  2
  
  bereich_4
  Aufgabe 2aufgabe_2
  a) Wandeln Sie folgende Gradmaße ins Bogenmaß um:
  $45^{\circ} =$
  pi/4
  
  1/4*pi
  , $90^{\circ} =$
  pi/2
  
  1/2*pi
  , $135^{\circ} =$
  3/4pi
  
  3*pi/4
  
  b) Wandeln Sie folgende Bogenmaße ins Gradmaß um:
  $π =$
  180
  $^{\circ}$
  , $\frac{3 π}{2} =$
  270
  $^{\circ}$
  , $2 π =$
  360
  $^{\circ}$
  
  Kontrolle
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  a) $45^{\circ} = \frac{π}{4}$ , $90^{\circ} = \frac{π}{2}$ , $135^{\circ} = \frac{3}{4} π$
  b) $π = 180^{\circ}$ , $\frac{3 π}{2} = 270^{\circ}$ , $2 π = 360^{\circ}$
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  Aufgabe 3aufgabe_3
  Gegeben ist $\cos (α) = 0,8$ . Wie groß ist $\sin (α)$ ?
  
  $\sin (α) =$
  0,6
  
  oder $\sin (α) =$
  -0,6
  
  Kontrolle
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  Mit dem trigonometrischen Pythagoras $(\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1)$ ergibt sich
  
  $\begin{matrix} \sin (α) & = & \pm \sqrt{1 - \cos^{2} (α)} \\ = & \pm \sqrt{1 - {0,8}^{2}} \\ = & \pm \sqrt{1 - 0,64} \\ = & \pm \sqrt{0,36} \\ = & \pm 0,6 \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 4aufgabe_4
  Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $B$ und den Seitenlängen $a = 3,5$ und $c = 4,5$ . Wie groß sind die beiden anderen Winkel? Runden Sie alle Zwischenergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
  a) $α =$
  37,95
  
  37,87
  $^{\circ}$
  b) $γ =$
  52,21
  
  52,13
  $^{\circ}$
  
  Kontrolle
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  Das Dreieck hat den rechten Winkel bei $β$ , also sind $a$ und $c$ die Katheten des Dreiecks. Um die Winkel $α$ und $γ$ zu bestimmen wird demnach die Gleichung des Tangens zusammen mit der Umkehrfunktion des Tangens verwendet.
  a) Es gilt
  $\tan (α) = \frac{a}{c} = \frac{3,5}{4,5} \approx 0,78$
  Durch Anwendung des Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:
  $α = \arctan (0,78) \approx 37, 95^{\circ} .$
  Falls Sie ohne gerundetes Zwischenergebnis rechnen, erhalten Sie
  $α = \arctan (\frac{3,5}{4,5}) \approx 37, 87^{\circ} .$
  b) Es gilt
  $\tan (γ) = \frac{c}{a} = \frac{4,5}{3,5} \approx 1,29$
  Durch Anwendung des Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:
  $γ = \arctan (1,29) \approx 52, 21^{\circ} .$
  Falls Sie ohne gerundetes Zwischenergebnis rechnen, erhalten Sie
  $γ = \arctan (\frac{4,5}{3,5}) \approx 52, 13^{\circ} .$
  
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  Aufgabe 5aufgabe_5
  Berechnen Sie den Wert des Terms mithilfe des trigonometrischen Pythagoras. Runden Sie die Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
  a) $\frac{\cos (45^{\circ})}{\cos^{2} (28^{\circ}) + \sin^{2} (152^{\circ})} =$
  0,71
  
  b) $\frac{\sin^{2} (168^{\circ}) - \sin^{2} (102^{\circ})}{\sin (30^{\circ})} =$
  2
  
  c) $- \sin^{2} (344^{\circ}) + \sin^{2} (140^{\circ}) - \sin^{2} (286^{\circ}) + \sin^{2} (130^{\circ}) =$
  0
  
  Kontrolle
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  a) Wegen $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α)$ für alle Winkel $α$ im Gradmaß und dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
  $\begin{matrix} \frac{\cos (45^{\circ})}{\cos (28^{\circ})^{2} + \sin (152^{\circ})^{2}} \\ = & \frac{\cos (45^{\circ})}{\cos (28^{\circ})^{2} + \sin (180^{\circ} - 28^{\circ})^{2}} \\ = & \frac{\cos (45^{\circ})}{\cos (28^{\circ})^{2} + \sin (28^{\circ})^{2}} \\ = & \frac{\cos (45^{\circ})}{1} \\ \approx & 0,71 . \end{matrix}$
  
  b) Wegen $\sin (270^{\circ} - α) = - \cos (α)$ für alle Winkel $α$ im Gradmaß und dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
  $\begin{matrix} \frac{\sin (168^{\circ})^{2} - \sin (102^{\circ})^{2}}{\sin (30^{\circ})} \\ = & \frac{\sin (168^{\circ})^{2} - \sin (270^{\circ} - 168^{\circ})^{2}}{\sin (30^{\circ})} \\ = & \frac{\sin (168^{\circ})^{2} + \cos (168^{\circ})^{2}}{\sin (30^{\circ})} \\ = & \frac{1}{\sin (30^{\circ})} \\ = & 2 . \end{matrix}$
  
  c) Mit
  $\begin{matrix} \sin (270^{\circ} + α) & = & - \cos (α) \\ \sin (180^{\circ} - α) & = & \sin (α) \\ \sin (90^{\circ} + α) & = & \cos (α) \\ \sin (360^{\circ} - α) & = & - \sin (α) \end{matrix}$
  gilt
  $\begin{matrix} - \sin (344^{\circ})^{2} + \sin (140^{\circ})^{2} - \sin (286^{\circ})^{2} + \sin (130^{\circ})^{2} \\ = & - \sin (360^{\circ} - 16^{\circ})^{2} + \sin (90^{\circ} + 50^{\circ})^{2} - \sin (270^{\circ} + 16^{\circ})^{2} + \sin (180^{\circ} - 50^{\circ})^{2} \\ = & - (- \sin (16^{\circ} {))}^{2} + \cos (50^{\circ})^{2} - (- \cos (16^{\circ} {))}^{2} + \sin (50^{\circ})^{2} \\ = & \cos^{2} (50^{\circ}) + \sin^{2} (50^{\circ}) - (\cos^{2} (16^{\circ}) + \sin^{2} (16^{\circ})) \\ = & 1 - 1 \\ = & 0 \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 6aufgabe_6
  Ein Lichtstrahl, der von Luft in Wasser übergeht, wird zum Lot hin gebrochen. Optisch entsteht hier ein Knick. Nach dem Brechungsgesetz haben Einfalls- ( $α$ ) und Brechungswinkel ( $β$ ) bei diesem Übergang folgendes Verhältnis:
  $\frac{\sin (α)}{\sin (β)} = 1,33 .$
  Runden Sie die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma.
  
  Bild 28
  
  a) Berechnen Sie den Brechungswinkel $β$ bei einem Einfallswinkel von $α = 40^{\circ}$ .
  $β =$
  28,9
  $^{\circ}$
  
  b) Berechnen Sie den Einfallswinkel $α$ bei einem Brechungswinkel von $β = 23^{\circ}$ .
  $α =$
  31,3
  $^{\circ}$
  
  c) Berechnen Sie den Einfallswinkel $α$ bei dem sich Einfallswinkel und Brechungswinkel zu einem rechten Winkel ergänzen.
  $α =$
  53,1
  $^{\circ}$
  
  Kontrolle
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  a) Es gilt
  $\begin{matrix} \frac{\sin (α)}{\sin (β)} & = & 1,33 \\ \Leftrightarrow \sin (β) & = & \frac{\sin (α)}{1,33} \\ \Leftrightarrow β & = & \arcsin (\frac{\sin (α)}{1,33}) \\ \Leftrightarrow β & = & \arcsin (\frac{\sin (40^{\circ})}{1,33}) \\ d.h. β & \approx & 28, 9^{\circ} . \end{matrix}$
  b) Es gilt
  $\begin{matrix} \frac{\sin (α)}{\sin (β)} & = & 1,33 \\ \Leftrightarrow \sin (α) & = & 1,33 \cdot \sin (β) \\ \Leftrightarrow α & = & \arcsin (1,33 \cdot \sin (β)) \\ \Leftrightarrow α & = & \arcsin (1,33 \cdot \sin (23^{\circ})) \\ d.h. α & \approx & 31, 3^{\circ} . \end{matrix}$
  c) Wenn $α$ und $β$ zusammen $90^{\circ}$ ergeben, gilt $β = 90^{\circ} - α$ . Dies kann in das Brechungsgesetz eingesetzt werden. Es ergibt sich
  $\begin{matrix} \frac{\sin (α)}{\sin (β)} & = & 1,33 \\ . \Leftrightarrow \frac{\sin (α)}{\sin (90^{\circ} - α)} & = & 1,33 \end{matrix}$
  
  Mit $\cos (α) = \sin (90^{\circ} - α)$ kann der Term vereinfacht werden zu
  $\frac{\sin (α)}{\cos (α)} = 1,33$
  
  Wegen
  $\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$
  folgt
  $\begin{matrix} \frac{\sin (α)}{\cos (α)} & = & 1,33 \\ \Leftrightarrow \tan (α) & = & 1,33 \\ \Leftrightarrow α & = & \arctan (1,33) \\ , d.h. α & \approx & 53, 1^{\circ} . \end{matrix}$
  
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