Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken

Inhalte mit Erklärungen

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Wir geben den Verhältnissen der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck Namen.

Eine zentrale Erkenntnis besteht darin, dass die Verhältnisse nur vom Winkel $\alpha$, nicht aber von den Abmessungen des Dreiecks abhängig sind.
Verweis Mathematische Begründung
Betrachtet wird die folgende Abbildung:
Mithilfe der Strahlensätze lassen sich folgende Beobachtungen machen:

1. Mit dem zweiten Strahlensatz gilt
   ${\displaystyle \frac{c}{b}=\frac{c\prime }{b\prime }\hspace{0.5em}\text{und}\hspace{0.5em}\frac{a}{b}=\frac{a\prime }{b\prime } .}$
   Es lässt sich feststellen, dass in beiden rechtwinkligen Dreiecken die Längenverhältnisse aus den Seiten $c,b$ und $c\prime ,b\prime$ bzw. $a,b$ und $a\prime ,b\prime$ übereinstimmen.
   Wegen $\sin (\alpha )=\frac{b}{c}$ und $\frac{b}{c}=\frac{b\prime }{c\prime }$ gilt auch $\sin (\alpha )=\frac{b\prime }{c\prime }$. Der Wert des Sinus ist nur von der Größe des Winkels $\alpha$ und nicht von den Seitenlängen abhängig.
   Außerdem gilt $\tan (\alpha )=\frac{b}{a}$ und $\frac{b}{a}=\frac{b\prime }{a\prime }$. Demnach also auch $\tan (\alpha )=\frac{b\prime }{a\prime }$. Damit ist der Wert des Tangens ebenfalls nur von der Größe des Winkels $\alpha$ abhängig.
2. Mit dem ersten Strahlensatz gilt
   ${\displaystyle \frac{a}{a\prime }=\frac{c}{c\prime } .}$
   Multiplikation beider Seiten mit $a\prime$ liefert
   ${\displaystyle a=\frac{c·a\prime }{c\prime } .}$
   Division beider Seiten durch $c$ ergibt schließlich
   ${\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{a\prime }{c\prime } .}$
   Auch hier stimmt in beiden rechtwinkligen Dreiecken das Längenverhältnis der Seiten $a,c$ und $a\prime ,c\prime$ überein.
   Wegen $\cos (\alpha )=\frac{a}{c}$ und $\frac{a}{c}=\frac{a\prime }{c\prime }$ gilt ebenfalls $\cos (\alpha )=\frac{a\prime }{c\prime }$. Der Wert des Cosinus hängt also nur von der Größe des Winkels $\alpha$ ab.

Bemerkungen

In den Ergänzungen weiter unten werden eine Beziehung zwischen Sinus und Cosinus sowie eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus und Tangens angeführt und bewiesen.

Mithilfe dieser Gleichungen ist es nun möglich in einem rechtwinkligen Dreieck die unbekannten Seitenlängen zu bestimmen, wenn eine Seitenlänge und eine weitere Winkelgröße, außer dem rechten Winkel, gegeben ist.

In den Ergänzungen finden Sie eine Möglichkeit, wie bestimmte Sinus- und Cosinuswerte mithilfe von speziellen Dreiecken auch ohne Taschenrechner bestimmt werden können.

Es werden einige Beispiele angeführt, um die unbekannten Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmen zu können, wenn eine Seitenlänge und die Größe eines Winkels, der nicht der rechte Winkel ist, gegeben sind.