Trigonometrie am Einheitskreis

Satz 1: Bemerkungsatz_1
Die Zuordnung von einem beliebigen Winkel $\alpha$ zu den Werten $\sin (\alpha )$ und $\cos (\alpha )$ lässt sich auch als Funktion definieren. Da man alle Winkel durch reelle Zahlen angeben kann, die man als Maß des Winkels auffasst (z. B. steht $30$ für ${30}^{\circ }$), und für die Werte von Sinus und Cosinus alle Zahlen zwischen $-1$ und $1$ einschließlich infrage kommen, ist die Definitionsmenge jeweils $ℝ$ und die Wertemenge jeweils $[-1;1]$. Man erhält also die beiden Funktionen
${\displaystyle \sin :ℝ\to [-1;1]\mathrm{ }\text{und}\mathrm{ }\cos :ℝ\to [-1;1].}$

Info 1info_1
Es gilt für beliebige Winkel $\alpha$ und $k\in \mathbb{Z}$:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (\alpha )}& =\hfill & \sin (\alpha +k·{360}^{\circ })\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{und}\mathrm{ }\cos (\alpha )}& =\hfill & \cos (\alpha +k·{360}^{\circ }).\hfill \end{array}}$
Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind somit beide periodisch mit Periode ${360}^{\circ }$.

Definition 1definition_1
Für beliebige Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin (\alpha )$ den Wert der $y$-Koordinate des Punktes $C_{\alpha }$ am Einheitskreis und unter $\cos (\alpha )$ den Wert der $x$-Koordinate des Punktes $C_{\alpha }$ am Einheitskreis.

Definition 2definition_2
Die Zuordnungen von einem beliebigen Winkel $\alpha$ im Gradmaß, der einer reellen Zahl entspricht, zu den Werten $\sin (\alpha )$ und $\cos (\alpha )$ lassen sich als Funktionen auffassen. Ihre Definitionsmengen sind jeweils ganz $ℝ$, wobei man eine reelle Zahl dabei als den Wert des Winkels auffasst. Da Sinus und Cosinus nur Werte zwischen $-1$ und $1$ einschließlich annehmen können, sind die Wertemengen $[-1;1]$. Man erhält also die beiden Funktionen
${\displaystyle \sin :ℝ\to [-1;1]}$
und
${\displaystyle \cos :ℝ\to [-1;1],}$
die jedem $\alpha \in ℝ$ die Werte $\sin (\alpha )$ und $\cos (\alpha )$ zuordnen. Oft schreibt man im Argument von $\sin$ und $\cos$ das Gradzeichen ${}^{\circ }$ aber explizit hin (z. B. $\sin ({30}^{\circ })$), nämlich insbesondere wenn man verdeutlichen möchte, dass die Winkel in Grad angegeben sind. In diesem Kapitel lernen Sie nämlich auch noch die Angabe von Winkeln im sogenannten Bogenmaß kennen, welches neben dem Gradmaß, das hier bisher verwendet wurde, eine weitere Möglichkeit ist, Werte von Winkeln auszudrücken. Man muss also berücksichtigen, ob man die Argumente von Sinus und Cosinus im Gradmaß oder im Bogenmaß verwendet. Mehr zu trigonometrischen Funktionen finden Sie auch in Kapitel 8.4.

Satz 2satz_2
Die Sinus- und Cosinusfunktion sind beide periodisch mit Periode ${360}^{\circ }$. Es gilt für beliebige Winkel $\alpha$ und $k\in \mathbb{Z}$:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (\alpha )}& =\hfill & \sin (\alpha +k·{360}^{\circ }),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\cos (\alpha )}& =\hfill & \cos (\alpha +k·{360}^{\circ }).\hfill \end{array}}$
Dies folgt unmittelbar aus der geometrischen Definition.

Satz 3: Trigonometrischer Pythagorassatz_3
Für beliebige Winkel $\alpha$ gilt:
${\displaystyle {\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1.}$

Definition 3definition_3
Unter dem Bogenmaß $b$ eines Winkels $\alpha$ (im Gradmaß) wird die Länge desjenigen Bogens verstanden, der dem Winkel $\alpha$ im Einheitskreis gegenüber liegt.

Satz 4satz_4
Sei $\alpha$ ein Winkel im Gradmaß und $b$ der zugehörige Winkel im Bogenmaß. Dann gilt:
${\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }} =\frac{b}{2\pi }.}$

Definition 4definition_4
Für Winkel $x\in ℝ$ im Bogenmaß wird definiert:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\text{Sin}(x)}& :=\hfill & \sin (\frac{x}{\pi }·{180}^{\circ }),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{Cos}(x)}& :=\hfill & \cos (\frac{x}{\pi }·{180}^{\circ }) .\hfill \end{array}}$

Satz 5: Periodizität von Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaßsatz_5
Für alle $x\in ℝ$ und $k\in \mathbb{Z}$ gilt

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (x)}& =\hfill & \sin (x+k·2\pi )\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{und}\mathrm{ }\cos (x)}& =\hfill & \cos (x+k·2\pi ) .\hfill \end{array}}$
Die Periodenlänge beträgt $2\pi$.

Satz 6satz_6
Die trigonometrischen Funktionen $\sin$ und $\cos$ besitzen die folgenden Nullstellen.  
Im Gradmaß sind das die folgenden Nullstellen:

Satz 7satz_7
Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (-x)}& =\hfill & -\sin (x)\mathrm{ }\text{für alle}x\in ℝ\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, d.h. es gilt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\cos (-x)}& =\hfill & \cos (x)\mathrm{ }\text{für alle}x\in ℝ.\hfill \end{array}}$

Info 2info_2
Es bestehen folgende Zusammenhänge zwischen Sinus und Cosinus:

Definition 5definition_5
Für beliebige Winkel $\alpha$ mit $\cos (\alpha )\ne 0$ ist der Tangens definiert als

${\displaystyle \tan (\alpha ):=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )} .}$

Definition 6: Umkehrfunktion von Sinus definition_6
Die Umkehrfunktion von $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\to ℝ$. Sinus wird Arkussinus genannt und mit $\arcsin :[-1;1]\to [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ bezeichnet

Definition 7: Umkehrfunktion von Cosinus definition_7
Die Umkehrfunktion des von $\cos :[0;\pi ]\to ℝ$ wird Arkuscosinus genannt und mit $\arccos :[-1;1]\to [0;\pi ]\hspace{0.5em}\text{mit}\hspace{0.5em}x\to \arccos (x)$ bezeichnet

Definition 8: Umkehrfunktion des Tangens definition_8
Die Umkehrfunktion des Tangens wird Arkustangens genannt:
${\displaystyle \arctan :ℝ\to (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})}$
.