Abschnitt: Aufgaben | Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken

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  Chapter 1 Studifinder - 1.7 Trigonometrie - Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_trigonometrie_rechtwinkldreieck_
  
  Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken
  
  7
  
  1
  
  bereich_4
  Aufgabe 1aufgabe_1
  Von einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind folgende Angaben bekannt:
  
  $a = 4$ (in cm),
  
  $β = 90^{\circ}$ ,
  
  $α = 25^{\circ}$ .
  
  Bestimmen Sie die Länge der Seite $b$ auf zwei Nachkommastellen genau.
  Die Länge der Seite $b$ beträgt
  9,52
  
  9,46
  cm.
  
  Kontrolle
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  Da bei Punkt $B$ der rechte Winkel vorliegt, ist die gesuchte Seite $b$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes. In folgender Skizze sind alle gegebenen und gesuchten Angaben eingebunden:
  
  Bild 8 Längenangaben in $cm$ .
  
  Die Länge der Hypotenuse $b$ kann mithilfe des Sinus bestimmt werden:
  $\sin (25^{\circ}) = \frac{4}{b} \Leftrightarrow b = \frac{4}{\sin (25^{\circ})}$
  . Mit einem Taschenrechner lässt sich der Wert $\sin (25^{\circ})$ bestimmen. Der Wert ist ungefähr $0,42$ . Eingesetzt in die rechte obere Gleichung ergibt sich
  $b \approx \frac{4}{0,42} = 9,52$
  Falls Sie die Lösung direkt mit dem Taschenrechner ermitteln, erhalten Sie
  $b = \frac{4}{\sin (25^{\circ})} \approx 9,46$
  .
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  Video 4video_4
  
  In diesem Video werden unbekannte Seiten in rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens berechnet.
  
  Aufgabe 2aufgabe_2
  Von einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind folgende Angaben bekannt:
  
  $c = 6$ (in cm),
  
  $γ = 90^{\circ}$ ,
  
  $β = 35^{\circ}$ .
  
  Bestimmen Sie die Länge der Seite $a$ auf zwei Nachkommastellen genau.
  Die Länge der Seite $a$ beträgt
  4,92
  
  4,91
  cm.
  
  Kontrolle
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  Da bei Punkt $C$ der rechte Winkel vorliegt, ist die gesuchte Seite $a$ die Ankathete zum Winkel $β$ . In folgender Skizze sind alle gegebenen und gesuchten Angaben eingebunden:
  
  Bild 9 Längenangaben in $cm$ .
  
  Die Länge der Ankathete $a$ zum Winkel $β$ kann mithilfe des Cosinus bestimmt werden:
  $\cos (35^{\circ}) = \frac{a}{6} \Leftrightarrow a = \cos (35^{\circ}) \cdot 6 .$
  Falls Sie direkt die Lösung mit dem Taschenrechner ermitteln, erhalten Sie
  $a = \cos (35^{\circ}) \cdot 6 \approx 4,91 .$
  
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  Aufgabe 3aufgabe_3
  Von einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind folgende Angaben bekannt:
  
  $b = 5$ (in cm),
  
  $α = 90^{\circ}$ ,
  
  $γ = 20^{\circ}$ .
  
  Bestimmen Sie die Länge der Seite $c$ auf zwei Nachkommastellen genau.
  Die Länge der Seite $c$ beträgt
  1,80
  
  1,82
  cm.
  
  Kontrolle
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  Da bei Punkt $A$ der rechte Winkel vorliegt, ist die gesuchte Seite $c$ die Gegenkathete zum Winkel $γ$ . In folgender Skizze sind alle gegebenen und gesuchten Angaben eingebunden:
  
  Bild 10 Längenangaben in $cm$ .
  
  Die Länge der Gegenkathete zum Winkel $γ$ kann mithilfe des Tangens bestimmt werden:
  $\tan (20^{\circ}) = \frac{c}{5} \Leftrightarrow c = \tan (20^{\circ}) \cdot 5 .$
  Mit einem Taschenrechner lässt sich der Wert $\tan (20^{\circ}) \approx 0,36$ bestimmen. Dann ergibt sich:
  $c \approx 0,36 \cdot 5 = 1,80$
  Falls Sie die Lösung direkt mit dem Taschenrechner ermitteln, erhalten Sie
  $c = \tan (20^{\circ}) \cdot 5 \approx 1,82 .$
  
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  Aufgabe 4aufgabe_4
  Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ und den Seitenlängen $a, b, c$ . Berechnen Sie die fehlenden Größen. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
  a)
  
  $a =$
  11,81
  $cm$
  , $c = 68 cm$ , $α = 10^{\circ}$
  
  b)
  
  $b = 5 cm$ , $c = 11 cm$ , $β =$
  27,04
  $^{\circ}$
  
  c)
  
  $a = 10 cm$ , $b = 20 cm$ , $α =$
  26,57
  $^{\circ}$
  , $β =$
  63,43
  $^{\circ}$
  
  d)
  
  $a = 4 cm$ , $b =$
  8,58
  $cm$
  , $β = 65^{\circ}$
  
  e)
  
  $b = 5 cm$ , $c =$
  5,1
  $cm$
  , $α = 11, 21^{\circ}$
  
  Kontrolle
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  Das Dreieck hat den rechten Winkel bei $γ$ , also sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse des Dreiecks.
  a) Die Seitenlänge a kann mit Hilfe des Sinus berechnet werden:
  $\begin{matrix} \sin (α) & = & \frac{a}{c} \\ a & = & \sin (α) \cdot c \\ a & = & \sin (10^{\circ}) \cdot 68 cm \approx 11,81 cm \end{matrix}$
  
  b) Für $\sin (β)$ -Werte mit $0 < \sin (β) < 1$ wird der zugehörige Winkel $β$ zwischen $0^{\circ}$ und $90^{\circ}$ durch $\arcsin$ geliefert:
  $\begin{matrix} \sin (β) & = & \frac{b}{c} \\ \Rightarrow β & = & \arcsin (\frac{b}{c}) \\ \Leftrightarrow β & = & \arcsin (\frac{5 cm}{11 cm}) \approx 20, 04^{\circ} \end{matrix}$
  
  c) Die Winkel können beide mithilfe des Arkustangens berechnet werden. Für alpha erhalten wir
  $\begin{matrix} \tan (α) & = & \frac{a}{b} \\ \Rightarrow α & = & \arctan (\frac{a}{b}) \\ \Leftrightarrow α & = & \arctan (\frac{10 cm}{20 cm}) \approx 26, 67^{\circ} \end{matrix}$
  Für beta erhalten wir
  $\begin{matrix} \tan (β) & = & \frac{b}{a} \\ \Rightarrow β & = & \arctan (\frac{b}{a}) \\ \Leftrightarrow β & = & \arctan (\frac{20 cm}{10 cm}) \approx 63, 43^{\circ} \end{matrix}$
  
  d) Um die Seitenlänge b zu bestimmen, nutzen wir den Tangens:
  $\begin{matrix} \tan (β) & = & \frac{b}{a} \\ \Leftrightarrow b & = & \tan (β) \cdot a \\ \Leftrightarrow b & = & \tan (65^{\circ}) \cdot 4 cm \approx 8,58 cm . \end{matrix}$
  
  e) Mit Hilfe des Cosinus erhalten wir die Seitenlänge c:
  $\begin{matrix} \cos (α) & = & \frac{b}{c} \\ \Leftrightarrow c & = & \frac{b}{\cos (α)} \\ \Leftrightarrow c & = & \frac{5 cm}{\cos (11, 21^{\circ})} \approx 5,10 cm . \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 5aufgabe_5
  Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit:
  
  $α = 90^{\circ}$ ,
  
  $β = 38^{\circ}$ ,
  
  $c = 9$ (in cm).
  
  Berechnen Sie die Längen der fehlenden Seiten. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
  Die Länge der Seite $a =$ beträgt
  11,42
  
  11,39
  $cm$
  Die Länge der Seite $b =$ beträgt
  7,03
  
  7,02
  $cm$
  
  Kontrolle
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  Bild 11 Lösungsskizze
  
  Gegeben sind die Länge der Ankathete $c$ zum Winkel $β$ und der Winkel $β$ im rechtwinkligen Dreieck. Daher kann zur Bestimmung der Länge der Hypotenuse $a$ der Cosinus verwendet werden:
  $\cos (38^{\circ}) = \frac{9}{a} \Leftrightarrow a = \frac{9}{\cos (38^{\circ})} \approx 11,34$ .
  Die Länge der Gegenkathete zum Winkel $β b$ kann mithilfe des Tangens bestimmt werden:
  $\tan (38^{\circ}) = \frac{b}{9} \Leftrightarrow b = \tan (38^{\circ}) \cdot 9 \approx 7,03$ .
  Die Länge $a$ der Hypotenuse beträgt $11,42$ cm und die Länge $b$ der zweiten Kathete beträgt $7,03$ cm.
  
  Hinweis:
  Falls Sie zuerst die gerundeten Werte von $\cos (38^{\circ})$ bzw. $\tan (38^{\circ})$ bestimmen, erhalten Sie
  $\begin{matrix} a & = & \frac{9}{\cos (38^{\circ})} \approx \frac{9}{0,79} \approx 11,39 \\ und b & = & \tan (38^{\circ}) \cdot 9 \approx 0,78 \cdot 9 = 7,02 . \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 6aufgabe_6
  Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ . Berechnen Sie den Winkel $η$ (gesprochen „Eta“) und die Länge der Diagonalen $e$ . Runden Sie die Zwischenergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma.
  
  Bild 12
  
  $a = 19 cm$ , $b = 8 cm$ , $η =$
  22,8
  $^{\circ}$
  , $e =$
  20,6
  $cm$
  
  Kontrolle
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  Der Winkel kann mit dem Arkustangens berechnet werden:
  $\begin{matrix} \tan (η) & = & \frac{b}{a} \\ \Rightarrow η & = & \arctan (\frac{b}{a}) \\ \Leftrightarrow η & = & \arctan (\frac{8 cm}{19 cm}) \\ \Leftrightarrow η & \approx & 22, 8^{\circ} \end{matrix}$
  Die Länge der Diagonalen $e$ entspricht der Länge der Hypotenuse des innen liegenden Dreiecks und kann mit Sinus oder Cosinus berechnet werden.
  $\begin{matrix} \cos (η) & = & \frac{a}{e} \\ \Leftrightarrow e & = & \frac{a}{\cos (η)} \\ \Leftrightarrow e & = & \frac{19 cm}{\cos (22, 8^{\circ})} \\ \Leftrightarrow e & \approx & 20,6 cm \end{matrix}$
  Alternativ gilt:
  $\begin{matrix} \sin (η) & = & \frac{b}{e} \\ \Leftrightarrow e & = & \frac{b}{\sin (η)} \\ \Leftrightarrow e & = & \frac{8 cm}{\sin (22, 8^{\circ})} \\ \Leftrightarrow e & \approx & 20,6 cm . \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 7aufgabe_7
  Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius $r = 3 cm$ und dem Winkel $α = 66^{\circ}$ . Berechnen Sie die Länge der Sehne. Runden Sie das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Bild 13
  
  $s =$
  3,27
  $cm$
  
  Kontrolle
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  Das Dreieck kann in zwei kongruente und rechtwinklige Dreiecke unterteilt werden.
  
  Bild 14
  
  Es gilt also
  $\begin{matrix} \sin (\frac{α}{2}) & = & \frac{\frac{s}{2}}{r} \\ \Leftrightarrow s & = & 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) \\ \Leftrightarrow s & = & 2 \cdot 3 cm \cdot \sin (\frac{66^{\circ}}{2}) \\ \Leftrightarrow s & \approx & 3,27 cm . \end{matrix}$
  
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  Video 5video_5
  
  In diesem Video wird die Länge einer Kreissehne mit Hilfe der Trigonometrie berechnet.
  
  Aufgabe 8aufgabe_8
  a) Ein Mensch mit einer Größe von $h = 1,76 m$ wirft einen Schatten von $s = 2,1 m$ . Ein Turm wirft zur selben Zeit neben dem Menschen einen Schatten von $s_{T} = 11,9 m$ . Berechnen Sie den Winkel der Sonneneinstrahlung auf dem Boden und die ungefähre Höhe des Turms. Runden Sie die Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Bild 15
  
  Der Winkel der Sonneneinstrahlung auf den Boden beträgt $α =$
  39,97
  $^{\circ}$
  
  . Die Höhe des Turm entspricht dann ungefähr $h_{T} =$
  9,97
  $m$
  
  .
  b) Bei einer Sonneneinstrahlung in einem Winkel von $α = 20^{\circ}$ wirft der Kölner Dom einen Schatten. Wie lang ist der Schatten $s_{D}$ bei einer Domhöhe von $h_{D} = 157,38 m$ ? Runden Sie das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
  Der Schatten des Kölner Doms ist $s_{D} =$
  432,40
  $m$
  
  lang.
  
  Kontrolle
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  a) Die Höhe des Menschen entspricht der Gegenkathete und die Länge des Schattens entspricht der Ankathete. Der Winkel kann mit dem Arkustangens berechnet werden:
  $\begin{matrix} \tan (α) & = & \frac{h}{s} \\ \Rightarrow α & = & \arctan (\frac{h}{s}) \\ \Leftrightarrow α & = & \arctan (\frac{1,76 m}{2 m}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 39, 97^{\circ} . \end{matrix}$
  Die Höhe des Turms kann mit dem Tangens berechnet werden:
  $\begin{matrix} \tan (α) & = & \frac{h_{T}}{s_{T}} \\ \Leftrightarrow h_{T} & = & \tan (α) \cdot s_{T} \\ \Leftrightarrow h_{T} & = & \tan (39, 97^{\circ}) \cdot 11,9 \\ \Leftrightarrow h_{T} & \approx & 9,97 m . \end{matrix}$
  
  b) Die Länge des Schattens des Kölner Doms kann mit dem Tangens berechnet werden:
  $\begin{matrix} \tan (α) & = & \frac{h_{D}}{s_{D}} \\ \Leftrightarrow s_{D} & = & \frac{h_{D}}{\tan (α)} \\ \Leftrightarrow s_{D} & = & \frac{157,38 m}{\tan (20^{\circ})} \\ \Leftrightarrow s_{D} & \approx & 432,40 m . \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 9aufgabe_9
  
  Bild 16
  
  Frank und Annika haben sich von ihrem Taschengeld einen neuen Sportlenkdrachen gekauft, den sie nach Schulschluss auf dem nahe liegenden Sportplatz sofort steigen lassen. Als der Drachen in die Lüfte steigt fragt sich Frank, wie hoch der Drachen wohl fliegt. Annika greift in ihre Schultasche, holt ihr Geodreieck und misst den Winkel zwischen der $50$ m langen Schnur und einer gedachten Linie zum Sportplatz mit ca. $48^{\circ}$ . Berechnen Sie die Höhe des Drachens unter den Annahmen, dass das eine Ende der Schnur des Drachen in einer Höhe von $1,50$ m über dem Boden gehalten wird und die Schnur des Drachen straff gespannt ist.
  
  Der Drache fliegt in einer Höhe von
  38,50
  
  38,66
  Metern.
  
  Kontrolle
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  In folgender Skizze ist die Situation anschaulich dargestellt.
  
  Bild 17 Skizze zur Drachenaufgabe, Längenangaben in $m$ .
  
  Mithilfe des Sinus kann die Höhe $h'$ wie folgt bestimmt werden:
  $\sin (48^{\circ}) = \frac{h'}{50} \Leftrightarrow h' = \sin (48^{\circ}) \cdot 50 \approx 0,74 \cdot 50 = 37$
  . Zu diesem Ergebnis muss nun noch die Höhe addiert werden, in der der Drachen gehalten wird. Für die Flughöhe des Drachen ergibt sich somit eine Gesamthöhe von ca. $38,50$ m.
  
  Hinweis:
  Falls Sie die Lösung direkt mit dem Taschenrechner ermitteln, erhalten Sie
  $h' = \sin (48^{\circ}) \cdot 50 \approx 37,16$
  und dementsprechend als Flughöhe $38,66$ m.
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