Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken

Ergänzungen

bereich_9 Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus
Beweis Zusammenhang zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Beweis Berechnung von Sinus- und Cosinuswerten ohne Taschenrechner

Hier finden Sie eine Möglichkeit, bestimmte Sinus- und Cosinuswerte mithilfe spezieller Dreiecke ohne Taschenrechner bestimmen zu können.

Um eine ungefähre Vorstellung zu erhalten, wo die Werte liegen, werden nun die Funktionsgraphen von Sinus, Cosinus und Tangens abgebildet.
Gleichseitige Dreiecke

In einem gleichseitigen Dreieck sind die Längen aller Seiten und die Größen aller Winkel gleich groß. Da die Winkelsumme im Dreieck ${180}^{\circ }$ beträgt und alle Winkel gleich groß sind, besitzen alle Winkel eine Größe von ${60}^{\circ }$. Es werden die Sinus- und Cosinuswerte zum Winkel $\alpha ={60}^{\circ }$ bestimmt. Um die Definitionen der Verhältnisse nutzen zu können, muss ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Dies kann durch einzeichnen der Höhe erzeugt werden. Die Längen der Seiten spielen keine Rolle, wie bereits in der Begründung klar gemacht wurde. Daher sind die Längen der Seiten zur Vereinfachung der Rechnungen auf $1$ festgelegt.
Für die Bestimmung der Sinus- und Cosinuswerte schauen wir uns die linke Hälfte des gleichseitigen Dreiecks an. Durch einzeichnen der Höhe sind zwei rechtwinklige Dreiecke entstanden. Zur Bestimmung des Sinus zum Winkel ${60}^{\circ }$ wird die Länge der Gegenkathete $h$ benötigt, die Länge der Hypotenuse ist $1$. Um die Länge der Höhe $h$ zu bestimmen, wird der Satz des Pythagoras verwendet. Es gilt

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+h^2=\frac{1}{4}+h^2=1^2\iff h^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}.}$
Mit dieser Angabe lässt sich jetzt der Sinus des Winkels ${60}^{\circ }$ bestimmen:

${\displaystyle \sin ({60}^{\circ })=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.}$
Da die Längen aller Seiten in diesem Dreieck bekannt sind, kann auch $\cos ({60}^{\circ })$ mithilfe der Definition bestimmt werden:

${\displaystyle \cos ({60}^{\circ })=\frac{1}{2}.}$
Im Bild ist zu erkennen, dass in dem linken rechtwinkligen Dreieck auch ein Winkel der Größe ${30}^{\circ }$ entstanden ist. Wenn die Höhe $h$ des Dreiecks als Ankathete zu diesem Winkel und die halbe Seitenlänge unten als Gegenkathete zu diesem Winkel betrachtet wird, können so auch die Werte für Sinus und Cosinus zu dieser Winkelgröße bestimmt werden:
${\displaystyle \sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}.}$
Gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck stimmen die Längen von zwei Seiten und damit auch die Größen von zwei Winkeln überein. Mithilfe eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks können $\sin ({45}^{\circ })$ und $\cos ({45}^{\circ })$ bestimmt werden. Durch die Festlegung des rechten Winkels ergibt sich für die anderen beiden Winkel nur die Möglichkeit, dass sie jeweils ${45}^{\circ }$ groß sind.
Um den gesuchten Sinus- und Cosinuswert zu bestimmen, wird wiederum der Satz des Pythagoras verwendet, um zunächst die Länge der Hypotenuse zu ermitteln:
${\displaystyle a^2+a^2=2a^2=c^2\Rightarrow \sqrt{(2·a^2)}=c\iff a·\sqrt{2}=c.}$
Da die Länge der Gegenkathete gleich der Länge der Ankathete ist, gilt $\sin ({45}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ })$. Es ergibt sich:
${\displaystyle \sin ({45}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ })=\frac{a}{a·\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}·\sqrt{2}.}$
Bisher wurden nur Sinus- und Cosinuswerte bestimmt. Zu den bereits gefundenen Werten können auch die Tangenswerte angegeben werden, da bekanntermaßen gilt, dass $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$. Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens zu den Winkeln ${30}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$ und ${60}^{\circ }$ werden in folgender Tabelle festgehalten.